安徽省滁州二中高中數(shù)學 合情推理課件 新人教A版選修12

內(nèi)容內(nèi)容概述概述 “推理與證明推理與證明”是數(shù)學的基本思維過程，是數(shù)學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式推理一般包括式推理一般包括合情推理合情推理和和演繹推理演繹推理在本在本章中，我們將通過對已學知識的回顧，進一步章中，我們將通過對已學知識的回顧，進一步體會合情推理、演繹推理以及二者之間的體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系聯(lián)系與差異；與差異；體會體會數(shù)學證明數(shù)學證明的特點，了解數(shù)學證明的特點，了解數(shù)學證明的基本方法的基本方法, ,包括包括直接證明直接證明的方法（如分析法、的方法（如分析法、綜合法）和綜合法）和間接證明間接證明的方法（如反證法）；感的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數(shù)學以及日常生活中的作用，養(yǎng)受邏輯證明在數(shù)學以及日常生活中的作用，養(yǎng)成成言之有理、論證有據(jù)言之有理、論證有據(jù)的習慣。的習慣。本節(jié)知識結(jié)構(gòu)本節(jié)知識結(jié)構(gòu)歸納推理的定義歸納推理的定義: 由某類事物的由某類事物的部分對象部分對象具有某些特征具有某些特征, ,推推出該類事物的出該類事物的全部對象全部對象都具有這些特征的推理都具有這些特征的推理, ,或者由或者由個別事實個別事實概括出概括出一般結(jié)論一般結(jié)論的推理的推理, ,稱為稱為歸納推理歸納推理( (簡稱歸納簡稱歸納). ). 應(yīng)用歸納推理可以應(yīng)用歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新事實，獲得新結(jié)發(fā)現(xiàn)新事實，獲得新結(jié)論論。 簡言之簡言之, ,歸納推理是由歸納推理是由部分到整體部分到整體、由、由個個別到一般別到一般的推理。的推理。例如：例如： 磨擦雙手能產(chǎn)生熱，磨擦雙手能產(chǎn)生熱， 敲擊石頭能產(chǎn)生熱，敲擊石頭能產(chǎn)生熱， 錘擊鐵塊能產(chǎn)生熱，錘擊鐵塊能產(chǎn)生熱， 磨擦雙手、敲擊石頭、錘擊鐵塊都是物質(zhì)運動；磨擦雙手、敲擊石頭、錘擊鐵塊都是物質(zhì)運動； 所以，物質(zhì)運動能產(chǎn)生熱。所以，物質(zhì)運動能產(chǎn)生熱。例例1:1:觀察下圖觀察下圖, ,可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)1=121+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=521+3+(2N1)=N2例2.已知數(shù)列 的第1項 試歸納出這個數(shù)列的通項公式。 na111,1,2,31nnnaaana且歸納推理的一般步驟：歸納推理的一般步驟： 檢驗猜想。檢驗猜想。 提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想； 對有限的資料進行觀察、分析、對有限的資料進行觀察、分析、 歸納整理；歸納整理；練習： P30 第1題, 第2題 除了歸納，人們在創(chuàng)造發(fā)明中，還常常用到類比。 從一個傳說說起：春秋時代魯國的公輸班從一個傳說說起：春秋時代魯國的公輸班（后人稱魯班，被認為是木匠業(yè)的祖師）一次（后人稱魯班，被認為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.他的思路是這樣的：他的思路是這樣的：茅草是齒形的茅草是齒形的；茅草能割破手茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的它也可以是齒形的.這個推理過程是歸納推理嗎？這個推理過程是歸納推理嗎？情景創(chuàng)設(shè)1：火星火星地球地球相似點相似點:繞太陽運轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)、有大氣層、有季節(jié)變換、大部繞太陽運轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)、有大氣層、有季節(jié)變換、大部分時間的溫度適合地球上的某些已知生物的生存等。分時間的溫度適合地球上的某些已知生物的生存等。地球上有生命地球上有生命火星上可能有生命火星上可能有生命上述推理是怎樣的一個過程呢？（步驟）上述推理是怎樣的一個過程呢？（步驟）情景創(chuàng)設(shè)2：猜想猜想高考鏈接 （2011陜西）觀察下列等式照此規(guī)律，第五個等式應(yīng)為_. 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49解析解析：把已知等式與行數(shù)對應(yīng)起來，則第一：把已知等式與行數(shù)對應(yīng)起來，則第一個等式得左邊的式子的第一個數(shù)是行數(shù)個等式得左邊的式子的第一個數(shù)是行數(shù)n,加加數(shù)的個數(shù)是數(shù)的個數(shù)是2n-1;等號右邊是等號右邊是完全平方數(shù)完全平方數(shù)則第5行等號的左邊有 項9右邊是 的平方9所以5+6+7+8+9+10+11+12+13=81請大家完成請大家完成P25頁表格頁表格 圓與球在它們的的生成、形狀、定義等圓與球在它們的的生成、形狀、定義等方面都具有相似的屬性方面都具有相似的屬性. 據(jù)此，圓與球的相關(guān)元素之間可建立據(jù)此，圓與球的相關(guān)元素之間可建立如下的對應(yīng)關(guān)系：如下的對應(yīng)關(guān)系：圓圓弦弦直徑直徑周長周長面積面積球球截面圓截面圓大圓大圓表面積表面積體積體積等等，于是根據(jù)圓的性質(zhì)，可以猜測球的性質(zhì)等等，于是根據(jù)圓的性質(zhì)，可以猜測球的性質(zhì)如下表：如下表：圓的性質(zhì)圓的性質(zhì)球的性質(zhì)球的性質(zhì)圓心與弦圓心與弦(不是直徑不是直徑)的中點的的中點的連線垂直于弦連線垂直于弦與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長距圓心較近的弦較長圓的切線垂直于過切點的半圓的切線垂直于過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點的直線必經(jīng)過切點經(jīng)過切點且垂直于切線的直經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心線必經(jīng)過圓心球心與截面圓球心與截面圓(不是大圓不是大圓)的的圓心的連線垂直于截面圓圓心的連線垂直于截面圓與球心距離相等的兩截面圓與球心距離相等的兩截面圓相等；與球心距離不等的兩相等；與球心距離不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓不等，距球心較近的截面圓較大截面圓較大球的切面垂直于過切點的半球的切面垂直于過切點的半徑；經(jīng)過球心且垂直于切面徑；經(jīng)過球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過切點的直線必經(jīng)過切點經(jīng)過切點且垂直于切面的直經(jīng)過切點且垂直于切面的直線必經(jīng)過球心線必經(jīng)過球心 由兩類對象具有某些類似特征和其中一由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為也具有這些特征的推理稱為類比推理類比推理（簡稱類比）（簡稱類比）類比推理的定義類比推理的定義: 簡言之，類比推理是由簡言之，類比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理 發(fā)發(fā)明行星三大明行星三大運動運動定律的定律的開開普勒普勒曾說類曾說類比推理是比推理是自然奧妙的自然奧妙的參與者參與者和自己和自己最好的老最好的老師師 數(shù)學家波利亞曾指出數(shù)學家波利亞曾指出“類比是一個偉大的引路人類比是一個偉大的引路人, ,求解立體幾何往往有賴于平面幾何的類比問題求解立體幾何往往有賴于平面幾何的類比問題. .”（2）從運算的角度考慮，加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律，即解：（1）兩個實數(shù)經(jīng)過加法運算或乘法運算后，所得的結(jié)果仍然是一個實數(shù)。a+b=b+aab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)例例3 3 類比實數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運算性質(zhì)類比實數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運算性質(zhì)（3）從逆運算的角度考慮，加法和乘法都有逆運算，加法的逆運算是減法，乘法的逆運算是除法。方程ax=0ax=1(a0）解x = a（4）在加法中，任意實數(shù)與0相加都不改變大??；任意實數(shù)與1的積都等于原來的數(shù)，即a+0=aax1aa1類比推理的一般步驟：類比推理的一般步驟： 找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征； 用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；從而得出一個猜想； 檢驗猜想。檢驗猜想。 類比推理舉例類比推理舉例例例4. 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間試給出空間 中四面體性質(zhì)的猜想中四面體性質(zhì)的猜想直角三角形直角三角形3個面兩兩垂直的四面體個面兩兩垂直的四面體C903個邊的長度個邊的長度a，b，c 2條直角邊條直角邊a，b和和1條斜邊條斜邊cPDFPDEEDF90 4個面的面積個面的面積S1，S2，S3和和S 3個個“直角面直角面” S1，S2，S3和和1個個“斜面斜面” S例例4 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試試 給出空間中四面體性質(zhì)的猜想給出空間中四面體性質(zhì)的猜想 合情推理合情推理 歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理合情推理。 通俗地說，合情推理是指通俗地說，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。 合情推理的應(yīng)用合情推理的應(yīng)用 數(shù)學研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常數(shù)學研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論。能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論。 證明一個數(shù)學結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提證明一個數(shù)學結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向供證明的思路和方向例例5.如圖所示，有三根針和套在一根針上的若干金屬片。按下如圖所示，有三根針和套在一根針上的若干金屬片。按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上。列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上。1. 每次只能移動每次只能移動1個金屬片；個金屬片；2. 較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面。較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面。試推測：把試推測：把n個金屬片從個金屬片從1號針移到號針移到3號針，最少需要移動多少號針，最少需要移動多少次？次？解解; ;設(shè)設(shè)a an n表示移動表示移動n n塊金屬片時的移動次數(shù)塊金屬片時的移動次數(shù). .當當n=1n=1時時,a,a1 1=1=1當當n=2n=2時時,a,a2 2= = 3 3123當當n=1n=1時時,a,a1 1=1=1當當n=2n=2時時,a,a2 2= = 3 3解解; ;設(shè)設(shè)a an n表示移動表示移動n n塊金屬片時的移動次數(shù)塊金屬片時的移動次數(shù). .當當n n=3=3時時,a,a3 3= = 7 7當當n=4n=4時時,a,a4 4= = 1515猜想猜想 a an n= =2 2n n -1-1123n123(1)1f n=1時時,123(2)3f n=2時時,n=1時時,(1)1f 123(3)7f n=3時時,(2)3f n=2時時,n=1時時,(1)1f 1233(2)1(2)ff 1 3(2)3f n=2時時,n=1時時,(1)1f (3)fn=3時時,123(3)f 15 n=4時時,n=3時時,(2)3f n=2時時,n=1時時,(1)1f (3)7f (2)1(2)ff 1 (3)f(4)f (4)f 15n=4時時,n=3時時,(2)3f n=2時時,n=1時時,(1)1f (3)7f (2)1(2)ff 1,1( )2 (1)1,2nf nf nn (3)1(3)ff 歸納歸納:( )21nf n 當當n=1時，只需把金屬片從時，只需把金屬片從1號針移到號針移到3號針，用符號（號針，用符號（13）表示，）表示，共移動一次。共移動一次。當當n=2時，按照規(guī)則，我們利用時，按照規(guī)則，我們利用2號針作為號針作為“中間針中間針”，移動，移動的順序是：的順序是：1.把第把第1個金屬片從個金屬片從1號針移到號針移到2號針；號針；2.把第把第2個金屬片從個金屬片從1號針移到號針移到3號針；號針；3.把第把第1個金屬片從個金屬片從2號針移到號針移到3號針。號針。即（即（12）（）（13）（）（23），共移動了），共移動了3次。次。當當n=3時，把上面兩個金屬片作為一個整體，歸結(jié)為時，把上面兩個金屬片作為一個整體，歸結(jié)為n=2的情的情形，移動的順序是：形，移動的順序是：1.把上面兩個金屬片從把上面兩個金屬片從1號針移到號針移到2號針；號針；2.把第把第3個金屬片從個金屬片從1號針移到號針移到3號針；號針；3.把上面兩個金屬片從把上面兩個金屬片從2號針移到號針移到3號針。號針。其中步驟其中步驟1，3都要借助中間針，用符號表示為都要借助中間針，用符號表示為（13）（）（12）（）（32）；（）；（13）；（）；（21）（）（23）（）（13）當當n=4時，把上面時，把上面3個金屬片作為一個整體，歸結(jié)為個金屬片作為一個整體，歸結(jié)為n=2的情形，移動的的情形，移動的順序是：順序是：1.把上面把上面3個金屬片從個金屬片從1號針移到號針移到2號針；號針；2.把第把第4個金屬片從個金屬片從1號針移到號針移到3號針；號針；3.把上面把上面3個金屬片從個金屬片從2號針移到號針移到3號針。號針。其中步驟其中步驟1，3都要借助中間針，用符號表示為都要借助中間針，用符號表示為(12),(13), (23),(12),(31),(32),(12)；(13)；(23),(21), (31),(23),(12),(13),(23)共移動了共移動了15次。次。移動移動1，2，3，4個金屬片所需次數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為：個金屬片所需次數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為：1，3，7，15。觀察這個數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：。觀察這個數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：1=21-1；3=22-1；7=23-1；15=24-1，于是我們猜，于是我們猜想：想：an=2n-1 同樣地，類比推理所得的結(jié)論也不一定可靠?？聪旅鎯蓚€例子，所得猜想是否正確？平面內(nèi)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形空間中兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形平面內(nèi)同時垂直于一條直線的兩直線互相平行空間中同時垂直于一條直線的兩直線互相平行類比類比知識小結(jié)知識小結(jié)歸納推理是由歸納推理是由部分到整體部分到整體、由、由個別到一般個別到一般的推理。的推理。類比推理是由類比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理歸納推理歸納推理和類比推理類比推理統(tǒng)稱合情推理合情推理。合情推理的作用：合情推理的作用：得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常幫助我們得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論。證明一個數(shù)學結(jié)論之前，證明一個數(shù)學結(jié)論之前，合情推理常常幫助我們合情推理常常幫助我們提供證明的思路提供證明的思路和方法和方法。注意：注意：合情推理所得結(jié)論合情推理所得結(jié)論未必正確未必正確。