2019年高考數(shù)學復習大二輪精準提分練習第二篇 第22練

第22練圓錐曲線中的范圍、最值、證明問題壓軸大題突破練明晰考情1.命題角度：直線與圓錐曲線的位置關系是高考必考題，范圍、最值問題是高考的熱點；圓錐曲線中的證明問題是常見的題型.2.題目難度：中高檔難度.考點一直線與圓錐曲線方法技巧對于直線與圓錐曲線的位置關系問題，一般要把圓錐曲線的方程與直線方程聯(lián)立來處理.(1)設直線方程，在直線的斜率不確定的情況下要分斜率存在和不存在兩種情況進行討論，或者將直線方程設成xmyb(斜率不為0)的形式.(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程并將其轉化成一元二次方程，利用方程根的判別式或根與系數(shù)的關系得到交點的橫坐標或縱坐標的關系.(3)一般涉及弦長的問題，要用到弦長公式|AB|·|x1x2|或|AB|·|y1y2|.1.已知動點M(x，y)到點F(2，0)的距離為d1，動點M(x，y)到直線x3的距離為d2，且.(1)求動點M(x，y)的軌跡C的方程；(2)過點F作直線l：yk(x2)(k0)交曲線C于P，Q兩點，若OPQ的面積SOPQ(O是坐標原點)，求直線l的方程.解(1)結合題意，可得d1，d2|x3|.又，即，化簡得1.因此，所求動點M(x，y)的軌跡C的方程是1.(2)聯(lián)立方程組消去y，得(13k2)x212k2x12k260.設點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則于是，弦|PQ| ，點O到直線l的距離d.由SOPQ，得××，化簡得，k42k210，解得k±1，且滿足>0，即k±1符合題意.因此，所求直線的方程為xy20或xy20.2.已知橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，右焦點為F(1，0).(1)求橢圓E的標準方程；(2)設點O為坐標原點，過點F作直線l與橢圓E交于M，N兩點，若OMON，求直線l的方程.解(1)依題意可得解得橢圓E的標準方程為y21.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，當MN垂直于x軸時，直線l的方程為x1，設直線與橢圓E的交點坐標為M，N，此時OM不垂直于ON，不符合題意；當MN不垂直于x軸時，設直線l的方程為yk(x1).聯(lián)立得方程組消去y得(12k2)x24k2x2(k21)0，>0顯然成立.x1x2，x1x2.y1y2k2x1x2(x1x2)1.OMON，·0.x1x2y1y20，k±.故直線l的方程為x±y0.3.(2017·天津)設橢圓1(a>b>0)的左焦點為F，右頂點為A，離心率為.已知A是拋物線y22px(p>0)的焦點，F(xiàn)到拋物線的準線l的距離為.(1)求橢圓的方程和拋物線的方程；(2)設l上兩點P，Q關于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點B(點B異于點A)，直線BQ與x軸相交于點D.若APD的面積為，求直線AP的方程.解(1)設點F的坐標為(c，0)，依題意，得，a，ac，解得a1，c，p2，于是b2a2c2.所以橢圓的方程為x21，拋物線的方程為y24x.(2)設直線AP的方程為xmy1(m0)，與直線l的方程x1聯(lián)立，可得點P，故點Q.將xmy1與x21聯(lián)立，消去x，整理得(3m24)y26my0，解得y0或y.由點B異于點A，可得點B，由Q，可得直線BQ的方程為(x1)0，令y0，解得x，故點D.所以|AD|1.又因為APD的面積為，故××，整理得3m22|m|20，解得|m|，所以m±.所以直線AP的方程為3xy30或3xy30.考點二圓錐曲線中的范圍、最值問題方法技巧求圓錐曲線中范圍、最值的主要方法(1)幾何法：若題目中的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質數(shù)形結合求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，或者不等關系，或者已知參數(shù)與新參數(shù)之間的等量關系等，則利用代數(shù)法求參數(shù)的范圍.4.已知橢圓E：1的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MANA.(1)當t4，|AM|AN|時，求AMN的面積；(2)當2|AM|AN|時，求k的取值范圍.解(1)設M(x1，y1)，則由題意知y1>0.當t4時，橢圓E的方程為1，A(2，0).由|AM|AN|及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為.因此直線AM的方程為yx2.將xy2代入1，得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面積SAMN2×××.(2)由題意知t>3，k>0，A(，0)，設M(x1，y1)，將直線AM的方程yk(x)代入1，得(3tk2)x22·tk2xt2k23t0.由x1·()，得x1，故|AM|x1|.由題設，直線AN的方程為y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|，得，即(k32)t3k(2k1)，當k時上式不成立，因此t.t>3等價于<0，即<0.由此得或解得<k<2.因此k的取值范圍是(，2).5.已知點A(0，2)，橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點.(1)求E的方程；(2)設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當OPQ的面積最大時，求l的方程.解(1)設F(c，0)，由條件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程為y21.(2)當lx軸時不合題意，故設l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).將ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.當16(4k23)>0，即k2>時，x1，2.從而|PQ|x1x2|.又點O到直線PQ的距離d.所以OPQ的面積SOPQ·d·|PQ|.設t，則t>0，SOPQ1.當且僅當t2，即k±時等號成立，且滿足>0.所以當OPQ的面積最大時，l的方程為2y±x40.6.已知O為坐標原點，M(x1，y1)，N(x2，y2)是橢圓1上的點，且x1x22y1y20，設動點P滿足2.(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)若直線l：yxm(m0)與曲線C交于A，B兩點，求OAB面積的最大值.解(1)設點P(x，y)，則由2，得(x，y)(x1，y1)2(x2，y2)，即xx12x2，yy12y2.因為點M，N在橢圓1上，所以x2y4，x2y4.故x22y2(x4x4x1x2)2(y4y4y1y2)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2).又因為x1x22y1y20，所以x22y220，所以動點P的軌跡C的方程為x22y220.(2)將曲線C與直線l的方程聯(lián)立，得消去y得3x24mx2m2200.因為直線l與曲線C交于A，B兩點，設A(x3，y3)，B(x4，y4)，所以16m24×3×(2m220)0.又m0，所以0m230，x3x4，x3x4.又點O到直線AB：xym0的距離d，|AB|x3x4| ，所以SOAB ×××5，當且僅當m230m2，即m215時取等號，且滿足>0.所以OAB面積的最大值為5.考點三圓錐曲線中的證明問題方法技巧圓錐曲線中的證明問題是轉化與化歸思想的充分體現(xiàn).無論證明什么結論，要對已知條件進行化簡，同時對要證結論合理轉化，尋求條件和結論間的聯(lián)系，從而確定解題思路及轉化方向.7.(2018·全國) 設橢圓C：y21的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為(2，0).(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；(2)設O為坐標原點，證明：OMAOMB.(1)解由已知得F(1，0)，l的方程為x1.由已知可得，點A的坐標為或.又M(2，0)，所以AM的方程為yx或yx.即xy20或xy20.(2)證明當l與x軸重合時，OMAOMB0°.當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以OMAOMB.當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2，直線MA，MB的斜率之和kMAkMB.由y1kx1k，y2kx2k，得kMAkMB.將yk(x1)代入y21，得(2k21)x24k2x2k220，由題意知0恒成立，所以x1x2，x1x2.則2kx1x23k(x1x2)4k0，從而kMAkMB0，故MA，MB的傾斜角互補.所以OMAOMB.綜上，OMAOMB.8.(2018·大慶質檢)已知橢圓C：1(a>b>0)的焦距為2，且C過點.(1)求橢圓C的方程；(2)設B1，B2分別是橢圓C的下頂點和上頂點，P是橢圓上異于B1，B2的任意一點，過點P作PMy軸于M，N為線段PM的中點，直線B2N與直線y1交于點D，E為線段B1D的中點，O為坐標原點，求證：ONEN.(1)解由題設知焦距為2，所以c. 又因為橢圓過點，所以代入橢圓方程得1，因為a2b2c2，解得a2，b1， 故所求橢圓C的方程是y21. (2)證明設P(x0，y0)，x00，則M(0，y0)，N.因為點P在橢圓C上，所以y1.即x44y. 又B2(0，1)，所以直線B2N的方程為y1x.令y1，得x，所以D.又B1(0，1)，E為線段B1D的中點，所以E. 所以，.因為·y0(y01)yy01y01y01y00，所以，即ONEN.9.(2018·咸陽模擬)已知A(2，0)，B(2，0)，點C是動點，且直線AC和直線BC的斜率之積為.(1)求動點C的軌跡方程；(2)設直線l與(1)中軌跡相切于點P，與直線x4相交于點Q，且F(1，0)，求證：PFQ90°.(1)解設C(x，y)，則依題意得kAC·kBC，又A(2，0)，B(2，0)，所以有·(y0)，整理得1(y0)，即為所求軌跡方程.(2)證明方法一由題意知，直線l的斜率存在，設直線l：ykxm，與3x24y212聯(lián)立得，3x24(kxm)212，即(34k2)x28kmx4m2120，依題意得(8km)24(34k2)(4m212)0，即34k2m2，x1x2，得x1x2，P，而34k2m2，得P，又Q(4，4km)，F(xiàn)(1，0)，則··(3，4km)0，知，即PFQ90°.方法二設P(x0，y0)，則曲線C在點P處切線PQ：1，令x4，得Q，又F(1，0)，·(x01，y0)·0，知，即PFQ90°.典例(12分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且點在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓E：1，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線ykxm交橢圓E于A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q.求的值；求ABQ面積的最大值. 審題路線圖(1)(2)規(guī)范解答·評分標準解(1)由題意知1.又，解得a24，b21.所以橢圓C的方程為y21.2分(2)由(1)知橢圓E的方程為1.設P(x0，y0)，(0)，由題意知Q(x0，y0).因為y1，又1，即1，所以2，即2.5分設A(x1，y1)，B(x2，y2).將ykxm代入橢圓E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2，(*)則有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.8分因為直線ykxm與y軸交點的坐標為(0，m)，所以OAB的面積S|m|x1x2|2 .9分設t，將ykxm代入橢圓C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.(*)由(*)和(*)可知0t1，因此S22，10分故0S2，當且僅當t1，即m214k2時取得最大值2.11分由知，ABQ的面積為3S，所以ABQ面積的最大值為6.12分構建答題模板第一步求曲線方程：根據(jù)基本量法確定圓錐曲線的方程；第二步聯(lián)立消元：將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，得到方程Ax2BxC0，然后研究判別式，利用根與系數(shù)的關系；第三步找關系：從題設中尋求變量的等量或不等關系；第四步建函數(shù)：對范圍最值類問題，要建立關于目標變量的函數(shù)關系；第五步得范圍：通過求解函數(shù)值域或解不等式得目標變量的范圍或最值，要注意變量條件的制約，檢查最值取得的條件.1.(2018·全國)設拋物線C：y24x的焦點為F，過F且斜率為k(k0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程.解(1)由題意得F(1，0)，l的方程為yk(x1)(k0).設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題意知8，解得k1(舍去)或k1.因此l的方程為xy10.(2)由(1)得AB的中點坐標為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.2.設橢圓1(a>b>0)的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的方程；(2)設A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點.若··8，O為坐標原點，求OCD的面積.解(1)因為過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為，所以.因為橢圓的離心率為，所以，又a2b2c2，可解得b，c1，a.所以橢圓的方程為1.(2)由(1)可知F(1，0)，則直線CD的方程為yk(x1).聯(lián)立消去y得(23k2)x26k2x3k260.設C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以x1x2，x1x2.又A(，0)，B(，0)，所以··(x1，y1)·(x2，y2)(x2，y2)·(x1，y1)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k268，解得k±.從而x1x2，x1x20.所以|x1x2|，|CD|x1x2|×.而原點O到直線CD的距離d，所以OCD的面積S|CD|×d××.3.(2018·全國)已知斜率為k的直線l與橢圓C：1交于A，B兩點，線段AB的中點為M(1，m)(m0).(1)證明：k；(2)設F為C的右焦點，P為C上一點，且0.證明：|，|，|成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.(1)證明設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1.兩式相減，并由k，得·k0.由題設知1，m，于是k.由題設得0m，故k.(2)解由題意得F(1，0).設P(x3，y3)，則(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0).由(1)及題設得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又點P在C上，所以m，從而P，|，于是| 2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|，即|，|，|成等差數(shù)列.設該數(shù)列的公差為d，則2|d|x1x2|.將m代入得k1，所以l的方程為yx，代入C的方程，并整理得7x214x0.故x1x22，x1x2，代入解得|d|.所以該數(shù)列的公差為或.4.(2018·河南八市測評)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，點M在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)若不過原點O的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，與直線OM相交于點N，且N是線段AB的中點，求OAB面積的最大值.解(1) 由橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，點M在橢圓C上，得解得所以橢圓C的方程為1.(2)易得直線OM的方程為yx.當直線l的斜率不存在時，AB的中點不在直線yx上，故直線l的斜率存在.設直線l的方程為ykxm(m0)，與1聯(lián)立消y，得(34k2)x28kmx4m2120，所以64k2m24(34k2)(4m212)48(34k2m2)>0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.由y1y2k(x1x2)2m，所以AB的中點N，因為N在直線yx上，所以2×，解得k，所以48(12m2)>0，得2<m<2，且m0，|AB|x2x1|··，又原點O到直線l的距離d，所以SOAB××，當且僅當12m2m2，即m±時等號成立，符合2<m<2，且m0，所以OAB面積的最大值為.