易拉罐的優(yōu)化設(shè)計(jì).doc

易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)組員：邢登峰，張娜，劉夢(mèng)云摘要研究易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)約的資源是很可觀的。問題一，我們通過實(shí)際測量得出（355ml）易拉罐各部分的數(shù)據(jù)。問題二，在假設(shè)易拉罐蓋口厚度與其他部分厚度之比為3：1的條件下，建立易拉罐用料模型，由微積分方法求最優(yōu)解，結(jié)論：易拉罐高與直徑之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高與直徑2：1的條件下，將易拉罐材料設(shè)想為外體積減內(nèi)體積，得用料模型：用微積分方法得最優(yōu)解：易拉罐蓋子厚度與其他部分厚度為3：1。問題三，在易拉罐基本尺寸，高與直徑之比2：1的條件下，將上面為正圓臺(tái)的易拉罐用料優(yōu)化設(shè)計(jì)，轉(zhuǎn)化為正圓柱部分一定而研究此正圓臺(tái)的用料優(yōu)化設(shè)計(jì)。模型 圓臺(tái)面積 用數(shù)學(xué)軟件求得最優(yōu)解r=1.467, h=1.93時(shí)，s=45.07最小。結(jié)論：易拉罐總高：底直徑=2：1，上下底之比=1：2，與實(shí)際比較分析了各種原因。問題四，從重視外觀美學(xué)要求（黃金分割），認(rèn)為高與直徑之比1：0.4更別致、美觀。對(duì)這種比例的正圓柱體易拉罐作了實(shí)際優(yōu)化分析。另從美學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度提出正四面柱體易拉罐的創(chuàng)新設(shè)想，分析了這樣易拉罐的優(yōu)缺點(diǎn)和尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)。最后寫出了我們對(duì)數(shù)學(xué)建模的體會(huì)文章。關(guān)鍵詞：易拉罐 最優(yōu)設(shè)計(jì) 數(shù)學(xué)建模問題重述在生活中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等) 的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的?？磥?，這并非偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，對(duì)于單個(gè)的易拉罐來說，這種最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個(gè)易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。現(xiàn)在就請(qǐng)你們小組來研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題。具體說，請(qǐng)你們完成以下的任務(wù)：1 取一個(gè)凈含量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測量你們認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測量得到的，那么你們必須注明出處。2 設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。3 設(shè)易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。4. 利用你們對(duì)所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。一、問題的提出我們只要稍加留意就會(huì)發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等) 的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的?？磥恚@并非偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，對(duì)于單個(gè)的易拉罐來說，這種最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個(gè)易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。對(duì)于易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)我們提出了以下問題：1. 取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測量你們認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測量得到的，那么你們必須注明出處。2. 設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。3. 設(shè)易拉罐的中心縱斷面如圖所示，即上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一個(gè)正圓柱體，什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。4. 利用你們對(duì)所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。 二、模型假設(shè)1、假設(shè)易拉罐的各個(gè)組成部分是同一種材料；不考慮具體的用料（假設(shè)為鋁材），也不考慮易拉罐的工藝過程。2、易拉罐的形狀和尺寸假設(shè)為“正圓柱體”或“正圓臺(tái)與正圓柱體的結(jié)合”等等。3、實(shí)際測量允許有一定的誤差。4、問題二中的假設(shè)： 在本問題的研究中，假設(shè)易垃罐是一個(gè)正圓柱體； 假設(shè)易拉罐側(cè)面和底面的厚度相同，頂部的厚度是側(cè)面厚度的3倍；三模型的假設(shè)與求解問題一：上圓臺(tái)上底直徑59蓋厚0.30下底直徑67上圓臺(tái)側(cè)面厚0.20高度13正圓柱直徑67壁厚0.10高度110我們測得355ml易拉罐（雪碧）尺寸如下（單位mm）：(以后尺寸均以其為基本單位)問題二： 本題建立在易拉罐是一個(gè)正圓柱體的基礎(chǔ)之上，如圖（2）假設(shè)易拉罐側(cè)面厚度與底面厚度相同，與頂蓋厚度不同。1 符號(hào)說明：r：易拉罐的半徑；h：易拉罐的高；v：易拉罐內(nèi)體積（容積）；sv：易拉罐所用材料的體積；b：易拉罐除頂蓋外的厚度；：頂蓋厚度參數(shù)，即頂蓋厚度。 （2）2 問題分析與模型由于易拉罐尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)要研究到易拉罐各部分厚度問題，可設(shè)想一個(gè)易拉罐所用材料是易拉罐外形體積減去內(nèi)部體積（見圖2）。易拉罐用料=側(cè)面材料+底面材料+頂蓋材料將上式化簡，并以為參數(shù)，看作為自變量。有作簡化，因?yàn)?，則很小，所以可將帶的項(xiàng)忽略。有記（v是已知的，即罐容積一定）。得數(shù)學(xué)模型3 模型求解由約束條件，得，代入目標(biāo)函數(shù)令得因?yàn)樗詾闃O小值點(diǎn)。又由于極值點(diǎn)只有此一個(gè)，因此也是全局極小。又由于，則由對(duì)問題二的前一解的結(jié)論，得，結(jié)論：。4 結(jié)果分析易拉罐頂蓋厚度是側(cè)面厚度的3倍（），與我們對(duì)355ml可口可樂等易拉罐的實(shí)測數(shù)據(jù)完全一致（見問題（1）的解）。問題三：本題建立在易拉罐上面是一個(gè)正圓臺(tái)，下面是一個(gè)正圓柱體的基礎(chǔ)之上，如圖（3）1 符號(hào)說明R：易拉罐正圓柱體半徑（也即是正圓臺(tái)下底半徑）；r：易拉罐正圓臺(tái)上底半徑；h1：易拉罐正圓柱體高；V1：易拉罐正圓柱體容積；h ：易拉罐正圓臺(tái)高；V：易拉罐正圓臺(tái)容積。3問題分析與模型 因?yàn)樯鲜鼋鈫栴}二的結(jié)論（正圓柱體易拉罐用料最省的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)是h=2D）已確定了圓柱形易拉罐的基本尺寸，若易拉罐體積一定，則基本的高與半徑可大致確定，即易拉罐的圓柱體部分確定。所以這里我們可以由此簡化問題為研究正圓臺(tái)部分的優(yōu)化設(shè)計(jì)。以常見的可口可樂等355ml易拉罐為例，易拉罐可取定R=32mm,h1=110mm,于是測算出V=355ml.于是問題三轉(zhuǎn)化為，已知易拉罐上部正圓臺(tái)體積V一定，底半徑R一定時(shí)，其上底半徑r和高h(yuǎn)為何值（或r與h比例是多少）正圓臺(tái)的表面積最小，如圖（4）： （4）求正圓臺(tái)的面積得模型：正圓臺(tái)面積=頂蓋面積+圓臺(tái)側(cè)面積用數(shù)學(xué)軟件求S的最小值（其中如前分析取V=35ml,R=3.2cm），得： 當(dāng)r=1.467cm,h=1.93cm時(shí)，結(jié)論：常見的正圓臺(tái)與正圓柱體結(jié)合的易拉罐，只考慮形狀和尺寸變化用料最少的優(yōu)化設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)是：總高度與底直徑之比為2：1， 正圓臺(tái)的高與上底直徑之比約為2：3（即h：2r2：3），相應(yīng)易拉罐上下底直徑之比為。問題四：新設(shè)計(jì)現(xiàn)今常見的易拉罐都是圓柱形，對(duì)于一定容積的柱體，以正圓柱體的表面積最小，且圓柱形的外形也較為美觀。但易拉罐流行至今幾十年都是圓柱形，也太常見有審美疲勞。因而我們考慮易拉罐基本造型有一個(gè)較大的變化，如創(chuàng)新設(shè)計(jì)為了正四方柱體、正三面柱體、球體等。其實(shí)我們都知道球體是更省料的，像太白酒等酒的瓶子就是這樣。假設(shè)瓶口直徑為20，瓶頸高30（類似于礦泉水瓶口的設(shè)計(jì)），設(shè)球的半徑為R,則：S=S1+S2=4R2+h得S=28624.708mm2該值遠(yuǎn)小于以上計(jì)算結(jié)果，故此種設(shè)計(jì)更優(yōu)。