高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第5章 第26課 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應(yīng)用

第26課 函數(shù)yAsin(x)的圖象及應(yīng)用最新考綱內(nèi)容要求ABC函數(shù)yAsin(x)的圖象與性質(zhì)1yAsin (x)的有關(guān)概念yAsin(x)(A0，0，x0)，表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)振幅周期頻率相位初相ATfx2.用五點(diǎn)法畫(huà)yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示xx02yAsin(x)0A0A03.由ysin x的圖象變換得到y(tǒng)Asin(x)(其中A0，0)的圖象先平移后伸縮先伸縮后平移1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)利用圖象變換作圖時(shí)“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的單位長(zhǎng)度一致()(2)將y3sin 2x的圖象左移個(gè)單位后所得圖象的解析式是y3sin.()(3)函數(shù)f(x)Asin(x)的圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為一個(gè)周期()(4)函數(shù)yAcos(x)的最小正周期為T(mén)，那么函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為.()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)電流I(單位：A)隨時(shí)間t(單位：s)變化的函數(shù)關(guān)系式是I5sin，t0，)，則電流I變化的初相、周期分別是_，由初相和周期的定義，得電流I變化的初相是，周期T.3(2017·如皋市高三調(diào)研一)將函數(shù)f(x)sin的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象的解析式為_(kāi)f(x)cos 2xf(x)sinysinsincos 2x.4將函數(shù)ysin(2x)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則|的最小值為_(kāi)把函數(shù)ysin(2x)沿x軸向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)ysin 2sin為偶函數(shù)，則|的最小值是.5若函數(shù)ysin(x)(0)的部分圖象如圖26­1，則_.圖26­14由圖象可知，x0x0，所以T，所以4.函數(shù)yAsin(x)的圖象及變換已知函數(shù)f(x)3sin，xR.(1)畫(huà)出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖；(2)將函數(shù)ysin x的圖象作怎樣的變換可得到f(x)的圖象. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172143】解(1)列表取值：xx02f(x)03030描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)并用光滑曲線連結(jié)，得到一個(gè)周期的簡(jiǎn)圖(2)先把ysin x的圖象向右平移個(gè)單位，然后把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，再把所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，得到f(x)的圖象規(guī)律方法1.變換法作圖象的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對(duì)于后者可利用x確定平移單位2用“五點(diǎn)法”作圖，關(guān)鍵是通過(guò)變量代換，設(shè)zx，由z取0，2來(lái)求出相應(yīng)的x，通過(guò)列表，描點(diǎn)得出圖象如果在限定的區(qū)間內(nèi)作圖象，還應(yīng)注意端點(diǎn)的確定變式訓(xùn)練1(1)(2016·全國(guó)卷)函數(shù)ysin xcos x的圖象可由函數(shù)y2sin x的圖象至少向右平移_個(gè)單位長(zhǎng)度得到(2)(2017·蘇北四市聯(lián)考)將函數(shù)ysin 2x的圖象向左平移(>0)個(gè)單位，若所得的圖象過(guò)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)(1)(2)(1)ysin xcos x2sin，函數(shù)ysin xcos x的圖象可由函數(shù)y2sin x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到(2)函數(shù)ysin 2x的圖象向左平移(0)個(gè)單位，則ysin(2x2)，由sin得，22k或22k，kZ，即k或k，kZ，的最小正值為.求函數(shù)yAsin(x)的解析式(1)(2016·全國(guó)卷改編)函數(shù)yAsin(x)的部分圖象如圖26­2所示，則相應(yīng)函數(shù)的解析式為_(kāi)圖26­2(2)已知函數(shù)yAsin(x)b(A0，0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x是其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，則下列各式中符合條件的解析式為_(kāi)(填序號(hào))y4sin；y2sin2；y2sin2；y2sin2.(1)y2sin(2)(1)由圖象知，故T，因此2.又圖象的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為，所以A2，且2×2k(kZ)，故2k(kZ)，結(jié)合選項(xiàng)可知y2sin.(2)由函數(shù)yAsin(x)b的最大值為4，最小值為0，可知b2，A2.由函數(shù)的最小正周期為，可知，得4.由直線x是其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，可知4×k，kZ，從而k，kZ，故滿足題意的是y2sin2.規(guī)律方法確定yAsin(x)b(A0，0)的步驟和方法(1)求A，b：確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A，b；(2)求：確定函數(shù)的周期T，則可得；(3)求：常用的方法有：代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A，b已知)或代入圖象與直線yb的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)五點(diǎn)法：確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)x0；“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)時(shí)x；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)x；“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)時(shí)x；“第五點(diǎn)”時(shí)x2.變式訓(xùn)練2(2017·泰州模擬)函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，0)的部分圖象如圖26­3所示，則f的值為_(kāi)圖26­31由圖象可得A，最小正周期T4，則2.又fsin，解得2k(kZ)，即k1，則f(x)sin，fsinsin1.函數(shù)yAsin(x)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用(2016·天津高考)已知函數(shù)f(x)4tan xsin·cos.(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性解(1)f(x)的定義域?yàn)?f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，則函數(shù)y2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ.由2k2x2k，得kxk，kZ.設(shè)A，BxkZ，易知AB.所以當(dāng)x時(shí)，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減規(guī)律方法討論函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的周期性、奇偶性與對(duì)稱(chēng)性，都必須首先利用輔助角公式，將函數(shù)化成一個(gè)角的一種三角函數(shù)變式訓(xùn)練3(2017·無(wú)錫期中)已知函數(shù)f(x)2sin(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172144】解(1)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，sin .又0<<，又相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為，周期為，即，2，f(x)2sin.令2k2x2k，其中kZ，則kxk，其中kZ，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，kZ.(2)由已知得：g(x)f2sin，即g(x)2sin2cos.x，2x，故當(dāng)2x即x時(shí)，g(x)ming2；當(dāng)2x即x0時(shí)，g(x)maxg1.思想與方法1由圖象確定函數(shù)解析式由圖象確定yAsin(x)時(shí)，的確定是關(guān)鍵，盡量選擇圖象的最值點(diǎn)代入；若選零點(diǎn)代入，應(yīng)根據(jù)圖象升降找“五點(diǎn)法”作圖中第一個(gè)零點(diǎn)2對(duì)稱(chēng)問(wèn)題函數(shù)yAsin(x)的圖象與x軸的每一個(gè)交點(diǎn)均為其對(duì)稱(chēng)中心，經(jīng)過(guò)該圖象上坐標(biāo)為(x，±A)的點(diǎn)與x軸垂直的每一條直線均為其圖象的對(duì)稱(chēng)軸，這樣的最近兩點(diǎn)間橫坐標(biāo)的差的絕對(duì)值是半個(gè)周期(或兩個(gè)相鄰對(duì)稱(chēng)中心的距離)易錯(cuò)與防范1要弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖象，得到哪個(gè)函數(shù)的圖象2要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱(chēng)是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)3由ysin x的圖象變換到y(tǒng)Asin(x)的圖象，先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|個(gè)單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是(0)個(gè)單位原因是相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言的4函數(shù)yAsin(x)在xm，n上的最值可先求tx的范圍，再結(jié)合圖象得出yAsin t的值域課時(shí)分層訓(xùn)練(二十六)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、填空題1若函數(shù)f(x)sin(0)的最小正周期為，則f_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172145】0由f(x)sin(0)的最小正周期為，得4，所以fsin0.2將函數(shù)ycos 2x1的圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為_(kāi)ysin 2xycos 2x1 ycos 21cos1sin 2x1ysin 2x11sin 2x.3(2017·蘇北四市期末)函數(shù)f(x)2sin(x)(0)的部分圖象如圖26­4所示，若AB5，則的值為_(kāi)圖26­4由題圖可知3，T6，.4(2016·全國(guó)卷改編)若將函數(shù)y2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的對(duì)稱(chēng)軸為_(kāi)x(kZ)將函數(shù)y2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y2sin22sin的圖象由2xk(kZ)，得x(kZ)，即平移后圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x(kZ)5某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)yaAcos(x1,2,3，12)來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28 ，12月份的月平均氣溫最低，為18 ，則10月份的平均氣溫值為_(kāi) . 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172146】205依題意知，a23，A5，y235cos，當(dāng)x10時(shí)，y235cos20.5.6(2016·江蘇高考)定義在區(qū)間0,3上的函數(shù)ysin 2x的圖象與ycos x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是_7法一：函數(shù)ysin 2x的最小正周期為，ycos x的最小正周期為2，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)在0,3上的圖象，如圖所示通過(guò)觀察圖象可知，在區(qū)間0,3上兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是7.法二：聯(lián)立兩曲線方程，得兩曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程組解的個(gè)數(shù)，也就是方程sin 2xcos x解的個(gè)數(shù)方程可化為2sin xcos xcos x，即cos x(2sin x1)0，cos x0或sin x.當(dāng)cos x0時(shí)，xk，kZ，x0,3，x，共3個(gè)；當(dāng)sin x時(shí)，x0,3，x，共4個(gè)綜上，方程組在0,3上有7個(gè)解，故兩曲線在0,3上有7個(gè)交點(diǎn)7(2017·鹽城期中)已知直線x過(guò)函數(shù)f(x)sin(2x)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)，則f的值為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172147】1由題意可知f±1，即k，即k.又<<，所以，f(x)sin.fsinsin 1.8(2017·蘇州期中)將函數(shù)ysin的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)f(x)的圖象，若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則的值等于_ysinf(x)sin.由f(x)sin為偶函數(shù)可知2k，kZ，即，kZ，又0，故.9函數(shù)f(x)cos(x)的部分圖象如圖26­5所示，且|<，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)圖26­5，kZ由圖象知，周期T2×2，2，.×2k，kZ，又|<，f(x)cos.由2k<x<2k，kZ，得2k<x<2k，kZ，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，kZ.10(2017·如皋中學(xué)高三第一次月考)若函數(shù)f(x)Asin(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，且在y軸右側(cè)的第一個(gè)極值點(diǎn)為x，則函數(shù)f(x)的最小正周期為_(kāi)由題意可知f(x)是奇函數(shù)，因?yàn)閗，又|<，故0.所以f(x)Asin x.又f(x)Asin x在y軸右側(cè)的第一個(gè)極值點(diǎn)為x，所以，T.二、解答題11已知函數(shù)f(x)sin1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)畫(huà)出函數(shù)yf(x)在上的圖象解(1)振幅為，最小正周期T，初相為.(2)圖象如圖所示12(2017·南京一模)設(shè)函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖26­6所示圖26­6(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)當(dāng)x時(shí)，求f(x)的取值范圍解(1)由圖象知，A2，又，>0，所以T2，得1.所以f(x)2sin(x)，將點(diǎn)代入，得2k(kZ)，即2k(kZ)，又<<，所以.所以f(x)2sin.(2)當(dāng)x時(shí)，x，所以sin，即f(x).B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1(2016·北京高考改編)將函數(shù)ysin圖象上的點(diǎn)P向左平移s(s>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P.若P位于函數(shù)ysin 2x的圖象上，則t_，s的最小值為_(kāi)因?yàn)辄c(diǎn)P在函數(shù)ysin的圖象上，所以tsinsin.所以P.將點(diǎn)P向左平移s(s>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得P.因?yàn)镻在函數(shù)ysin 2x的圖象上，所以sin 2，即cos 2s，所以2s2k或2s2k，即sk或sk(kZ)，所以s的最小值為.2若函數(shù)ycos 2xsin 2xa在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)(2，1由題意可知y2sina，該函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即ya，y2sin在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)結(jié)合函數(shù)的圖象可知1a2，所以2a1.3已知函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的圖象過(guò)點(diǎn)P，圖象上與點(diǎn)P最近的一個(gè)最高點(diǎn)是Q.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間解(1)依題意得A5，周期T4，2.故y5sin(2x)，又圖象過(guò)點(diǎn)P，5sin0，由已知可得0，y5sin.(2)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，故函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(kZ)4已知函數(shù)f(x)2cos2x12cos xsin x(0<<1)，直線x是f(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸(1)試求的值；(2)已知函數(shù)yg(x)的圖象是由yf(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，然后再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，若g，求sin 的值解f(x)2cos2x12cos xsin xcos 2xsin 2x2sin.(1)由于直線x是函數(shù)f(x)2sin圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，sin±1，k(kZ)，k(kZ)又0<<1，<k<.又kZ，從而k0，.(2)由(1)知f(x)2sin，由題意可得g(x)2sin，即g(x)2cos x.g2cos，cos.又，<<，sin.sin sinsincos cossin ××.