2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-第10章圓錐曲線-1 橢圓及其性質(zhì)(理科)
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2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-第10章圓錐曲線-1 橢圓及其性質(zhì)(理科)
第十章 圓錐曲線第1節(jié) 橢圓及其性質(zhì)題型113 橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2014 大綱理 6)已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)為,離心率為,過的直線交于,兩點(diǎn),若的周長(zhǎng)為,則的方程為( ).A B C D2.(2014 安徽理 14)設(shè)分別是橢圓: 的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),若,軸,則橢圓的方程為 .3.(2014 遼寧理 15)已知橢圓:,點(diǎn)與的焦點(diǎn)不重合.若關(guān)于的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為,線段的中點(diǎn)在上,則 .4.(2014 福建理 19)(本小題滿分13分) 已知雙曲線的兩條漸近線分別為,. (1)求雙曲線的離心率; (2)如圖所示,為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)(分別在第一,四象限),且的面積恒為,試探究:是否存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線?若存在,求出雙曲線的方程;若不存在,說明理由.5.(2016北京理19(1)已知橢圓的離心率為,的面積為1.求橢圓的方程;5.解析 可先作出本題的圖形:由題設(shè),可得解得.所以橢圓的方程是.6.(2016山東理21(1)平面直角坐標(biāo)系中,橢圓: 的離心率是,拋物線:的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn).求橢圓的方程;6.解析 由題意知,可得:.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為,所以,所以橢圓的方程為.7.(2016天津理19(1)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,已知,其中為原點(diǎn),為橢圓的離心率.求橢圓的方程.7.解析 由,即,可得.又,所以,因此,所以橢圓的方程為8.(2017浙江2)橢圓的離心率是( ).A. B. C. D. 8.解析 由橢圓方程可得,所以,所以,.故選B9.(2017江蘇17(1)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為點(diǎn)在橢圓上,且位于第一象限,過點(diǎn)作直線的垂線,過點(diǎn)作直線的垂線求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.9.解析 設(shè)橢圓的半焦距為,由題意,解得,因此,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為10.(2017山東理21(1)在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,焦距為.求橢圓的方程.10.解析 由題意知 ,所以 ,因此橢圓的方程為.11.(2107全國(guó)1卷理科20(1)已知橢圓,四點(diǎn),中恰有三點(diǎn)在橢圓上.求的方程;11. 解析 根據(jù)橢圓對(duì)稱性,必過,又橫坐標(biāo)為1,橢圓必不過,所以過三點(diǎn).將代入橢圓方程得,解得,所以橢圓的方程為題型114 橢圓離心率的值及取值范圍1.(2013江蘇12)在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線為,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為,設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為,到的距離為,若,則橢圓的離心率為 .2.(2013福建理14)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,焦距為,若直線與橢圓 的一個(gè)交點(diǎn)滿足,則該橢圓的離心率等于_3.(2014 湖北理 9)已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為( ).A. B. C.3 D.24.(2014 江西理 15)過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓:相交于兩點(diǎn),若是線段的中點(diǎn),則橢圓的離心率等于 .5.(2014 江蘇理 17)F1F2OxyBCA如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn),連結(jié) (1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,且,求橢圓的方程(2)若,求橢圓離心率的值6.(2014 北京理 19)(本小題14分)已知橢圓,(1) 求橢圓的離心率.7.(2015安徽理20)設(shè)橢圓的方程為,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)在線段上,滿足,直線的斜率為.(1)求橢圓的離心率; (2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,為線段的中點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求橢圓的方程.7.解析 (1)由題設(shè)條件知,點(diǎn)的坐標(biāo)為,又,從而,即,所以,故(2)由題設(shè)條件和(1)的計(jì)算結(jié)果可得,直線的方程為,點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為,則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為又點(diǎn)在直線上,且,從而有,解得,所以,所以橢圓的方程為8.(2015重慶理21)如圖所示,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,過的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且.(1)若,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若,求橢圓的離心率. 8.解析 (1)由橢圓的定義,故 設(shè)橢圓的半焦距為,由已知,因此 ,即,從而故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)如圖所示,連接,由橢圓的定義,從而由,有.又由, ,知,因此,得.從而.由,知,因此.9.(2016浙江理7)已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)重合,分別為,的離心率,則( ).A.且 B.且 C.且 D.且 9. A 解析 因?yàn)閮蓚€(gè)圓錐曲線的焦點(diǎn)重合,所以,即.因?yàn)?,所以,故,故選A.10.(2016江蘇10)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,是橢圓的右焦點(diǎn),直線與橢圓交于兩點(diǎn),且,則該橢圓的離心率是 10. 解析 由題意得,直線與橢圓方程聯(lián)立,可得,.由,可得,則,由,可得,則評(píng)注 另外也可以結(jié)合,得,而,解得,進(jìn)而設(shè)與軸的交點(diǎn)為,則經(jīng)典轉(zhuǎn)化以為直徑的圓過點(diǎn)11.(2016全國(guó)丙理11)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),是橢圓 的左焦點(diǎn),分別為的左,右頂點(diǎn).為上一點(diǎn),且軸.過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過的中點(diǎn),則的離心率為( ).A.B.C.D.11. A 解析 根據(jù)題意,作出圖像,如圖所示.因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn),所以,又,所以,得,即.故選A.12.(2016浙江理19)如圖所示,設(shè)橢圓.(1)求直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用、表示);(2)若任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn),求橢圓離心率的取值范圍.12.解析 (1)設(shè)直線被橢圓截得的線段為,聯(lián)立方程,得,解得,因此(2)聯(lián)立圓與橢圓的方程,觀察易知圓與橢圓的公共點(diǎn)至多有個(gè).當(dāng)有個(gè)公共點(diǎn)時(shí),由對(duì)稱性可設(shè)軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn),滿足記直線,的斜率分別為,所以,所以直線,的方程為,.由(1)知,所以,變形得.由于得因此因?yàn)槭疥P(guān)于的方程有解的充要條件是,即.因此,任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為,由,得所求離心率的取值范圍為.13.(2107全國(guó)3卷理科10)已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,且以線段為直徑的圓與直線相切,則的離心率為( ).ABCD13解析 因?yàn)橐詾橹睆降膱A與直線相切,所以圓心到直線的距離等于半徑,即,又因?yàn)?,則上式可化簡(jiǎn)為.因?yàn)?,可得,即,所?故選A.題型115 橢圓焦點(diǎn)三角形暫無