2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 第10章 第6節(jié) 幾何概型

第六節(jié)幾何概型 考綱傳真1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計概率.2.了解幾何概型的意義1幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型2幾何概型的兩個基本特點(diǎn)(1)無限性：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(2)等可能性：每個試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性3幾何概型的概率公式P(A).1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率()(2)從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是.()(3)概率為0的事件一定是不可能事件()(4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形()答案(1)(2)×(3)×(4)2(教材改編)有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機(jī)會，應(yīng)選擇的游戲盤是()AP(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P(A)>P(C)P(D)>P(B)3(2016·全國卷)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.B.C.D.B如圖，若該行人在時間段AB的某一時刻來到該路口，則該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈AB長度為401525，由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為，故選B.4(2017·唐山檢測)如圖10­6­1所示，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為_圖10­6­1018由題意知，0.18.S正1，S陰0.18.5設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是_1如圖所示，區(qū)域D為正方形OABC及其內(nèi)部，且區(qū)域D的面積S4.又陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域易知該陰影部分的面積S陰4，所求事件的概率P1.與長度(角度)有關(guān)的幾何概型(1)(2016·全國卷)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是()A.B.C. D.(2)如圖10­6­2所示，四邊形ABCD為矩形，AB，BC1，在DAB內(nèi)作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為_ 【導(dǎo)學(xué)號：01772400】圖10­6­2(1)B(2)(1)如圖，7：50至8：30之間的時間長度為40分鐘，而小明等車時間不超過10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達(dá)發(fā)車站，此兩種情況下的時間長度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P.故選B.(2)以A為圓心，以AD1為半徑作圓弧交AC，AP，AB分別為C，P，B.依題意，點(diǎn)P在上任何位置是等可能的，且射線AP與線段BC有公共點(diǎn)，則事件“點(diǎn)P在上發(fā)生”又在RtABC中，易求BACBAC.故所求事件的概率P.規(guī)律方法1.解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對象和對象的活動范圍，當(dāng)考查對象為點(diǎn)，且點(diǎn)的活動范圍在線段上時，用“線段長度”為測度計算概率，求解的核心是確定點(diǎn)的邊界位置2(1)第(2)題易出現(xiàn)“以線段BD為測度”計算幾何概型的概率，導(dǎo)致錯求P.(2)當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時，應(yīng)以角對應(yīng)的弧長的大小作為區(qū)域度量來計算概率事實(shí)上，當(dāng)半徑一定時，曲線弧長之比等于其所對應(yīng)的圓心角的弧度數(shù)之比變式訓(xùn)練1(1)(2017·唐山質(zhì)檢)設(shè)A為圓周上一點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連接，則弦長超過半徑倍的概率是()A. B.C. D.(2)(2016·山東高考)在1,1上隨機(jī)地取一個數(shù)k，則事件“直線ykx與圓(x5)2y29相交”發(fā)生的概率為_(1)B(2)(1)作等腰直角AOC和AMC，B為圓上任一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)B在上運(yùn)動時，弦長|AB|R，P.(2)由直線ykx與圓(x5)2y29相交，得<3，即16k2<9，解得<k<.由幾何概型的概率計算公式可知P.與面積有關(guān)的幾何概型角度1與隨機(jī)模擬相關(guān)的幾何概型(2016·全國卷)從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取2n個數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A. B.C. D.C因?yàn)閤1，x2，xn，y1，y2，yn都在區(qū)間0,1內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示若兩數(shù)的平方和小于1，則對應(yīng)的數(shù)對在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)對)，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對有m個用隨機(jī)模擬的方法可得，即，所以.角度2與線性規(guī)劃交匯問題由不等式組確定的平面區(qū)域記為1，不等式組確定的平面區(qū)域記為2，在1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在2內(nèi)的概率為()A. B.C. D.D如圖，平面區(qū)域1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域2與平面區(qū)域1的重疊部分就是區(qū)域OACD，易知C，SBCD×(21)，SOAB×2×22，故P.角度3與定積分交匯的幾何概型(2015·福建高考)如圖10­6­3，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)，函數(shù)f(x)x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于_圖10­6­3由題意知，陰影部分的面積S(4x2)dx，所求概率P.規(guī)律方法1.與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型，解題的關(guān)鍵是對所求的事件A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計算，基本方法是數(shù)形結(jié)合2解題時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.與體積有關(guān)的幾何概型在棱長為2的正方體ABCD­A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD­A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A. B.1C. D.1B設(shè)“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為事件A.則事件A發(fā)生時，點(diǎn)P位于以點(diǎn)O為球心，以1為半徑的半球的外部V正方體238，V半球·13×.P(A)1.規(guī)律方法對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件求解 變式訓(xùn)練2如圖10­6­4，正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐M­ABCD的體積小于的概率為_. 【導(dǎo)學(xué)號：01772401】圖10­6­4設(shè)四棱錐M­ABCD的高為h，由于V正方體1.則·SABCD·h，又SABCD1，h，即點(diǎn)M在正方體的下半部分，所求概率P.思想與方法1古典概型與幾何概型的區(qū)別在于：前者基本事件的個數(shù)有限，后者基本事件的個數(shù)無限2判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法(1)當(dāng)題干是雙重變量問題，一般與面積有關(guān)系(2)當(dāng)題干是單變量問題，要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域：若變量在線段上移動，則幾何度量是長度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動，則幾何度量是面積(體積)，即一個幾何度量的形式取決于該度量可以等可能變化的區(qū)域易錯與防范1易混淆幾何概型與古典概型，兩者共同點(diǎn)是試驗(yàn)中每個結(jié)果的發(fā)生是等可能的，不同之處是幾何概型的試驗(yàn)結(jié)果的個數(shù)是無限的，古典概型中試驗(yàn)結(jié)果的個數(shù)是有限的2準(zhǔn)確把握幾何概型的“測度”是解題關(guān)鍵3幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果