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數(shù)學(xué)理高考二輪專題復(fù)習(xí)與測試:第二部分 專題五 第3講 圓錐曲線中的熱點(diǎn)問題 Word版含解析

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數(shù)學(xué)理高考二輪專題復(fù)習(xí)與測試:第二部分 專題五 第3講 圓錐曲線中的熱點(diǎn)問題 Word版含解析

A級(jí)基礎(chǔ)通關(guān)一、選擇題1(2017·全國卷改編)橢圓C:1的焦點(diǎn)在x軸上,點(diǎn)A,B是長軸的兩端點(diǎn),若曲線C上存在點(diǎn)M滿足AMB120°,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(3,)B1,3)C(0,)D(0,1解析:依題意,當(dāng)0m3時(shí),焦點(diǎn)在x軸上,要在曲線C上存在點(diǎn)M滿足AMB120°,則tan 60°,即,解得0m1.答案:D2(2018·全國卷)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),若PF1PF2,且PF2F160°,則C的離心率為()A1 B2 C.D.1解析:在F1PF2中,PF1PF2,PF2F160°.由|F1F2|2c,得|PF2|c,|PF1|c.由橢圓定義知|PF1|PF2|2a,即(1)c2a.故橢圓的離心率e1.答案:D3若點(diǎn)P為拋物線y2x2上的動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),則|PF|的最小值為()A2 B. C. D.解析:根據(jù)題意,拋物線y2x2上,設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d,則有|PF|d,拋物線的方程為y2x2,即x2y,其準(zhǔn)線方程為y,所以當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時(shí),d有最小值,即|PF|min.答案:D4(2019·天津卷)已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線1(a0,b0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,且|AB|4|OF|(O為原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()A. B. C2 D.解析:由已知易得,拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線l:x1,所以|OF|1.又雙曲線的兩條漸近線的方程為y±x,不妨設(shè)點(diǎn)A,B,所以|AB|4|OF|4,所以2,即b2a,所以b24a2.又因?yàn)閏2a2b2,所以c25a2,所以e.答案:D5(2019·安徽六安一中模擬)點(diǎn)P在橢圓C1:1上,C1的右焦點(diǎn)為F2,點(diǎn)Q在圓C2:x2y26x8y210上,則|PQ|PF2|的最小值為()A44 B44 C62 D26解析:設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1(1,0)則|PQ|PF2|PQ|(2a|PF1|)|PQ|PF1|4,故要求|PQ|PF2|的最小值即求|PQ|PF1|的最小值又圓C2的半徑r2,圓心C2(3,4),所以(|PQ|PF1|)min|C2F1|r222.故|PQ|PF2|的最小值為26.答案:D二、填空題6(2019·廣東六校聯(lián)考)已知雙曲線1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,在雙曲線上存在點(diǎn)P滿足2|,則此雙曲線的離心率e的取值范圍是_解析:由于O是F1F2的中點(diǎn),得()因?yàn)殡p曲線上的存在點(diǎn)P滿足2|,則4|2c.由于|a,知4a2c,所以e2.答案:2,)7已知拋物線y24x,過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作x軸,y軸垂線,垂足分別為C,D,則|AC|BD|的最小值為_解析:不妨設(shè)A(x1,y1)(y10),B(x2,y2)(y20)則|AC|BD|x2y1y1.又y1y2p24,所以|AC|BD|(y20)設(shè)g(x),g(x),令g(x)0,得x2,令g(x)0,得2x0.所以g(x)在(,2)上遞減,在(2,0)上遞增所以當(dāng)x2,即y22時(shí),|AC|BD|取最小值為3.答案:38(2019·浙江卷)已知橢圓1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方若線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心,|OF|為半徑的圓上,則直線PF的斜率是_解析:如圖,左焦點(diǎn)F(2,0),右焦點(diǎn)F(2,0)線段PF的中點(diǎn)M在以O(shè)(0,0)為圓心,2為半徑的圓上,因此OM2.在FFP中,OMPF,所以PF4.根據(jù)橢圓的定義,得PFPF6,所以PF2.又因?yàn)镕F4,所以在RtMFF中,tan PFF,故直線PF的斜率是.答案:三、解答題9已知曲線C:y24x,曲線M:(x1)2y24(x1),直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若·4,求證:直線l恒過定點(diǎn);(2)若直線l與曲線M相切,求·(點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,0)的最大值(1)證明:設(shè)l:xmyn,A(x1,y1),B(x2,y2)由得y24my4n0.所以y1y24m,y1y24n.所以x1x24m22n,x1x2n2.由·4,得x1x2y1y2n24n4,解得n2.所以直線l方程為xmy2,所以直線l恒過定點(diǎn)(2,0)(2)解:因?yàn)橹本€l與曲線M:(x1)2y24(x1)相切,所以2,且n3,整理得4m2n22n3(n3)又點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,0),所以由已知及,得·(x11,y1)·(x21,y2)(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2n24m22n14nn24m26n144n.又y44n(n3)是減函數(shù),所以當(dāng)n3時(shí),y44n取得最大值8.故·的最大值為8.10(2019·惠州調(diào)研)已知橢圓C:1(ab0)的離心率為,短軸長為2.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)A(0,4)的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),F(xiàn)是橢圓C的上焦點(diǎn)問:是否存在直線l,使得SMAFSMNF?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由解:(1)由題意知,b,且a2b2c2,解之得a24,b23.所以橢圓C的方程為1.(2)存在理由如下:由題意可知l的斜率一定存在,設(shè)l為ykx4,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立(3k24)x224kx360,所以由SMAFSMNF,知M為線段AN的中點(diǎn),所以x22x1,將代入得x1;代入得x.從而可得k2,且滿足式,所以k±.因此存在直線l為6xy40或6xy40滿足題意B級(jí)能力提升11(2019·華南師大檢測)已知橢圓D的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,焦距為2,且長軸長是短軸長的倍(1)求橢圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)P(2,0),過橢圓D左焦點(diǎn)F的直線l交D于A、B兩點(diǎn),若對(duì)滿足條件的任意直線,不等式·(R)恒成立,求的最小值解:(1)依題意,c1,ab,又a2b2c2,得2b2b21,所以b21,a22.所以橢圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則·(x12,y1)·(x22,y2)(x12)(x22)y1y2,當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),x1x21,y1y2且y,此時(shí)(3,y1),(3,y2)(3,y1),所以·(3)2y.當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線l:yk(x1),由整理得(12k2)x24k2x2k220,所以x1x2,x1x2,所以·x1x22(x1x2)4k2(x11)(x21)(1k2)x1x2(k22)(x1x2)4k2(1k2)(k22)·4k2.要使不等式·(R)恒成立,只需(·)max,故的最小值為.12設(shè)橢圓M:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為A(1,0),B(1,0),C為橢圓M上的點(diǎn),且ACB,SABC.(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)過橢圓M右焦點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線與橢圓M相交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),探究在x軸上是否存在定點(diǎn)D,使得·為定值?若存在,試求出定值和點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由解:(1)在ABC中,由余弦定理得AB2CA2CB22CA·CB·cos C(CACB)23CA·CB4.又SABCCA·CB·sin CCA·CB,所以CA·CB,代入上式得CACB2,所以橢圓長軸2a2,焦距2cAB2,所以b1.所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)直線方程yk(x1),E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),聯(lián)立消去y得(12k2)x24k2x2k220,8k280,所以x1x2,x1x2.假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)D(x0,0)使得·為定值所以·(x1x0,y1)·(x2x0,y2)x1x2x0(x1x2)xy1y2x1x2x0(x1x2)xk2(x11)(x21)(1k2)x1x2(x0k2)(x1x2)xk2要使·為定值,則·的值與k無關(guān),所以2x4x012(x2),解得x0,此時(shí)·為定值,定點(diǎn)為.

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