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2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-第八章第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

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2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-第八章第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

第八章 立體幾何第五節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)題型97 證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系2013年1. (2013四川文19)如圖,在三棱柱中,側(cè)棱底面,分別是線段的中點(diǎn),是線段上異于端點(diǎn)的點(diǎn).(1)在平面內(nèi),試作出過(guò)點(diǎn)與平面平行的直線,說(shuō)明理由,并證明直線平面;(2)設(shè)(1)中的直線交于點(diǎn),求三棱錐的體積.(錐體體積公式:,其中為底面面積,為高).2. (2013山東文19) 如圖,四棱錐中,分別為的中點(diǎn)(1)求證:平面;(2)求證:平面平面3. (2013重慶文19)如圖,四棱錐中,底面,.(1)求證:平面;(2)若側(cè)棱上的點(diǎn)滿足,求三棱錐的體積.2014年1.(2014遼寧文4)已知,表示兩條不同直線,表示平面,下列說(shuō)法正確的是( )A若則 B若,則C若,則 D若,則2.(2014浙江文6)設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面( ). A若,則 B若,則 C若,則 D若,則 3.(2014廣東文9)若空間中四條兩兩不同的直線,滿足,則下列結(jié)論一定正確的是( ).A B. C. 既不垂直也不平行 D. 的位置關(guān)系不確定4.(2014北京文17)(本小題滿分14分)如圖所示,在三棱柱中,側(cè)棱垂直于底面,分別為,的中點(diǎn).(1)求證:平面平面;(2)求證:平面;(3)求三棱錐的體積.5.(2014新課標(biāo)文19) 如圖所示,三棱柱中,側(cè)面為菱形,的中點(diǎn)為,且平面. (1)求證:; (2)若,求三棱柱的高. 6.(2014遼寧文19)如圖所示,和所在平面互相垂直,且,分別為,的中點(diǎn). (1)求證:平面; (2)求三棱錐的體積.附:錐體的體積公式,其中為底面面積,為高.7. (2014廣東文18)如圖1所示,四邊形為矩形,平面,作如圖2所示的折疊:折痕.其中點(diǎn)分別在線段上,沿折疊后點(diǎn)在線段上的點(diǎn)記為,并且.(1) 求證:平面;(2) 求三棱錐的體積. 8.(2014江蘇16)如圖所示,在三棱錐中,分別為棱,的中點(diǎn)已知,求證:(1)直線平面;(2)平面平面9.(2014重慶文20)如圖所示,四棱錐中,底面是以為中心的菱形,底面,為上一點(diǎn),且.(1)求證:平面;(2)若,求四棱錐的體積.10(2014湖北文20)如圖所示,在正方體中, 分別是棱, ,的中點(diǎn). 求證:(1)直線平面;(2)直線平面. 2015年1.(2015湖南文18)如圖所示,直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,分別是,的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)若直線與平面所成的角為,求三棱錐的體積.1. 解析 (1)如圖所示,因?yàn)槿庵侵比庵?,所以,又是正三角形的邊的中點(diǎn),所以,因此平面,又平面,所以平面平面.(2)設(shè)的中點(diǎn)為,聯(lián)結(jié).因?yàn)槭钦切?,所?又三棱柱是直三棱柱,所以,因此平面.所以為直線與平面所成的角.由題設(shè),所以,在中,所以.故三棱錐的體積.2.(2015天津文17)如圖所示,已知平面, , , 點(diǎn),分別是,的中點(diǎn).(1)求證: 平面 ;(2)求證:平面平面.(3)求直線與平面所成角的大小.2.分析 (1)要證明平面,只需證明且平面;(2)要證明平面平面,可證明,;(3)取 中點(diǎn),聯(lián)結(jié) ,則就是直線 與平面所成角,中,由,得直線與平面所成角為.解析 (1)如圖所示,聯(lián)結(jié),在中,因?yàn)楹头謩e是,的中點(diǎn),所以,又因?yàn)槠矫妫?所以平面.(2)因?yàn)椋?為中點(diǎn),所以.因?yàn)槠矫妫云矫妫瑥亩?又 ,所以平面 .又因?yàn)槠矫?,所以平面平?(3)取中點(diǎn)和中點(diǎn),聯(lián)結(jié),因?yàn)楹头謩e為,中點(diǎn),所以, ,故,所以.又因?yàn)槠矫妫云矫?,從而就是直線與平面所成角.在中,可得,所以.因?yàn)?,所以,又由,有,在中,可得?在中,因此.所以直線與平面所成角為.3.(2015全國(guó)1文18)如圖所示,四邊形為菱形,G為與的交點(diǎn),平面.(1)求證:平面平面;(2)若,三棱錐的體積為,求該三棱錐的側(cè)面積.3. 解析 (1)因?yàn)槠矫妫?又為菱形,所以.又因?yàn)椋矫?,所以平?又平面,所以平面平面.(2)在菱形中,取,又,所以,.在中,所以,所以在中,所以,解得.在中,可得.所以.4(2015山東文18)如圖所示,在三棱臺(tái)中,分別為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若,求證:平面平面.4. 解析 (1)證法一:聯(lián)結(jié).設(shè),聯(lián)結(jié),如圖所示.在三棱臺(tái)中,為的中點(diǎn),可得,所以四邊形是平行四邊形,則為的中點(diǎn).又是的中點(diǎn),所以.又平面,平面,所以平面.證法二:在三棱臺(tái)中,由,為的中點(diǎn),可得,所以為平行四邊形,可得.在中,分別為,的中點(diǎn),所以.又,所以平面平面,因?yàn)槠矫妫云矫?(2)證明:聯(lián)結(jié),如圖所示.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以.由,得.又為的中點(diǎn),所以,因此四邊形是平行四邊形,所以.又,所以.又平面,所以平面.又平面,所以平面平面.5. (2015浙江文18) 如圖所示,在三棱柱中, ,在底面的射影為的中點(diǎn),為的中點(diǎn).(1)證明:平面; (2)求直線和平面所成的角的正弦值.此題無(wú)答案26.(2015重慶文20) 如題(20)圖,三棱錐中,平面平面,點(diǎn),在線段上,且,點(diǎn)在線段上,且.(1)證明:平面.(2)若四棱錐的體積為7,求線段的長(zhǎng). 26. 解析 (1)由,知點(diǎn)為等腰中底邊的中點(diǎn),故又平面平面,平面平面,平面,所以平面,從而因?yàn)?,?從而與平面內(nèi)兩條相交直線,都垂直,所以平面(2)設(shè),則在中,從而.由,知,得,故,即由,從而四邊形的面積為 由(1)知,平面,所以為四棱錐的高在中,體積,故得,解得或由于,可得或,所以或2016年1.(2016浙江文2)已知互相垂直的平面,交于直線.若直線,滿足,則( ).A. B. C. D. 1.C 解析 對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?,所?又因?yàn)椋耘c平行或異面.故選項(xiàng)A不正確;對(duì)于選項(xiàng)B和D,因?yàn)?,所以?又因?yàn)?,所以與的關(guān)系平行、相交或異面都有可能.故選項(xiàng)B和D不正確;對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)樗砸驗(yàn)樗?,故選項(xiàng)C正確,故選C.2.(2016全國(guó)甲文19)如圖所示,菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn),點(diǎn),分別在,上, ,交于點(diǎn).將沿折到的位置. (1)證明:;(2)若 ,求五棱錐的體積.2.解析 (1)因?yàn)樗倪呅螢榱庑?,所以,所以,所以,所?又因?yàn)?,所以,所?所以.(2)由得,由得 所以 于是故由(1)知,又,所以平面,于是又由,所以平面.又由得,五邊形的面積.3.(2016北京文18)如圖所示,在四棱錐中,平面,.(1)求證:平面; (2)求證:平面平面;(3)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn),在棱上是否存在點(diǎn),使得平面?說(shuō)明理由.3.解析 (1)因?yàn)槠矫?,所?又因?yàn)椋?所以平面.(2)由(1)知,平面,又,所以平面. 又平面,所以平面平面(3)棱上存在點(diǎn),使得平面.證明如下.取中點(diǎn),聯(lián)結(jié).又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以.又因?yàn)槠矫?,所以平?4.(2016山東文18)在如圖所示的幾何體中,是的中點(diǎn),.(1)已知,. 求證:;(2)已知分別是和的中點(diǎn).求證:平面.4.解析 (1)證明:因?yàn)?,所以與確定一個(gè)平面,連接,如圖1所示. 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以;同理可得. 又因?yàn)?,所以平面,因?yàn)槠矫?,所?(2)設(shè)的中點(diǎn)為,連接,如圖2所示. 在中,是的中點(diǎn),所以.又,所以;在中,是的中點(diǎn),所以.又,所以平面平面.因?yàn)槠矫?,所以平? 5(2016江蘇16)如圖所示,在直三棱柱中,分別為的中點(diǎn),點(diǎn)在側(cè)棱上,且,.求證:(1)直線平面;(2)平面平面.5.解析 (1)因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以為的中位線,所以.又因?yàn)槿庵鶠橹崩庵?,故,所?又因?yàn)槠矫?,且,故平?(2)三棱柱為直棱柱,所以平面.又平面,故.又,且,平面,所以平面.又因?yàn)槠矫?,所?又因?yàn)?,且平面,所以平?又因?yàn)槠矫?,所以平面平?6.(2016全國(guó)乙文18)如圖所示,已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形,頂點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn),在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn).聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn).(1)求證:是的中點(diǎn);(2)在題圖中作出點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影(說(shuō)明作法及理由),并求四面體的體積.6.解析 (1)由題意可得為正三角形,故.因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為點(diǎn),故平面.又平面,所以.因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為點(diǎn),故平面.又平面,所以.因?yàn)椋矫?,所以平?又平面,所以.因?yàn)?,所以是的中點(diǎn).(2)如圖所示,過(guò)作交于,則即為所要尋找的正投影.理由如下,因?yàn)?,?同理,又,平面,所以平面,故即為點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影.所以.在中,故由等面積法知.由勾股定理知,由為等腰直角三角形知,故.7.(2016四川文17)如圖所示,在四棱錐中,.(1)在平面內(nèi)找一點(diǎn),使得直線平面,并說(shuō)明理由; (2)證明:平面平面 7.解析(1)取棱的中點(diǎn)平面,點(diǎn)即為所求的一個(gè)點(diǎn).證明如下:因?yàn)?,所以,且所以四邊形是平行四邊形,從而又平面,平面,所以平?(說(shuō)明:取棱的中點(diǎn),則所找的點(diǎn)可以是直線上任意一點(diǎn)). (2)由已知,因?yàn)?,所以直線與相交,所以平面從而因?yàn)?,所以,?所以四邊形是平行四邊形.所以,所以又,所以平面又平面,所以平面平面2017年1.(2017全國(guó)3文10)在正方體中,為棱的中點(diǎn),則( ).A BC D解析 因?yàn)?,且,所以平面,又因?yàn)槠矫?所以.故選C.評(píng)注 本題屬于線面關(guān)系定理的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,有一定難度,需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和公式定理的實(shí)際應(yīng)用能力,問(wèn)題的重點(diǎn)與難點(diǎn)在于找到與包含的平面垂直的直線!2.(2017全國(guó)1文18)如圖所示,在四棱錐中,且.(1)證明:平面平面;(2)若,且四棱錐的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.解析 (1)因?yàn)椋?因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以又,所以平?因?yàn)槠矫?,所以平面平面?)由(1)知平面,因?yàn)槠矫?,所以平面平面如圖所示,取中點(diǎn).因?yàn)?,所?又因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,平面,所以平面由,得四邊形為平行四邊?又因?yàn)槠矫?,得,即四邊形是矩?不妨設(shè),則,所以,且因此四棱錐的體積為,解得所以3.(2017全國(guó)3文19)如圖所示,四面體中,是正三角形,(1)證明:;(2)已知是直角三角形,若為棱上與不重合的點(diǎn),且,求四面體與四面體的體積比解析 (1)設(shè)中點(diǎn)為,聯(lián)結(jié),. 由,得,由,得.又因?yàn)?,所以平?又因?yàn)槠矫妫?(2)設(shè),則.由,得,故.又因?yàn)?,所?所以,所以,可得. 即點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半,所以,所以體積比為.評(píng)注 本題第一問(wèn)考查線線垂直的證明,屬于常規(guī)題型;第二問(wèn)用相似或解三角形的方法求解直線長(zhǎng)度,特別是用相似在高中階段比較少見(jiàn),但16年全國(guó)卷選擇題的壓軸題也有類似考法.這說(shuō)明,雖然幾何證明在高中階段已經(jīng)不再作為一個(gè)固定的選作題出現(xiàn),但其主要知識(shí)點(diǎn)仍然可以作為考點(diǎn),在高考中進(jìn)行考查,筆者提醒各位老師在今后的教學(xué)中要特別注意到這一點(diǎn).4.(2017北京文18)如圖所示,在三棱錐中,為線段的中點(diǎn),為線段上一點(diǎn)(1)求證:;(2)求證:平面平面;(3)當(dāng)平面時(shí),求三棱錐的體積解析 (1)因?yàn)椋?,所以平面.又因?yàn)槠矫妫?(2)因?yàn)?,為線段的中點(diǎn),所以在等腰中,.又由(1)可知,所以平面.由為線段上一點(diǎn),則平面,所以又因?yàn)槠矫?,所以平面平?(3)當(dāng)平面時(shí),平面,且平面平面,可得.由是邊的中點(diǎn)知,為邊的中點(diǎn).故而,因?yàn)槠矫?,所以平?由,為邊中點(diǎn)知,又,有,即因此,.5.(2017山東文18)由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示,四邊形為正方形,為與的交點(diǎn),為的中點(diǎn),平面.(1)證明:平面;(2)設(shè)是的中點(diǎn),證明:平面平面.解析(1)如圖所示,取中點(diǎn),聯(lián)結(jié),由于為四棱柱,所以,因此四邊形為平行四邊形,所以.又平面,平面,所以平面.(2)因?yàn)樗倪呅问钦叫危?,分別為和的中點(diǎn),所以.又 面,平面,所以.因?yàn)?,所以.又平面,所以平面,又平面,所以平面平面.解析(1)如圖所示,取中點(diǎn),聯(lián)結(jié),由于為四棱柱,所以,因此四邊形為平行四邊形,所以.又平面,平面,所以平面.(2)因?yàn)樗倪呅问钦叫?,所以,分別為和的中點(diǎn),所以.又 面,平面,所以.因?yàn)?,所以.又平面,所以平面,又平面,所以平面平面.6.(2017浙江19)如圖所示,已知四棱錐,是以為斜邊的等腰直角三角形,為的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.解析 (1)如圖所示,設(shè)DE的中點(diǎn)為,聯(lián)結(jié),.因?yàn)椋謩e為,的中點(diǎn),所以,且.又因?yàn)?,所以,且,所以四邊形為平行四邊形,所以,又平面,所以平?(2)分別取,的中點(diǎn)為,.聯(lián)結(jié)交于點(diǎn),聯(lián)結(jié).因?yàn)?,分別是,的中點(diǎn),所以為的中點(diǎn),在平行四邊形中,.由為等腰直角三角形,得.由,是的中點(diǎn),所以,且,所以四邊形是平行四邊形,所以,所以.又,所以平面,由,得平面,又平面,所以平面平面.過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為,聯(lián)結(jié).是在平面上的射影,所以是直線與平面所成的角.設(shè).在中,由,由余弦定理得,又平面,平面,所以.在中,由,,為的中點(diǎn),得.在中,所以,所以直線與平面所成角的正弦值是.7.(2017江蘇15)如圖所示,在三棱錐中, 平面平面, 點(diǎn)(與不重合)分別在棱上,且求證:(1)平面; (2)解析 (1)在平面內(nèi),因?yàn)?,且點(diǎn)與點(diǎn)不重合,所以.又因?yàn)槠矫?,平面,所以平?(2)因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面?平面,所以平面.因?yàn)槠矫?,所?又,平面,平面,所以平面.又因?yàn)槠矫?,所?題型98 與垂直有關(guān)的開(kāi)放性、探究性問(wèn)題2015年1.(2015安徽文19) 如圖所示,在三棱錐中,平面,.(1)求三棱錐的體積;(2)求證:在線段上存在點(diǎn),使得,并求的值.1.分析 (1)在中,由三角形的面積公式,求出三角形面積.又因?yàn)槊?,所以是三棱錐的高,根據(jù)錐體的體積公式即可求出結(jié)果;(2)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),過(guò)作交于點(diǎn),根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,可知此點(diǎn)即為所求,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出結(jié)果.解析 (1)在中,所以.又因?yàn)槊?,所以是三棱錐的高,所以.(2)過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),聯(lián)結(jié),如圖所示.因?yàn)槊?,所以?又面,得.又,所以面.又面,所以.此時(shí)點(diǎn)即為所找點(diǎn),在中,由題意可得,所以.由,可得,所以,所以.2.(2015北京文18) 如圖所示,在三棱錐中,平面平面,三角形為等邊三角形,且,分別為,的中點(diǎn).(1) 求證:平面.(2) 求證:平面平面 .(3) 求三棱錐的體積. 2.解析 (1)依題意,分別為,的中點(diǎn),則是的中位線,所以,平面,平面,故平面.(2)因?yàn)樵谥校覟榈闹悬c(diǎn),所以,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,又平面,故平面平面.(3)由(2)知,平面,所以3(2015福建文20)如圖所示,是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn),垂直于圓所在的平面,且(1)若為線段的中點(diǎn),求證:平面;(2)求三棱錐體積的最大值;(3)若,點(diǎn)在線段上,求的最小值3.分析 (1)要證明平面,只需證明垂直于面內(nèi)的兩條相交直線首先由垂直于圓所在的平面,可證明.又,為的中點(diǎn),可證明,進(jìn)而證明結(jié)論;(2)三棱錐中,高,要使得體積最大,則底面面積最大,又是定值,故當(dāng)邊上的高最大,此時(shí)高為半徑,進(jìn)而求三棱錐體積的最大值;(3)將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面,使之與平面共面,此時(shí)線段的長(zhǎng)度即為的最小值解析 (1)在中,因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn),所以又垂直于圓所在的平面,所以.因?yàn)?,所以平面?)因?yàn)辄c(diǎn)在圓上,所以當(dāng)時(shí),到的距離最大,且最大值為1又,所以面積的最大值為又因?yàn)槿忮F的高,故三棱錐體積的最大值為(3)解法一:在中,所以同理,所以在三棱錐中,將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面,使之與平面共面,如圖所示當(dāng)共線時(shí),取得最小值又因?yàn)?,所以垂直平分,即為中點(diǎn)從而,即的最小值為解法二:由解法一可知, ,所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),與同時(shí)取得最小值.故.所以的最小值為.4.(2015湖北文20)九章算術(shù)中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的陽(yáng)馬中,側(cè)棱底面,且,點(diǎn)是的中點(diǎn),連接、.(1)證明:平面.試判斷四面體是否為鱉臑.若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)記陽(yáng)馬的體積為,四面體的體積為,求的值.4.解析 (1)因?yàn)榈酌?,所? 由底面為長(zhǎng)方形,有,而,所以平面. 平面,所以. 又因?yàn)椋c(diǎn)是的中點(diǎn),所以. 而,所以平面.由平面,平面.可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形,即四面體是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別是(2)由已知,是陽(yáng)馬的高,所以.由(1)知,是鱉臑的高,所以.在中,因?yàn)?,點(diǎn)是的中點(diǎn),所以,于是 5.(2015江蘇文22)如圖所示,在四棱錐中,已知平面,且四邊形為直角梯形,(1)求平面與平面所成二面角的余弦值;(2)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線與所成的角最小時(shí),求線段的長(zhǎng)5.解析 由平面,故,兩兩垂直,所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,(1)易知平面,故平面的一個(gè)法向量為又,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,.所以,取,則,故,因此.易知平面與平面所成二面角為銳二面角,故其余弦值為(2)因,設(shè),所以,因此,設(shè),所以,令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),有最大值,即有最大值,此時(shí)直線與所成的角最小,故評(píng)注 也可以假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)解決在求解的最大值時(shí),也可以處理成:,設(shè),則,所以,所以當(dāng),取最小值, 此時(shí)取最大值,此時(shí)直線與所成的角最小,即,解得,故6.(2015四川文18)一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(1)請(qǐng)按字母F,G,H標(biāo)記在正方體相應(yīng)地頂點(diǎn)處(不需要說(shuō)明理由);(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系.并說(shuō)明你的結(jié)論;(3)求證:直線平面.6.解析 (1)點(diǎn)F,G,H的位置如圖所示.(2)平面平面.證明如下:因?yàn)闉檎襟w,所以,.又,所以,.所以為平行四邊形,所以.又平面,平面,所以平面.同理平面.又,所以平面平面.(3)聯(lián)結(jié),因?yàn)闉檎襟w,所以平面.因?yàn)槠矫妫?又,所以平面.又平面,所以.同理,.又,所以平面.題型99 空間角與空間距離2013年1(2013江西文19)如圖,直四棱柱中, 為上一點(diǎn),.(1)證明:平面;(2)求點(diǎn)到平面的距離2. (2013天津文17) 如圖, 三棱柱中, 側(cè)棱底面,且各棱長(zhǎng)均相等.分別為棱的中點(diǎn). (1)證明:平面; (2)證明:平面平面;(3)求直線與平面所成角的正弦值. 3. (2013湖南文17) 如圖2.在直棱柱中,是的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng).(1)證明:;(2)當(dāng)異面直線, 所成的角為時(shí),求三棱錐的體積.4.(2013浙江文20)如圖,在在四棱錐中,面, ,為線段上的點(diǎn).(1)證明:平面; (2)若是的中點(diǎn),求與所成的角的正切值;(3)若滿足 面,求的值.2014年1.(2014大綱文4)已知正四面體ABCD中,E是AB的中點(diǎn),則異面直線CE與BD所成角的余弦值為( ).A B C D2.(2014天津文17)如圖所示,四棱錐的底面是平行四邊形,,分別是棱的中點(diǎn).(1) 求證:平面;(2) 若二面角為, 求證:平面平面; 求直線與平面所成角的正弦值.3.(2014浙江文20)如圖所示,在四棱錐中,平面平面;,.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成的角的正切值. 4.(2014大綱文19)如圖所示,三棱柱中,點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上,.(1)求證:;(2)設(shè)直線與平面的距離為,求二面角的大小.5. (2014新課標(biāo)文18)如圖所示,四棱錐中,底面為矩形,平面,為的中點(diǎn).(1)求證:平面; (2)設(shè),三棱錐的體積,求到平面的距離.5.(2014湖南文18)如圖所示,已知二面角的大小為,菱形在面內(nèi),兩點(diǎn)在棱上,是的中點(diǎn),面,垂足為. (1)求證:平面; (2)求異面直線與所成角的余弦值. 2015年1.(2015江蘇文22)如圖所示,在四棱錐中,已知平面,且四邊形為直角梯形,(1)求平面與平面所成二面角的余弦值;(2)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線與所成的角最小時(shí),求線段的長(zhǎng)1.解析 由平面,故,兩兩垂直,所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,(1)易知平面,故平面的一個(gè)法向量為又,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,所以,取,則,故,因此,易知平面與平面所成二面角為銳二面角,故其余弦值為(2)因,設(shè),所以,因此,設(shè),所以,令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),有最大值,即有最大值,此時(shí)直線與所成的角最小,故評(píng)注 也可以假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)解決在求解的最大值時(shí),也可以處理成:,設(shè),則,所以,所以當(dāng),取最小值, 此時(shí)取最大值,此時(shí)直線與所成的角最小,即,解得,故2016年1.(2016全國(guó)乙文11)平面過(guò)正方體的頂點(diǎn),平面,平面,平面,則所成角的正弦值為( ).A. B. C. D.1.A 解析 解法一:將圖形延伸出去,構(gòu)造一個(gè)正方體,如圖所示.通過(guò)尋找線線平行構(gòu)造出平面,即平面,即研究與所成角的正弦值,易知,所以其正弦值為.故選A.解法二(原理同解法一):過(guò)平面外一點(diǎn)作平面,并使平面,不妨將點(diǎn)變換成,作使之滿足同等條件,在這樣的情況下容易得到,即為平面,如圖所示,即研究與所成角的正弦值,易知,所以其正弦值為.故選A.2.(2016浙江文14)如圖所示,已知平面四邊形,.沿直線將翻折成,直線與所成角的余弦的最大值是_.2. 解析 設(shè)直線與所成角為.設(shè)是中點(diǎn)由已知得,如圖所示,以為軸,為軸,過(guò)與平面垂直的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,有,.作于,翻折的過(guò)程中,始終與垂直,且的長(zhǎng)度始終不變,則,因此可設(shè),則,與平行的單位向量為.所以,所以時(shí),取最大值.3.(2016上海文19)將邊長(zhǎng)為的正方形(及其內(nèi)部)繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,如圖所示,長(zhǎng)為,長(zhǎng)為,其中與在平面的同側(cè).(1)求圓柱的體積與側(cè)面積;(2)求異面直線與所成的角的大小.3.解析 (1)由題意可知,圓柱的母線長(zhǎng),底面半徑.圓柱的體積,圓柱的側(cè)面積.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的母線與下底面交于點(diǎn),則,所以或其補(bǔ)角為與所成的角.由長(zhǎng)為,可知,由長(zhǎng)為,可知,所以異面直線與所成的角的大小為.4.(2016浙江文18)如圖所示,在三棱臺(tái)中,平面平面,.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的余弦值.4.解析 (1)因?yàn)榇藥缀误w三棱臺(tái),延長(zhǎng)可相交于一點(diǎn),如圖所示.因?yàn)槠矫妫矫鏋?,且,所以,因?又因?yàn)?,可以求得,所以為等邊三角形,且為的中點(diǎn),則.因?yàn)椋云矫?(2)因?yàn)槠矫?,所以是直線與平面所成的角,因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn),所以.在中,得.所以直線與平面所成的角的余弦值為.5.(2016天津文17)如圖所示,四邊形是平行四邊形,平面平面,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求證:平面平面;(3)求直線與平面所成角的正弦值.5.解析 (1)如圖所示,取的中點(diǎn)為,聯(lián)結(jié),.在中,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以且.又因?yàn)?,所以且,即四邊形是平行四邊形,所?又平面,平面,所以平面(2)證明:在中,.由余弦定理可得,進(jìn)而可得,即.又因?yàn)槠矫嫫矫?,平面,平面平面,所以平?又因?yàn)槠矫?,所以平面平?(3)因?yàn)?,所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),連接,如圖所示.又因?yàn)槠矫嫫矫?,由?)知平面,所以直線與平面所成角即為.在中,.由余弦定理可得,所以.因此.在中,所以直線與平面所成角的正弦值為.2017年1.(2017天津文17)如圖所示,在四棱錐中,平面,.(1)求異面直線與所成角的余弦值;(2)求證:平面;(3)求直線與平面所成角的正弦值.解析 (1)如圖所示,由已知,故或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角.因?yàn)槠矫?,平面,所?在中,由勾股定理,得,故.所以異面直線與所成角的余弦值為.(2)證明:因?yàn)槠矫?,直線平面,所以.又因?yàn)?,所?又,且,所以平面.(3)如圖所示,過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn),聯(lián)結(jié),則與平面所成的角等于與平面所成的角.因?yàn)镻D平面,平面,所以PD,所以為在平面上的射影,所以為直線和平面所成的角.因?yàn)?,所以四邊形是平行四邊形,所?由,得.因?yàn)槠矫妫矫?,所以,又因?yàn)?,所?在中,由勾股定理得,所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.2.(2017浙江19)如圖所示,已知四棱錐,是以為斜邊的等腰直角三角形,為的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.解析 (1)如圖所示,設(shè)DE的中點(diǎn)為,聯(lián)結(jié),.因?yàn)?,分別為,的中點(diǎn),所以,且.又因?yàn)?,所以,且,所以四邊形為平行四邊形,所以,又平面,所以平?(2)分別取,的中點(diǎn)為,.聯(lián)結(jié)交于點(diǎn),聯(lián)結(jié).因?yàn)?,分別是,的中點(diǎn),所以為的中點(diǎn),在平行四邊形中,.由為等腰直角三角形,得.由,是的中點(diǎn),所以,且,所以四邊形是平行四邊形,所以,所以.又,所以平面,由,得平面,又平面,所以平面平面.過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為,聯(lián)結(jié).是在平面上的射影,所以是直線與平面所成的角.設(shè).在中,由,由余弦定理得,又平面,平面,所以.在中,由,,為的中點(diǎn),得.在中,所以,所以直線與平面所成角的正弦值是.

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本文(2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-第八章第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì))為本站會(huì)員(努力****83)主動(dòng)上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請(qǐng)立即通知裝配圖網(wǎng)(點(diǎn)擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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