上海交大研究生矩陣?yán)碚摯鸢?doc

習(xí)題 一1（1）因=，故由歸納法知。（2）直接計算得，故設(shè)，則，即只需算出即可。（3）記J=，則 ， 。2設(shè)不可能。而由知所以所求矩陣為，其中P為任意滿秩矩陣，而。注：無實解，的討論雷同。3設(shè)A為已給矩陣，由條件對任意n階方陣X有AX=XA，即把X看作個未知數(shù)時線性方程AXXA=0有個線性無關(guān)的解，由線性方程組的理論知其系數(shù)矩陣為零矩陣，通過直接檢驗即發(fā)現(xiàn)A為純量矩陣。4分別對（A B）和作行（列）初等變換即可。5先證A或B是初等到陣時有，從而當(dāng)A或B為可逆陣時有。考慮到初等變換A對B的階子行列式的影響及即可得前面提到的結(jié)果。下設(shè)，（這里P，Q滿秩），則由前討論只需證下式成立即可：，（1） r<n-1時，因秩小于n-1的n 階方陣的n-1階子式全為0，結(jié)論顯然；（2） r=n-1時，但，故。6由，即與同解，此即所求證。7設(shè)其逆為，則當(dāng)I固定時由可逆陣的定義得n個方程，其中為Kronecker符號。對這里的第個方程乘以然后全加起來得，即得。注：同一方程式的全部本原根之和為0，且也是本原根（可能其滿足的方程次數(shù)小于n）。習(xí)題 二1 因，所以V中零元素為1，x的負(fù)元素為，再證結(jié)合律、交換律和分配律。2 歸納法：設(shè)，則下面三者之一必成立：（1）；（2）。（3） 存在及。如果是（1）（2）則歸納成立，如果是（3）則選s 個不同的數(shù)，則必有某一個。3 U是滿足方程tr(A)=0解向量空間，其維數(shù)為，故其補空間為一維的，可由任一跡非0的矩陣生成。4 易證線性封閉。又設(shè)V中元素為，則U是滿足方程的子空間。故U的維數(shù)為n-1，其補空間為一維的，故任取一系數(shù)非0且不滿足此方程式的元即可生成此補空間。5 記U=，把U,W放在一起成4行5列的矩陣，其Hermite標(biāo)準(zhǔn)形為，故的基為，U的基為，；W的基為，；的基為，。6，故；。7（1）由線性組合，由基定義知其為一組基。（2）由及得。注：當(dāng)k<j時，。8由的線性組合知存在矩陣A使得，由線性無關(guān)可知故，把A的Hermite標(biāo)準(zhǔn)形非0行的第一個非0元所在列對應(yīng)的全替代為即為所求。9易證為子空間；上的核空間，故。習(xí)題三1略2，故內(nèi)積定義的（1）（3）顯然；而（2）成立為正定矩陣。3（1）（3）顯然 （2）且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)。習(xí)題 四1 設(shè)AB的特征值及其對應(yīng)的特征向量為，即，如，則（注意到只能有一個特征值為0）。故由知BA與AB特征值勤全相同，所以它們都相似于。2對應(yīng)的矩陣為，即作基變換則故使為對角形的基即可。3V的一組基為，分別記為，則，故=，求出使為對角形陣的P，基取為4令，。5 知除0外AB與BA的特征值全相同（包括代數(shù)重數(shù)），而跡為矩陣特征值之和。6 （1）特征多項式為最小多項式，可能角化 （2）為最小多項式，可對角化（3）特征多項式為，經(jīng)驗證，故最小多項式為，可對角化。（4）同（3），但，故最小多項式為，不能對角化。7（1），則； （2），8 由特征多項式的表達(dá)式特和題設(shè)有，故，又為實數(shù)故均為0?，F(xiàn)由Shur定理存在P使=B，直接計算得。9 由且即得。10 略11 略12 蓋爾圓分離且A為實陣，故A有n個不同實根。（命題4.4.1 及其推論）13 略習(xí)題 五1 略2 略3 略4 略5 （1） ，即初等因子為，故Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為，由AX=2X解出，再由AX-2X= 求出及由解出，則即為所求。6 略7由于冪0陣的特征值全為0，故若其不為0陣則其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形必含階大于1的Jordan塊J=，但J的最小多項式為（r>1）有重根不能對角化，故冪0陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形不能對角化，那它自己當(dāng)然也不能對角化。8設(shè)為A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 及 ，易算出，而。9特征值為，可對角化后計算。10記V的基為則，可初等變換為，故初等因子為；以下略。11設(shè)A的標(biāo)準(zhǔn)形的Jordan塊為，則，而，故時對應(yīng)于每個特征值的Jordan塊僅有一個。習(xí)題 六1（1）（2）略（3）直接計算有 ， 由內(nèi)積的性質(zhì)得。2 設(shè)，（U為酉矩陣），故，所以，3（1）由及即得， （2）由第2題得； （3），故由知必為1或04（1）（2）略 （3），由 （4），又為實數(shù)，故為，所以5 為AB的特征值，對應(yīng)特征向量為X，則；由A，B正定及正定和（A滿秩）知 6 由紹爾定理存在酉陣U使得， 故，故7設(shè)，U為正交陣， 令，則 ，其中8設(shè)，而 AB正規(guī)正規(guī)正規(guī)并且，故不妨設(shè) ， 其中互不相同，則由AB=BA知 （當(dāng)時），即；易證為正規(guī)陣，故存在酉陣使得為對角陣，令，則為對角陣，故AB為正規(guī)陣。9略10，故 由此即可算出。11特征多項式相同特征值及其重數(shù)都相同兩個矩陣與同一對角陣相似。12計算出，特征值為，故 1所對應(yīng)的特征向量為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)角由決定。13特征值為，求出特征向量即可。14 對， 注意到上式已用到。15兩者均為正規(guī)陣，故求出特征向量并標(biāo)準(zhǔn)化即可。習(xí)題 七1 略；2。略3（1）由得 （2）由得4見習(xí)題六第6題的證明，注意被酉陣乘后不改變這兩種范數(shù)。5略；6不一定，反例略；7由得；8可簡單計算出最小多項式為，且函數(shù)在A的譜上的數(shù)值為，故與多項式2x在A的譜上的數(shù)值相同，所以f(A)=2A9.易計算出其特征值為0，0.2，故。10，后略；11 后略；12特征多項式為或或，故尋找二次多項式使得 或或；13（1），后略；14略15略16（1）設(shè)，故，注意到A與有相同的特征值及其重數(shù)，故 ，即，所以 。 （2）的證明類似，略。