2013-2017高考數(shù)學(xué)分類(lèi)匯編-第10章圓錐曲線(xiàn)-4 曲線(xiàn)與方程（理科）

第4節(jié) 曲線(xiàn)與方程題型123 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程1.（2013遼寧理20）如圖，拋物線(xiàn).點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，過(guò)作的切線(xiàn)，切點(diǎn)為（為原點(diǎn)時(shí)，重合于）.當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)的斜率為.（1）求的值；（2）當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程（重合于時(shí)，中點(diǎn)為）.2.（2014 湖北理 21）（滿(mǎn)分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多，記點(diǎn)的軌跡為.（1）求軌跡為的方程；（2）設(shè)斜率為的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).求直線(xiàn)與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)公共點(diǎn)，三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍.3.（2014 廣東理 20） （14分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線(xiàn)相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程.4.（2016四川理15）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)不是原點(diǎn)時(shí)，定義的“伴隨點(diǎn)”為，當(dāng)是原點(diǎn)時(shí)，定義“伴隨點(diǎn)”為它自身，現(xiàn)有下列命題：若點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)，則點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn).單元圓上的“伴隨點(diǎn)”還在單位圓上.若兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則他們的“伴隨點(diǎn)”關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).若三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，則他們的“伴隨點(diǎn)”一定共線(xiàn).其中的真命題是 .4. 解析 對(duì)于，若令則其伴隨點(diǎn)為，而的伴隨點(diǎn)為，而不是，故錯(cuò)誤；對(duì)于，令單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為，其伴隨點(diǎn)為仍在單位圓上，故正確；對(duì)于，設(shè)曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則對(duì)曲線(xiàn)表示同一曲線(xiàn)，其伴隨曲線(xiàn)分別為與也表示同一曲線(xiàn)，又因?yàn)槠浒殡S曲線(xiàn)分別為與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以正確；對(duì)于，直線(xiàn)上取點(diǎn)得，其伴隨點(diǎn)消參后軌跡是圓，故錯(cuò)誤.所以正確的序號(hào)為.5.（2016全國(guó)乙理20（1）設(shè)圓的圓心為，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與軸不重合，交圓于，兩點(diǎn)，過(guò)作的平行線(xiàn)交于點(diǎn).（1）證明為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)的軌跡方程.5.解析 (1)如圖所示，圓的圓心為，半徑，因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以，于?，所以.故為定值.又，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，由，得.故點(diǎn)的軌跡的方程為.6.（2016全國(guó)丙卷20）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線(xiàn)于，兩點(diǎn).（1）若在線(xiàn)段上，是的中點(diǎn)，證明；（2）若的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程.6.解析 (1)連接，由，及，得，所以.因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，所以， ，又，所以，所以（等角的余角相等），所以.(2)設(shè)，準(zhǔn)線(xiàn)為，設(shè)直線(xiàn)與軸交點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，得，即設(shè)中點(diǎn)為，由，得，即.又，所以，即易知當(dāng)直線(xiàn)不存在時(shí)，點(diǎn)也滿(mǎn)足此方程，所以中點(diǎn)軌跡方程為.7.（2017全國(guó)2卷理科20（1）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，過(guò)作軸的垂線(xiàn)，垂足為，點(diǎn)滿(mǎn)足.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；7解析 （1）設(shè)點(diǎn)，易知，又，所以點(diǎn).又在橢圓上，所以，即