2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-第10章圓錐曲線-1 橢圓及其性質(zhì)（理科）

第十章 圓錐曲線第1節(jié) 橢圓及其性質(zhì)題型113 橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1.（2014 大綱理 6）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，離心率為，過的直線交于，兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則的方程為（ ）.A B C D2.（2014 安徽理 14）設(shè)分別是橢圓： 的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，軸，則橢圓的方程為 .3.（2014 遼寧理 15）已知橢圓：，點(diǎn)與的焦點(diǎn)不重合.若關(guān)于的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)在上，則 .4.（2014 福建理 19）（本小題滿分13分） 已知雙曲線的兩條漸近線分別為，. （1）求雙曲線的離心率； （2）如圖所示，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)（分別在第一，四象限），且的面積恒為，試探究：是否存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說明理由.5.（2016北京理19（1）已知橢圓的離心率為，的面積為1.求橢圓的方程；5.解析 可先作出本題的圖形：由題設(shè)，可得解得.所以橢圓的方程是.6.（2016山東理21（1）平面直角坐標(biāo)系中，橢圓： 的離心率是，拋物線：的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn).求橢圓的方程；6.解析 由題意知，可得：.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，所以橢圓的方程為.7.（2016天津理19（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.求橢圓的方程.7.解析 由，即，可得.又，所以，因此，所以橢圓的方程為8.（2017浙江2）橢圓的離心率是（ ）.A. B. C. D. 8.解析 由橢圓方程可得，所以，所以，.故選B9.（2017江蘇17（1）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為點(diǎn)在橢圓上，且位于第一象限，過點(diǎn)作直線的垂線，過點(diǎn)作直線的垂線求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.9.解析 設(shè)橢圓的半焦距為，由題意，解得，因此，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為10.（2017山東理21（1）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，焦距為.求橢圓的方程.10.解析 由題意知 ，所以 ，因此橢圓的方程為.11.（2107全國(guó)1卷理科20（1）已知橢圓，四點(diǎn)，中恰有三點(diǎn)在橢圓上.求的方程；11. 解析 根據(jù)橢圓對(duì)稱性，必過，又橫坐標(biāo)為1，橢圓必不過，所以過三點(diǎn).將代入橢圓方程得，解得，所以橢圓的方程為題型114 橢圓離心率的值及取值范圍1.（2013江蘇12）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，到的距離為，若，則橢圓的離心率為 .2.(2013福建理14）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,焦距為，若直線與橢圓 的一個(gè)交點(diǎn)滿足，則該橢圓的離心率等于_3.（2014 湖北理 9）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ）.A. B. C.3 D.24.（2014 江西理 15）過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓：相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率等于 .5.（2014 江蘇理 17）F1F2OxyBCA如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)，連結(jié) （1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求橢圓的方程（2）若，求橢圓離心率的值6.（2014 北京理 19）（本小題14分）已知橢圓，（1） 求橢圓的離心率.7.（2015安徽理20）設(shè)橢圓的方程為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在線段上，滿足，直線的斜率為.（1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求橢圓的方程.7.解析 （1）由題設(shè)條件知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，從而，即，所以，故（2）由題設(shè)條件和（1）的計(jì)算結(jié)果可得，直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為又點(diǎn)在直線上，且，從而有，解得，所以，所以橢圓的方程為8.（2015重慶理21）如圖所示，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且.（1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若，求橢圓的離心率. 8.解析 （1）由橢圓的定義,故 設(shè)橢圓的半焦距為，由已知，因此 ,即，從而故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）如圖所示，連接，由橢圓的定義，從而由,有.又由， ，知，因此,得.從而.由,知，因此.9.（2016浙江理7）已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)重合，分別為，的離心率，則（ ）.A.且 B.且 C.且 D.且 9. A 解析 因?yàn)閮蓚€(gè)圓錐曲線的焦點(diǎn)重合，所以，即.因?yàn)?，所以，故，故選A.10.（2016江蘇10）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率是 10. 解析 由題意得，直線與橢圓方程聯(lián)立，可得，.由，可得，則，由，可得，則評(píng)注 另外也可以結(jié)合，得，而，解得，進(jìn)而設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則經(jīng)典轉(zhuǎn)化以為直徑的圓過點(diǎn)11.（2016全國(guó)丙理11）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓 的左焦點(diǎn)，分別為的左，右頂點(diǎn).為上一點(diǎn)，且軸.過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過的中點(diǎn)，則的離心率為（ ）.A.B.C.D.11. A 解析 根據(jù)題意，作出圖像，如圖所示.因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又，所以，得，即.故選A.12.（2016浙江理19）如圖所示，設(shè)橢圓.（1）求直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)（用、表示）；（2）若任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.12.解析 （1）設(shè)直線被橢圓截得的線段為，聯(lián)立方程，得，解得，因此（2）聯(lián)立圓與橢圓的方程，觀察易知圓與橢圓的公共點(diǎn)至多有個(gè).當(dāng)有個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，由對(duì)稱性可設(shè)軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足記直線，的斜率分別為，所以，所以直線，的方程為，.由（1）知，所以，變形得.由于得因此因?yàn)槭疥P(guān)于的方程有解的充要條件是，即.因此，任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為，由，得所求離心率的取值范圍為.13.（2107全國(guó)3卷理科10）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為（ ）.ABCD13解析 因?yàn)橐詾橹睆降膱A與直線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，又因?yàn)?，則上式可化簡(jiǎn)為.因?yàn)?，可得，即，所?故選A.題型115 橢圓焦點(diǎn)三角形暫無