高考數(shù)學復習 17-18版 第9章 第40課 直線、平面平行的判定及其性質

第40課 直線、平面平行的判定及其性質最新考綱內容要求ABC直線與平面平行的判定及性質兩平面平行的判定及性質1直線與平面平行的判定與性質判定性質定義定理圖形條件aa，b，abaa，a，b結論abaab2.面面平行的判定與性質判定性質定義定理圖形條件a，b，abP，a，b，a，b，a，結論aba3.與垂直相關的平行的判定(1)a，bab.(2)a，a.1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)若一條直線和平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行()(2)若直線a平面，P，則過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條()(3)若一個平面內有無數(shù)條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行()(4)若兩個平面平行，則一個平面內的直線與另一個平面平行()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)下列命題中，正確的是_若a，b是兩條直線，且ab，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面；若直線a和平面滿足a，那么a與內的任何直線平行；若直線a，b和平面滿足a，b，那么ab；若直線a，b和平面滿足ab，a，b，則b.根據(jù)線面平行的判定與性質定理知，正確3(2015·北京高考改編)設，是兩個不同的平面，m是直線且m，“m ”是“ ”的_條件必要不充分當m時，過m的平面與可能平行也可能相交，因而mD/；當時，內任一直線與平行，因為m，所以m.綜上知，“m ”是“ ”的必要而不充分條件4在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關系是_平行如圖所示，連結BD交AC于F，連結EF，則EF是BDD1的中位線，EFBD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，BD1平面ACE.5設m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個命題：若m，n，則mn；若，m，則m；若n，mn，m，則m；若，則.其中是真命題的是_(填序號)，mn或m，n異面，故錯誤；易知正確；，m或m，故錯誤；，或與相交，故錯誤與線、面平行相關命題真假的判斷已知m，n是兩條不同直線，是兩個不同平面，則下列命題正確的是_(填序號)若，垂直于同一平面，則與平行；若m，n平行于同一平面，則m與n平行；若，不平行，則在內不存在與平行的直線；若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面可以結合圖形逐項判斷中，可能相交，故錯誤；中，直線m，n的位置關系不確定，可能相交、平行或異面，故錯誤；中，若m，n，mn，則m，故錯誤；中，假設m，n垂直于同一平面，則必有mn，所以原命題正確，故正確規(guī)律方法1.判斷與平行關系相關命題的真假，必須熟悉線、面平行關系的各個定義、定理2(1)結合題意構造或繪制圖形，結合圖形作出判斷(2)特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情形，通過舉反例否定結論或用反證法推斷命題是否正確變式訓練1若m，n表示不同的直線，表示不同的平面，則下列結論中正確的是_若m，mn，則n；若m，n，m，n，則；若，m，n，則mn；若，m，nm，n，則n.在中，若m，mn，則n或n，故錯誤在中，若m，n，m，n，則與相交或平行，故錯誤在中，若，m，n，則m與n相交、平行或異面，故錯誤在中，若，m，nm，n，則由線面平行的判定定理得n，故正確直線與平面平行的判定與性質 (2017·南通模擬)如圖40­1所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C1上的中點圖40­1(1)證明：AD1平面BDC1.(2)證明：BD平面AB1D1. 【導學號：62172219】證明：(1)D1，D分別為A1C1與AC的中點，四邊形ACC1A1為平行四邊形，C1D1綊DA，四邊形ADC1D1為平行四邊形，AD1C1D，又AD1平面BDC1，C1D平面BDC1，AD1平面BDC1.(2)連結D1D，BB1平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1平面BB1D1DD1D，BB1D1D，又D1，D分別為A1C1與AC的中點，BB1DD1，故四邊形BDD1B1為平行四邊形，BDB1D1，又BD平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，BD平面AB1D1.規(guī)律方法1.判斷或證明線面平行的常用方法有：(1)利用反證法(線面平行的定義)；(2)利用線面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性質定理(，aa)；(4)利用面面平行的性質(，a，aa)2利用判定定理判定線面平行，關鍵是找平面內與已知直線平行的直線常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線變式訓練2在多面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，三角形CDE是等邊三角形，棱EFBC且EFBC.求證：FO平面CDE.圖40­2證明取CD中點M，連結OM，EM，在矩形ABCD中，OMBC且OMBC，又EFBC且EFBC，則EFOM且EFOM.所以四邊形EFOM為平行四邊形，所以FOEM.又因為FO平面CDE，且EM平面CDE，所以FO平面CDE.平面與平面平行的判定與性質(典例遷移)如圖40­3所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：圖40­3(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1平面BCHG.證明(1)G，H分別是A1B1，A1C1的中點，GH是A1B1C1的中位線，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四點共面(2)在ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四邊形A1EBG是平行四邊形，則A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.遷移探究在本例條件下，若點D為BC1的中點，求證：HD平面A1B1BA.證明如圖所示，連結HD，A1B，D為BC1的中點，H為A1C1的中點，HDA1B.又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，HD平面A1B1BA.規(guī)律方法1.判定面面平行的主要方法：(1)面面平行的判定定理(2)線面垂直的性質(垂直于同一直線的兩平面平行)2面面平行的性質定理的作用：(1)判定線面平行；(2)判斷線線平行，線線、線面、面面平行的相互轉化是解決與平行有關的問題的指導思想解題時要看清題目的具體條件，選擇正確的轉化方向易錯警示：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行時，需要說明是一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行變式訓練3如圖40­4，四棱錐P­ABCD中，ABCD，AB2CD，E為PB的中點圖40­4(1)求證：CE平面PAD.(2)在線段AB上是否存在一點F，使得平面PAD平面CEF？若存在，證明你的結論，若不存在，請說明理由. 【導學號：62172220】解 (1)如圖所示，取PA的中點H，連結EH，DH，因為E為PB的中點，所以EHAB，EHAB，又ABCD，CDAB，所以EHCD，EHCD，因此四邊形DCEH是平行四邊形，所以CEDH，又DH平面PAD，CE平面PAD，因此CE平面PAD.(2)如圖所示，取AB的中點F，連結CF，EF，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD，又AFCD，所以四邊形AFCD為平行四邊形，因此CFAD.又CF平面PAD，所以CF平面PAD，由(1)可知CE平面PAD，又CECFC，故平面CEF平面PAD，故存在AB的中點F滿足要求思想與方法1線線、線面、面面平行的相互轉化線線平行面面判定定理性質定理平行其中線面平行是核心，線線平行是基礎，要注意它們之間的靈活轉化2直線與平面平行的主要判定方法(1)定義法；(2)判定定理；(3)面與面平行的性質3平面與平面平行的主要判定方法(1)定義法；(2)判定定理；(3)推論；(4)a，a.易錯與防范1在推證線面平行時，一定要強調直線不在平面內，否則會出現(xiàn)錯誤2(1)在面面平行的判定中易忽視“面內兩條相交直線”這一條件(2)如要一個平面內有無數(shù)條直線與另一個平面平行，易誤認為這兩個平面平行，實質上也可以相交3在應用性質定理時，要遵從由“高維”到“低維”，但也要注意，轉化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“模式化”，另外要注意符號語言的規(guī)范應用課時分層訓練(四十)A組基礎達標(建議用時：30分鐘)一、填空題1若直線ab，且直線a平面，則直線b與平面的位置關系是_b，若b或b與相交當b與相交或b或b時，均有滿足a平面，ab的情形2已知l，m是兩條不同的直線，是兩個不同的平面下列命題：若l，m，l，m，則；若l，l，m，則lm；若，l，則l；若l，ml，則m.其中真命題是_(寫出所有真命題的序號)對于中，只要當l與m相交時，才可證明；對于中，l可能在平面內，正確3設，為三個不同的平面，a，b為直線，給出下列條件：a，b，a，b；，；，；a，b，ab.其中能推出的條件是_(填上所有正確的序號) 【導學號：62172221】在條件或條件中，或與相交由，條件滿足在中，a，abb，從而，滿足4已知平面外不共線的三點A，B，C到的距離都相等，則正確的結論是_(填序號)平面ABC必平行于；平面ABC必與相交；平面ABC必不垂直于；存在ABC的一條中位線平行于或在內若A，B，C三點在同側，則平面ABC.若A，B，C三點在異側，不妨設B，C在的同側，則BC，由平行線的性質可知存在一條中位線DEBC，且DE.5如圖40­5所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關系是_圖40­5平行在三棱柱ABC­A1B1C1中，ABA1B1.AB平面ABC，A1B1平面ABC，A1B1平面ABC.過A1B1的平面與平面ABC交于DE，DEA1B1，DEAB.6.在四面體ABCD中，M，N分別是ACD，BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是_平面ABD與平面ABC如圖，取CD的中點E.則EMMA12，ENBN12，所以MNAB，所以MN平面ABD，MN平面ABC.7平面平面，點A，C，B，D，則直線AC直線BD的充要條件是_ABCD；ADCB；AB與CD相交； A，B，C，D四點共面由面面平行的性質可知，ACBD的充要條件是A，B，C，D四點共面8.如圖40­6所示，ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ_. 【導學號：62172222】圖40­6面ABCD面A1B1C1D1，則PQMN，連結AC(圖略)，由MNAC可知PQAC.又AP，PDa，PDDA23.PQAC.又ACa，故PQa.9下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB平面MNP的圖形的序號是_圖40­7對于圖形，平面MNP與AB所在的對角面平行，即可得到AB平面MNP；對于圖形，ABPN，即可得到AB平面MNP；圖形無論用定義還是判定定理都無法證明線面平行10如圖40­8，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中點，N是BC的中點，動點M在四邊形EFGH上及其內部運動，則M滿足條件_時，有MN平面B1BDD1.圖40­8MFHHNBD，F(xiàn)HDD1，平面FHN平面BB1D1D.M在四邊形EFGH上及其內部運動，故MFH.二、解答題11一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖40­9所示(1)請將字母F，G，H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)；(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系，并證明你的結論. 【導學號：62172223】圖40­9解(1)點F，G，H的位置如圖所示(2)平面BEG平面ACH，證明如下：因為ABCD­EFGH為正方體，所以BCFG，BCFG.又FGEH，F(xiàn)GEH，所以BCEH，BCEH，于是四邊形BCHE為平行四邊形，所以BECH.又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.12.如圖40­10，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知ACBC，BCCC1，設AB1的中點為D，B1CBC1E.圖40­10求證：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.證明(1)由題意知，E為B1C的中點，又D為AB1的中點，因此DEAC.又因為DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因為棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因為AC平面ABC，所以ACCC1.因為ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因為BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因為BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因為AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因為AB1平面B1AC，所以BC1AB1.B組能力提升(建議用時：15分鐘)1.如圖40­11所示，正方體ABCD­A1B1C1D1中，AB2，點E為AD的中點，點F在CD上若EF平面AB1C，則線段EF的長度等于_圖40­11在正方體ABCD­A1B1C1D1中，AB2，AC2.又E為AD中點，EF平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC平面AB1CAC，EFAC，F(xiàn)為DC中點，EFAC.2如圖40­12所示，棱柱ABC­A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，設D是A1C1上的點且A1B平面B1CD，則A1DDC1的值為_圖40­121設BC1B1CO，連結OD.A1B平面B1CD且平面A1BC1平面B1CDOD，A1BOD.四邊形BCC1B1是菱形，O為BC1的中點，D為A1C1的中點，則A1DDC11.3如圖40­13，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點，求證：圖40­13(1)直線EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.證明(1)如圖，連結SB，因為E，G分別是BC，SC的中點，所以EGSB.又因為SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，所以直線EG平面BDD1B1.(2)連結SD，因為F，G分別是DC，SC的中點，所以FGSD.又因為SD平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，所以FG平面BDD1B1，且EG平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，EGFGG，所以平面EFG平面BDD1B1.4如圖40­14所示，在三棱錐P­ABC中，平面PAC平面ABC，PAAC，ABBC，設D，E分別為PA，AC的中點圖40­14(1)求證：DE平面PBC.(2)在線段AB上是否存在點F，使得過三點D，E，F(xiàn)的平面內的任一條直線都與平面PBC平行？若存在，指出點F的位置并證明；若不存在，請說明理由解(1)證明：點E是AC中點，點D是PA的中點，DEPC.又DE平面PBC，PC平面PBC，DE平面PBC.(2)當點F是線段AB中點時，過點D，E，F(xiàn)的平面內的任一條直線都與平面PBC平行證明如下：取AB的中點F，連結EF，DF.由(1)可知DE平面PBC.點E是AC中點，點F是AB的中點，EFBC.又EF平面PBC，BC平面PBC，EF平面PBC.又DEEFE，平面DEF平面PBC，平面DEF內的任一條直線都與平面PBC平行故當點F是線段AB中點時，過點D，E，F(xiàn)所在平面內的任一條直線都與平面PBC平行