2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題22 數(shù)學(xué)思想方法講學(xué)案 理

專題22 數(shù)學(xué)思想方法函數(shù)與方程思想在高考中也是必考內(nèi)容，特別是在函數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)等處都可能考到，幾乎大多數(shù)年份高考中大題都會(huì)涉及到因此認(rèn)真體會(huì)函數(shù)與方程思想是成功高考的關(guān)鍵在高考題中，數(shù)形結(jié)合的題目出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)知識(shí)的方方面面上，把圖象作為工具、載體，以此尋求解題思路或制定解題方案，真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的簡(jiǎn)捷、靈活特點(diǎn)的多是填空小題。因?yàn)閷?duì)數(shù)形結(jié)合等思想方法的考查，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次的抽象和概括能力的考查，是對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能的考查，是新課標(biāo)高考明確的一個(gè)命題方向。分類討論思想是歷年高考的必考內(nèi)容，它不僅是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，也是高考的考點(diǎn)，高考中經(jīng)常會(huì)有一道解答題，解題思路直接依賴于分類討論預(yù)測(cè)以后的高考，將會(huì)一如既往地考查分類討論思想，特別在解答題中(尤其導(dǎo)數(shù)與函數(shù))，將有一道進(jìn)行分類、求解的把關(guān)題，選擇題、填空題也會(huì)出現(xiàn)不同情形的分類討論求解題化歸與轉(zhuǎn)化的思想在高考中必然考到，主要可能出現(xiàn)在立體幾何的大題中，將空間立體幾何的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，解析幾何大題中求范圍問題的題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域范圍問題等，總之將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題是高考中解決問題的重要思想方法一、函數(shù)與方程思想一般地，函數(shù)思想就是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等在解題中，善于挖掘題目的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和巧用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵，它廣泛地應(yīng)用于方程、不等式、數(shù)列等問題1方程思想就是將所求的量(或與所求的量相關(guān)的量)設(shè)成未知數(shù)，用它表示問題中的其他各量，根據(jù)題中的已知條件列出方程(組)，通過解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進(jìn)行研究，使問題得到解決2方程思想與函數(shù)思想密切相關(guān)：方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，通過方程進(jìn)行研究，方程f(x)a有解，當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要可用函數(shù)與方程思想解決的相關(guān)問題1函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：(1)借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；(2)在研究問題中通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把研究的問題化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的2方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在四個(gè)方面：(1)解方程或解不等式；(2)帶參變數(shù)的方程或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識(shí)的應(yīng)用；(3)需要轉(zhuǎn)化為方程的討論，如曲線的位置關(guān)系等；(4)構(gòu)造方程或不等式求解問題二、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化：數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：(1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；(2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；(3)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；(4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；(5)構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；(6)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；(7)構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)；(8)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等常見適用數(shù)形結(jié)合的兩個(gè)著力點(diǎn)是：以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法.以數(shù)助形常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合。數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度具體操作時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；(2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式(有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖)，然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解這種思想方法體現(xiàn)在解題中，就是指在處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖象有機(jī)結(jié)合起來思索，促使抽象思維和形象思維的和諧復(fù)合，通過對(duì)規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到簡(jiǎn)捷解決。1數(shù)形結(jié)合的途徑（1）通過坐標(biāo)系形題數(shù)解借助于建立直角坐標(biāo)系、復(fù)平面可以將圖形問題代數(shù)化。這一方法在解析幾何中體現(xiàn)的相當(dāng)充分（在高考中主要也是以解析幾何作為知識(shí)載體來考察的）；值得強(qiáng)調(diào)的是，形題數(shù)解時(shí)，通過輔助角引入三角函數(shù)也是常常運(yùn)用的技巧（這是因?yàn)槿枪降氖褂?，可以大大縮短代數(shù)推理）實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。常見方法有：解析法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（直角坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系），引進(jìn)坐標(biāo)將幾何圖形變換為坐標(biāo)間的代數(shù)關(guān)系。三角法：將幾何問題與三角形溝通，運(yùn)用三角代數(shù)知識(shí)獲得探求結(jié)合的途徑。向量法：將幾何圖形向量化，運(yùn)用向量運(yùn)算解決幾何中的平角、垂直、夾角、距離等問題。把抽象的幾何推理化為代數(shù)運(yùn)算。特別是空間向量法使解決立體幾何中平行、垂直、夾角、距離等問題變得有章可循。（2）通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造數(shù)題形解許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著對(duì)應(yīng)的幾何意義，據(jù)此，可以將數(shù)與形進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化.例如，將a0與距離互化，將a2與面積互化，將a2+b2+ab=a2+b22與余弦定理溝通，將abc0且b+ca中的a、b、c與三角形的三邊溝通，將有序?qū)崝?shù)對(duì)（或復(fù)數(shù)）和點(diǎn)溝通，將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對(duì)應(yīng)等等.這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個(gè)圖形（平面的或立體的）。另外，函數(shù)的圖象也是實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常借助于相伴而充分地發(fā)揮作用。常見的轉(zhuǎn)換途徑為：方程或不等式問題?？梢赞D(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)位置關(guān)系的問題，并借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)的問題。利用平面向量的數(shù)量關(guān)系及模的性質(zhì)來尋求代數(shù)式性質(zhì)。（3）構(gòu)造幾何模型。通過代數(shù)式的結(jié)構(gòu)分析，構(gòu)造出符合代數(shù)式的幾何圖形，如將與正方形的面積互化，將與體積互化，將與勾股定理溝通等等。（4）利用解析幾何中的曲線與方程的關(guān)系，重要的公式（如兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離，直線的斜率，直線的截距）、定義等來尋求代數(shù)式的圖形背景及有關(guān)性質(zhì)。2數(shù)形結(jié)合的原則（1）等價(jià)性原則在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞.有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，但它同時(shí)也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo)。（2）雙向性原則在數(shù)形結(jié)合時(shí)，既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對(duì)代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析（或僅對(duì)幾何問題進(jìn)行代數(shù)分析）在許多時(shí)候是很難行得通的。例如，在解析幾何中，我們主要是運(yùn)用代數(shù)的方法來研究幾何問題，但是在許多時(shí)候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會(huì)使得復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。（3）簡(jiǎn)單性原則就是找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法、或者兼用兩種方法來敘述解題過程，則取決于那種方法更為簡(jiǎn)單.而不是去刻意追求一種流性的模式代數(shù)問題運(yùn)用幾何方法，幾何問題尋找代數(shù)方法。三、分類討論的思想分類討論思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題，通過對(duì)基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略對(duì)問題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于是增加的一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度1由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對(duì)值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等2由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等3由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對(duì)數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等4由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類，如角的終邊所在的象限；點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等5由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法6由實(shí)際意義引起的討論：此類問題在應(yīng)用題中，特別是在解決排列、組合中的計(jì)數(shù)問題時(shí)常用四、化歸與轉(zhuǎn)化的思想1、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換， 將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題(相對(duì)來說，是自己較熟悉的問題)，通過新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”2 、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法應(yīng)用的主要方向化歸與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化除極簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知的問題實(shí)現(xiàn)的從這個(gè)意義上講，解決數(shù)學(xué)問題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過程化歸與轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，解題的過程實(shí)際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過程數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡(jiǎn)單問題轉(zhuǎn)化，新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維的轉(zhuǎn)化，多元向一元的轉(zhuǎn)化，高次向低次的轉(zhuǎn)化，超越式向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)3、等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化之分等價(jià)轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價(jià)性；在不得已的情況下，進(jìn)行不等價(jià)轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價(jià)性，或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗(yàn)證考點(diǎn)一、運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決字母(或式子)的求值或取值范圍問題例1若函數(shù)f(x)(a0，且a1)的值域是4，)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】(1，2【解析】由題意f(x)的圖象如右圖，則1a2. 【變式探究】如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連續(xù)(相切)，已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為()Ayx3x2xByx3x23xCyx3xDyx3x22x考點(diǎn)二、運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決方程問題例2、設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(f(a)2f(a)的a取值范圍是()A. B0，1C. D1, )【答案】C【規(guī)律方法】研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對(duì)數(shù)等復(fù)雜方程解的問題，通常有兩種處理思路：一是分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；二是換元，將復(fù)雜方程問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次方程，進(jìn)而利用二次方程解的分布情況構(gòu)建不等式或構(gòu)造函數(shù)加以解決【變式探究】已知函數(shù)f(x)函數(shù)g(x)bf(2x)，其中bR，若函數(shù)yf(x)g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】D【解析】記h(x)f(2x)在同一坐標(biāo)系中作出f(x)與h(x)的圖象如圖，直線AB：yx4，當(dāng)直線lAB且與f(x)的圖象相切時(shí)，由解得b，(4)，所以曲線h(x)向上平移個(gè)單位后，所得圖象與f(x)的圖象有四個(gè)公共點(diǎn)，平移2個(gè)單位后，兩圖象有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，因此，當(dāng)b2時(shí)，f(x)與g(x)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，即yf(x)g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)選D.考點(diǎn)三、運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決不等式問題例3已知函數(shù)f(x)若存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)g(x)f(x)b有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是_【答案】(，0)(1，)【規(guī)律方法】(1)在解決值的大小比較問題時(shí)，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性或圖象解決是一種重要思想方法 (2)在解決不等式恒成立問題時(shí)，一種重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題同時(shí)要注意在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化，一般地，已知存在范圍的量為變量，而待求范圍的量為參數(shù) (3)在解決不等式證明問題時(shí)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)方法解題是近幾年各省市高考的一個(gè)熱點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)來解決不等式問題時(shí)，一般都要先根據(jù)欲證的不等式構(gòu)造函數(shù)，然后借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性情況，再結(jié)合在一些特殊點(diǎn)處的函數(shù)值得到欲證的不等式【變式探究】設(shè)函數(shù)f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2時(shí)取到極值(1)求a，b的值；(2)若對(duì)于任意的x0，3都有f(x)<c2成立，求c的取值范圍；(3)若方程f(x)c2有三個(gè)根，求c的取值范圍【解析】(1)f(x)6x26ax3b3(2x22axb) 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2時(shí)取到極值，所以解得當(dāng)a3，b4時(shí)，f(x)3(2x26x4)6(x2)(x1)當(dāng)x<1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)1<x<2時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0.所以此時(shí)1與2都是極值點(diǎn)，因此a3，b4，f(x)2x39x212x8c.(2)由(1)知函數(shù)yf(x)在x1處取到極大值f(1)58c，在x2處取到極小值f(2)48c.因?yàn)閒(0)8c，f(3)98c，所以當(dāng)x0，3時(shí)，函數(shù)yf(x)的最大值是f(3)98c，所以要使對(duì)于任意的x0，3都有f(x)<c2成立，需要f(3)98c<c2，c28c9>0，解得c<1或c>9.考點(diǎn)四、運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決最優(yōu)化問題例4、某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，R以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y(其中a，b為常數(shù))模型 (1)求a，b的值；(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度解(1)由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(5，40)，(20，2.5)將其分別代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，【規(guī)律方法】解析幾何、立體幾何及其實(shí)際應(yīng)用等問題中的最優(yōu)化問題，一般利用函數(shù)思想來解決，思路是先選擇恰當(dāng)?shù)淖兞拷⒛繕?biāo)函數(shù)，再用函數(shù)的知識(shí)來解決 【變式探究】某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩橋墩相距m米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為x米的相鄰兩橋墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2)x萬元假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為y萬元(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(2)當(dāng)m640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最??？【解析】(1)設(shè)需要新建n個(gè)橋墩，(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)x m2m256.【小結(jié)反思】1函數(shù)與方程思想在許多容易題中也有很多體現(xiàn)2有很多時(shí)候可以將方程看成函數(shù)來研究，這就是函數(shù)思想3有些時(shí)候可以將函數(shù)看成方程來研究，這就是最簡(jiǎn)單的方程思想我們可以有意通過函數(shù)思想部分訓(xùn)練提升自己的數(shù)學(xué)能力考點(diǎn)五、 用數(shù)形結(jié)合思想解決方程、不等式及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)問題例5、(1)已知：函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：f(x1)f(x1)；當(dāng)x1，1時(shí)，f(x)x2，則方程f(x)lg x解的個(gè)數(shù)是()A5個(gè) B7個(gè) C9個(gè) D10個(gè)(2)設(shè)有函數(shù)f(x)a和g(x)x1，已知x4，0時(shí)恒有f(x)g(x)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍思路點(diǎn)撥：(1)在同一坐標(biāo)系中畫出yf(x)和ylg x的圖象，由它們交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方程的解的個(gè)數(shù)(2)先將不等式f(x)g(x)轉(zhuǎn)化為x1a，然后在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y和yx1a的圖象，移動(dòng)yx1a的圖象使其滿足條件，數(shù)形結(jié)合得要滿足的數(shù)量關(guān)系解析：(1)由題意可知，f(x)是以2為周期，值域?yàn)?，1的函數(shù)又f(x)lg x，則x(0，10，畫出兩函數(shù)圖象，則交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù) 由圖象可知共9個(gè)交點(diǎn)，故選C.(2)f(x)g(x)，即ax1，變形得x1a，令y，yx1a，誤區(qū)警示：作圖時(shí)弄清ylg x的圖象何時(shí)超過1，否則易造成結(jié)果錯(cuò)誤【規(guī)律方法】(1)用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù) (2)解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化的數(shù)量關(guān)系來解決不等式的解的問題，往往可以避免繁瑣的運(yùn)算，獲得簡(jiǎn)捷的解答(3)函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降，奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對(duì)稱性，最值(值域)經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)【變式探究】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0，2上是增函數(shù)，若方程f(x)m(m>0)在區(qū)間8，8上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_【答案】8.考點(diǎn)六、用數(shù)形結(jié)合思想解決參數(shù)、代數(shù)式的最值、取值范圍問題例6、 (1)已知x，y滿足條件1，求y3x的最大值與最小值(2)已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組求函數(shù)z的值域思路點(diǎn)撥：(1)令by3x，即y3xb，視b為直線y3xb的截距，而直線與橢圓必有公共點(diǎn)，故相切時(shí)，b有最值(2)此題可轉(zhuǎn)化成過點(diǎn)(1，3)與不等式組表示區(qū)域的點(diǎn)的連線的斜率的范圍【解析】(1)令y3xb，則y3xb，原問題轉(zhuǎn)化為在橢圓1上找一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的直線斜率為3，且在y軸上有最大截距或最小截距由圖可知，當(dāng)直線y3xb與橢圓1相切時(shí)，有最大或最小的截距將y3xb代入1，由圖顯見，過點(diǎn)P和點(diǎn)A(0，2)的直線斜率最大，zmax5.過點(diǎn)P向半圓作切線，切線的斜率最小設(shè)切點(diǎn)為B(a，b)，則過點(diǎn)B的切線方程為axby4.又B在半圓周上，P在切線上，則有又a0，解得因此zmin.綜上可知函數(shù)的值域?yàn)?誤區(qū)警示：此題很容易犯的錯(cuò)誤是由z得到點(diǎn)(1，3)的坐標(biāo)時(shí)，很容易寫成(1，3)，所以做題時(shí)要看清順序【規(guī)律方法】如果參數(shù)、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著明顯的幾何特征，一般考慮用數(shù)形結(jié)合的方法來解題，即所謂的幾何法求解，比較常見的對(duì)應(yīng)有：(1)ykxb中k表示直線的斜率，b表示直線在y軸上的截距(2)表示坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)(a，b)，(m，n)連線的斜率(3)表示坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)(a，b)，(m，n)之間的距離(4)導(dǎo)函數(shù)f(x0)表示曲線在點(diǎn)(x0，f(x0)處切線的斜率只要具有一定的觀察能力，再掌握常見的數(shù)與形的對(duì)應(yīng)類型，就一定能得心應(yīng)手地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法【變式探究】已知x，y滿足條件1，求5x4y的最大值與最小值考點(diǎn)七、根據(jù)數(shù)學(xué)的概念分類討論例7、設(shè)0x1，a0且a1，比較|loga(1x)|與|loga(1x)|的大小思路點(diǎn)撥：先利用0x1確定1x與1x的范圍，再利用絕對(duì)值及對(duì)數(shù)函數(shù)的概念分類討論兩式差與0的大小關(guān)系，從而比較出大小【規(guī)律方法】本題是由對(duì)數(shù)函數(shù)的概念內(nèi)涵引起的分類討論，我們稱為概念分類型由概念內(nèi)涵引起的分類還有很多：如絕對(duì)值|a|分a0，a0，a0三種情況；直線的斜率分傾斜角90°，斜率k存在，傾斜角90°，斜率不存在；指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)與ylogax(a0且a1)可分為a1，0a1兩種類型；直線的截距式分直線過原點(diǎn)時(shí)為ykx，不過原點(diǎn)時(shí)等考點(diǎn)八、根據(jù)運(yùn)算的要求或性質(zhì)、定理、公式的條件分類討論例8、在等差數(shù)列an中，a11，滿足a2n2an，n1，2，(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記bnanpan(p0)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.思路點(diǎn)撥：(1)由a2n2an，n1，2，求出公差d，即得an的通項(xiàng)公式(2)先求bn的通項(xiàng)公式，然后用錯(cuò)位相減可求Tn，但由于公比q不確定，故用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求Tn時(shí)要分類討論 【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a2n2an得a22a12，所以da2a11.又a2nanndann2an，【規(guī)律方法】(1)一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，均值定理，等比數(shù)列的求和公式等性質(zhì)、定理與公式在不同的條件下有不同的結(jié)論，或者在一定的限制條件下才成立，這時(shí)要小心，應(yīng)根據(jù)題目條件確定是否進(jìn)行分類討論 (2)分類討論的有些問題是由運(yùn)算的需要引發(fā)的比如除法運(yùn)算中分母能否為零的討論；解方程及不等式兩邊同乘以一個(gè)數(shù)是否為零，是正數(shù)，還是負(fù)數(shù)的討論；二次方程運(yùn)算中對(duì)兩根大小的討論；求函數(shù)單調(diào)性時(shí)，導(dǎo)數(shù)正負(fù)的討論；排序問題；差值比較中的差的正負(fù)的討論；有關(guān)去絕對(duì)值或根號(hào)問題中等價(jià)變形引發(fā)的討論等考點(diǎn)九、根據(jù)字母的取值情況分類討論例9、已知函數(shù)f(x)2x33x.(1)求f(x)在區(qū)間2，1上的最大值；(2)若過點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線yf(x)相切，求t的取值范圍；(3)問過點(diǎn)A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分別存在幾條直線與曲線yf(x)相切(只需寫出結(jié)論)?【解析】(1)由f(x)2x33x得f(x)6x23，令f(x)0，得x或x，因?yàn)閒(2)10，f，f，f(1)1，所以f(x)在區(qū)間2，1上的最大值為f.(2)設(shè)過點(diǎn)P(1，t)的直線與曲線yf(x)相切于點(diǎn)(x0，y0)，則y02x3x0，且切線斜率為k6x3，所以切線方程為yy0(6x3)(xx0)，因此ty0(6x3)(1x0)，整理得：4x6xt30，設(shè)g(x)4x36x2t3，則“過點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線yf(x)相切”等價(jià)于“g(x)有3個(gè)不同零點(diǎn)”， 【規(guī)律方法】題目中含有參數(shù)的問題(含參型)，主要包括：含有參數(shù)的不等式的求解；含有參數(shù)的方程的求解；對(duì)于解析式系數(shù)是參數(shù)的函數(shù)，求最值與單調(diào)性問題；二元二次方程表示曲線類型的判定等求解這類問題的一般思路是：結(jié)合參數(shù)的意義及對(duì)結(jié)果的影響而進(jìn)行分類討論討論時(shí)，應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況，參數(shù)有幾何意義時(shí)還要考慮適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想考點(diǎn)十、根據(jù)圖形位置或形狀變動(dòng)分類討論例10、長(zhǎng)方形ABCD中，|AB|4，|BC|8，在BC邊上取一點(diǎn)P，使|BP|t，線段AP的垂直平分線與長(zhǎng)方形的邊的交點(diǎn)為Q，R時(shí)，用t表示|QR|.思路點(diǎn)撥：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)法求出點(diǎn)Q，R的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式建模y4，可得Q，R，這時(shí)|QR| ；當(dāng)4t8時(shí)，Q，R兩點(diǎn)分別在BC，AD上，對(duì)方程分別令y0和y4，可得Q，R，這時(shí)|QR|.綜上所述：當(dāng)0t84時(shí)，|QR|2；當(dāng)84t4時(shí)，|QR| ；當(dāng)4t8時(shí)，|QR|.【規(guī)律方法】一般由圖形的位置或形狀變動(dòng)引發(fā)的討論包括：二次函數(shù)對(duì)稱軸位置的變動(dòng)；函數(shù)問題中區(qū)間的變動(dòng)；函數(shù)圖象形狀的變動(dòng)；直線由斜率引起的位置變動(dòng)；圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變動(dòng)或由離心率引起的形狀變動(dòng)；立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變動(dòng)等 【小結(jié)反思】1分類討論的思想方法的步驟：(1)確定標(biāo)準(zhǔn)；(2)合理分類；(3)逐類討論；(4)歸納總結(jié)2簡(jiǎn)化分類討論的策略：(1)消去參數(shù)；(2)整體換元；(3)變更主元；(4)考慮反面；(5)整體變形；(6)數(shù)形結(jié)合；(7)縮小范圍等3進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論其中最重要的一條是“不漏不重” 4解題時(shí)把好“四關(guān)” (1)要深刻理解基本知識(shí)與基本原理，把好“基礎(chǔ)關(guān)”；(2)要找準(zhǔn)劃分標(biāo)準(zhǔn)，把好“分類關(guān)”；(3)要保證條理分明，層次清晰，把好“邏輯關(guān)”；(4)要注意對(duì)照題中的限制條件或隱含信息，合理取舍，把好“檢驗(yàn)關(guān)”考點(diǎn)十一、 數(shù)列問題化歸為函數(shù)問題解決例11、某廠2016年生產(chǎn)利潤(rùn)逐月增加，且每月增加的利潤(rùn)相同，但由于廠方正在改造建設(shè)，1月份投入資金建設(shè)恰好與1月份的利潤(rùn)相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建設(shè)資金又恰好與12月的生產(chǎn)利潤(rùn)相同，則全年總利潤(rùn)M與全年總投入N的大小關(guān)系是()AM>NBM<NCMN D無法確定【答案】A【解析】每月的利潤(rùn)組成一個(gè)等差數(shù)列an，且公差d0，每月的投入資金組成一個(gè)等比數(shù)列bn，且公比q1.a1b1，且a12b12，比較S12與T12的大小若直接求和，很難比較出其大小，但注意到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1(n1)d是關(guān)于n的一次函數(shù)，其圖象是一條直線上的一些點(diǎn)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式bna1qn1是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，其圖象是指數(shù)函數(shù)上的一些點(diǎn)列 在同一坐標(biāo)系中畫出圖象，直觀地可以看出aibi，則S12T12，即MN.點(diǎn)評(píng)：把一個(gè)原本是求和的問題，轉(zhuǎn)化到各項(xiàng)的逐一比較大小，而一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象又是學(xué)生所熟悉的在對(duì)問題的化歸過程中進(jìn)一步挖掘了問題的內(nèi)涵，通過對(duì)問題的反思、再加工后，使問題直觀、形象，使解答更清新考點(diǎn)十二、立體幾何問題通過轉(zhuǎn)化得以解決例12、 在三棱錐PABC中，已知PABC，PABCl，PA，BC的公垂線EDh.求證：三棱錐PABC的體積Vl2h.思路點(diǎn)撥：如視P為頂點(diǎn)，ABC為底面，則無論是SABC以及高h(yuǎn)都不好求如果觀察圖形，換個(gè)角度看問題，創(chuàng)造條件去應(yīng)用三棱錐體積公式，則可走出困境點(diǎn)評(píng)：輔助截面ECB的添設(shè)使問題轉(zhuǎn)化為已知問題，迎刃而解 考點(diǎn)十三、函數(shù)與不等式中變換主元將二次函數(shù)問題化歸為一次函數(shù)解決例13、若不等式x2px4xp3對(duì)一切0p4均成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍點(diǎn)評(píng)：在有幾個(gè)變量的問題中，常常有一個(gè)變量處于主要地位，我們稱之為主元，由于思維定勢(shì)的影響，在解決這類問題時(shí)，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的但在某些特定條件下，此路往往不通，這時(shí)若能變更主元，轉(zhuǎn)變其他變量在問題中的地位，就能使問題迎刃而解本題中，若視x為主元來處理，既繁且易出錯(cuò)，將主元進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問題變成關(guān)于p的一次不等式，問題實(shí)現(xiàn)了從高維向低維的轉(zhuǎn)化，解題簡(jiǎn)單易行【小結(jié)反思】1化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則：(1)熟悉化原則將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問題來解決(2)簡(jiǎn)單化原則將復(fù)雜的問題化歸為簡(jiǎn)單問題，通過對(duì)簡(jiǎn)單問題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)(3)和諧化原則化歸問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律(4)直觀化原則將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決 (5)正難則反原則當(dāng)問題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲解2熟練、扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)；豐富的聯(lián)想、機(jī)敏細(xì)微的觀察、比較、類比是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺的化歸與轉(zhuǎn)化意識(shí)，需要對(duì)定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對(duì)典型習(xí)題的總結(jié)和提煉，要積極主動(dòng)有意識(shí)地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系“抓基礎(chǔ)，重轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的金鑰匙3為了實(shí)施有效的化歸，既可以變更問題的條件，也可以變更問題的結(jié)論；既可以變換問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，也可以變換問題的外部形式；既可以從代數(shù)的角度去認(rèn)識(shí)問題，也可以從幾何的角度去認(rèn)識(shí)問題23