2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度6.1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題大題狂練 理

命題角度1：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題1已知函數(shù)（）.（1）若函數(shù)的最小值為，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，試求的單調(diào)區(qū)間；【答案】（1）（2）詳見解析【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)：，再討論導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上是否有零點：當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時無最小值，舍去；當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減；在 上單調(diào)遞增.即再時，函數(shù)取最小值，因此，解得.（2）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)：，再討論導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上是否有零點：當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，有兩個根 或，再比較大小，分類討論.（2）由題意，得，則，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時，由，得或，（A）若，則，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；（B）若，則，由，解得，由，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在與上單調(diào)遞減；（C）若，則，同理可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在與上單調(diào)遞減.綜上所述，的單調(diào)區(qū)間如下：當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為與；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為與.2. 已知是常數(shù).()求曲線在點處的切線方程；（）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】() ; （）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【解析】試題分析: () 把x=1代入解析式求出切點坐標(biāo),對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得到斜率,根據(jù)點斜式寫出切線方程;（）把代入得到,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再進(jìn)行配方判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),按照極值點是否在定義域內(nèi)分四類進(jìn)行討論,得出函數(shù)的單調(diào)性.試題解析:() 因為,所以,故曲線在點處的切線方程為所以， 在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，由得（舍去）所以， 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.點睛:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)單調(diào)性的判斷問題的綜合應(yīng)用,屬于中檔題目. 函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線yf(x)在點P(x0，y0)處的切線的斜率 ，過點P的切線方程為： ,求函數(shù)yf(x)在點P(x0，y0)處的切線方程與求函數(shù)yf(x)過點P(x0，y0)的切線方程意義不同，前者切線有且只有一條，且方程為yy0f(x0)(xx0)，后者可能不只一條3.已知函數(shù)在處有極值. （）求實數(shù)的值；（）設(shè)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.【答案】(1) 在處有極值時，,(2)見解析.【解析】試題分析：（）求出導(dǎo)函數(shù)，由且，求得或，檢驗后可得結(jié)果；（）由（）可知，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，分五種情況討論，分別比較極值與端點處的函數(shù)值即可得結(jié)果.試題解析：（）定義域為，在處有極值，且，即解得：或當(dāng)時，當(dāng)時，在處有極值時，.（）由（）可知，其單調(diào)性和極值分布情況如表：+0-0+增極大減極小增當(dāng)，即時，在區(qū)間上的單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)且，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時，在區(qū)間上的單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；時，在區(qū)間上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性為：或時，單調(diào)遞增；時，在上的單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞減；時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【方法點晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，屬于難題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟：確定函數(shù)的定義域；對求導(dǎo)；令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間；根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值及最值（閉區(qū)間上還要注意比較端點處函數(shù)值的大?。?4.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，判斷的單調(diào)性；（2）若在上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù) 的取值范圍.【答案】（1）在上為增函數(shù)；（2）.【解析】試題分析：（1）當(dāng)時，對函數(shù)求導(dǎo)后因式分解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的知識可寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）當(dāng)時，可判斷函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒為非負(fù)數(shù)，函數(shù)遞增符合題意.當(dāng)和時，利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判斷出不符合題意.故.試題解析： (1)當(dāng)時， ，所以在上為減函數(shù)，在 上為增函數(shù)，即，從而可得： 在定義域 上為增函數(shù).(2) 當(dāng)時，由于，所以滿足在 上為單調(diào)增函數(shù)，即；當(dāng)時， ，由方程的判別式： ，所以方程有兩根，且由知， 在上為減函數(shù)，由可知，在時， ，這與 在上為單調(diào)增函數(shù)相矛盾. 當(dāng)時， ， 在上為減函數(shù)，由可知，在時， ，這與 在上為單調(diào)增函數(shù)也是相矛盾. 綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.點睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的求解，考查利用導(dǎo)數(shù)解決已知函數(shù)在某個區(qū)間上遞增求參數(shù)的取值范圍，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.第一問已知的值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其基本步驟是：求函數(shù)導(dǎo)數(shù)、對導(dǎo)數(shù)進(jìn)行通分因式分解、畫出導(dǎo)函數(shù)圖像、畫出原函數(shù)圖像，最后根據(jù)圖像來研究題目所求的問題.第二問由于一階導(dǎo)數(shù)無法解決問題，故考慮用二階導(dǎo)數(shù)來解決.5.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能與軸相切，求實數(shù)的值；否則，請說明理由；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)能取到的最大整數(shù)值.【答案】（1）見解析；（2）1【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程進(jìn)行分析求解；（2）依據(jù)題設(shè)條件借助等比數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解：（1），假設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點，則有，即，由可知，代入中可得，即，方程無解，故無論取何值，函數(shù)的圖象都不與軸相切（2）記，由題意知在上恒成立由，可得， 的必要條件是，若，則，當(dāng)時， ，故，下面證明：當(dāng)時，不等式恒成立令，則記，則，當(dāng)時， 單調(diào)遞增且；當(dāng)時， 單調(diào)遞減且，存在唯一的使得，且當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)時， 單調(diào)遞增，從而恒成立，故能取得的最大整數(shù)為1點睛：本題以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景，設(shè)立了兩道問題，旨在考查導(dǎo)數(shù)知識在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）等方面的綜合運用。求解第一問時，先依據(jù)題設(shè)建立方程組求出方程，然后依據(jù)方程有解還是無解，從而使得問題獲解；解答第二問時，先依據(jù)題設(shè)構(gòu)造函數(shù)用，然后運用導(dǎo)數(shù)知識進(jìn)行分析推證，從而使得問題簡捷巧妙獲解。6. 已知函數(shù)（）若，求函數(shù)在上的最小值；（）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；【答案】(1)1 (2).【解析】試題分析：（）當(dāng)時，其定義域為，所以在上是增函數(shù)，當(dāng)時，故函數(shù)在上的最小值是17.己知函數(shù)， （I）求函數(shù)上零點的個數(shù)； （II）設(shè)，若函數(shù)在上是增函數(shù)求實數(shù)的取值范圍【答案】（）零點個數(shù)為 （II）的取值范圍是【解析】試題分析：（1）先求得， 時， 恒成立，可證明時， ，可得在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點定理可得結(jié)果；（2）化簡為分段函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，討論兩種情況，分別分離參數(shù)求最值即可求得實數(shù)的取值范圍.試題解析：（）函數(shù) ,求導(dǎo)，得，當(dāng)時， 恒成立，當(dāng)時， ， ，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減又， ，曲線在1，2上連續(xù)不間斷，由函數(shù)的零點存在性定理及其單調(diào)性知，唯一的（1，2），使，所以，函數(shù)在上零點的個數(shù)為1 （II）由（）知：當(dāng)時， 0，當(dāng)時， 0當(dāng)時， =求導(dǎo)，得由于函數(shù)在上是增函數(shù)， 故在， 上恒成立. 當(dāng)時， ，當(dāng)時， 在上恒成立，綜合知，當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù)故實數(shù)的取值范圍是8.己知函數(shù) (其中e為自然對數(shù)的底數(shù))， (I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(II)設(shè)，.已知直線是曲線的切線，且函數(shù)上是增函數(shù)(i)求實數(shù)的值；(ii)求實數(shù)c的取值范圍【答案】（I）見解析；（II）（1）；（2）.【解析】試題分析：(I)求導(dǎo)得，討論和即可；(II) (i)由相切得，解方程即可；(ii)先構(gòu)造來討論和的大小，得，求導(dǎo)，得. 由函數(shù)在上是增函數(shù)，且曲線在上連續(xù)不斷知： 在， 上恒成立，分兩段討論即可.試題解析：（），（）（1）對求導(dǎo)，得，設(shè)直線與曲線切于點，則解得，； （2）記函數(shù) ， ，求導(dǎo)，得，當(dāng)時， 恒成立，當(dāng)時， ， ，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減又， ，曲線在1，2上連續(xù)不間斷，由函數(shù)的零點存在性定理及其單調(diào)性知，唯一的（1，2），使當(dāng)時， 0，當(dāng)時， 0當(dāng)時， =求導(dǎo)，得由函數(shù)在上是增函數(shù)，且曲線在上連續(xù)不斷知：在， 上恒成立當(dāng)時， 0在上恒成立，即在上恒成立，記， ，則， ，當(dāng) 變化時， ， 變化情況列表如下：30極小值min= 極小值= ，故“在上恒成立”，只需 ，即當(dāng)時， ，當(dāng)時， 在上恒成立，綜合知，當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù)故實數(shù)的取值范圍是9.已知函數(shù)，. （1）若直線與函數(shù)的圖象相切，求的值；（2）設(shè)，對于，都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1);(2).【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程求解；（2）先將不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，再借助題設(shè)條件與求導(dǎo)法則，運用導(dǎo)數(shù)知識分析求解： (1)設(shè)與的切點為，.又.(2),又在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，即，設(shè)，在上為減函數(shù)，在恒成立，即.設(shè),在上為增函數(shù)，由已知，故實數(shù)的取值范圍是.點睛：本題以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景，旨在考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）等方面的綜合運用。解答本題的第一問時，充分借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直接建立方程進(jìn)行求解使得問題獲解；解答本題的第二問時，先將絕對值不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化與化歸，然后再構(gòu)造函數(shù)，將參數(shù)從不等式中分離出來，通過求函數(shù)的最小值，從而求出實數(shù)的取值范圍，使得問題巧妙獲解。10.已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若， ，證明： .【答案】(1) 當(dāng)，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為和;(2)見解析.【解析】試題分析：（1），求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)討論單調(diào)性即可；（2）欲證，即證在上單調(diào)遞減，求導(dǎo)證明即可.試題解析：（2），則， ，欲證，即證在上單調(diào)遞減，令，則在上為減函數(shù)，而，則，在上單調(diào)遞減，又，.- 17 -