2018年高考數(shù)學(xué) 專題14 不等式選講教學(xué)案 文

專題14 不等式選講【2018年高考考綱解讀】本講內(nèi)容在高考中主要考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值不等式的解法以及不等式證明問(wèn)題，其中絕對(duì)值不等式的解法常與集合及不等式恒成立等結(jié)合在一起綜合考查.求解時(shí)要注意去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法，絕對(duì)值的幾何意義以及轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有：(1)含絕對(duì)值的不等式的解法；B級(jí)要求(2)不等式證明的基本方法；B級(jí)要求(3)利用不等式的性質(zhì)求最值；B級(jí)要求(4)幾個(gè)重要的不等式的應(yīng)用B級(jí)要求.【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1含有絕對(duì)值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<a；(2)|f(x)|<a(a>0)a<f(x)<a；(3)對(duì)形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解2含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)|a|b|a±b|a|b|.此性質(zhì)可用來(lái)解不等式或證明不等式3基本不等式定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a，b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理3：如果a，b，c為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1、a2、an為n個(gè)正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，等號(hào)成立4柯西不等式(1)設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)等號(hào)成立(2)若ai，bi(iN*)為實(shí)數(shù)，則()(ibi)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得aikbi(i1,2， n)時(shí)，等號(hào)成立(3)柯西不等式的向量形式：設(shè)，為平面上的兩個(gè)向量，則|·|·|，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)向量同向或反向時(shí)等號(hào)成立5絕對(duì)值不等式|a|b|a±b|a|b|.需要靈活地應(yīng)用6不等式的性質(zhì)，特別是基本不等式鏈 (a>0，b>0)，在不等式的證明和求最值中經(jīng)常用到7證明不等式的傳統(tǒng)方法有比較法、綜合法、分析法另外還有拆項(xiàng)法、添項(xiàng)法、換元法、放縮法、反證法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等.【題型示例】題型一含絕對(duì)值不等式的解法【例1】【2017課標(biāo)3，文23】已知函數(shù)=x+1x2.（1）求不等式1的解集；（2）若不等式x2x +m的解集非空，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2） 【變式探究】【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分10分）,選修45：不等式選講已知函數(shù).（I）在答題卡第（24）題圖中畫出的圖像；（II）求不等式的解集【答案】（I）見解析（II）【解析】如圖所示：,當(dāng),解得或,當(dāng),解得或或當(dāng),解得或,或綜上,或或,解集為【變式探究】(2015·江蘇，21(D)解不等式 x|2x3|2.解原不等式可化為或解得x5或x.綜上，原不等式的解集是.【變式探究】 (2015·重慶，16)若函數(shù)f(x)|x1|2|xa|的最小值為5，則實(shí)數(shù)a_.答案4或6【變式探究】(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)|xa|(a>0)(1)證明：f(x)2；(2)若f(3)<5，求a的取值范圍【命題意圖】本題主要考查絕對(duì)值三角不等式與基本不等式的應(yīng)用，含絕對(duì)值的不等式的解法，意在考查考生的運(yùn)算求解能力與分類討論思想的應(yīng)用【解題思路】(1)利用“絕對(duì)值三角不等式”進(jìn)行放縮，結(jié)合基本不等式即得證(2)明確不等式后解關(guān)于a的絕對(duì)值不等式，再分類討論求解即可【感悟提升】1用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟(1)求零點(diǎn)；(2)劃區(qū)間、去絕對(duì)值號(hào)；(3)分別解去掉絕對(duì)值的不等式；(4)取每個(gè)結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值2用圖象法、數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對(duì)值的不等式，使得代數(shù)問(wèn)題幾何化，既通俗易懂，又簡(jiǎn)潔直觀，是一種較好的方法3求解絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題的解析(1)可利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求最值或去掉絕對(duì)值號(hào)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求最值(2)結(jié)合“af(x)恒成立，則af(x)max，af(x)恒成立，則af(x)min”求字母參數(shù)的取值范圍【舉一反三】(2015·陜西，24)已知關(guān)于x的不等式|xa|b的解集為x|2x4(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求的最大值解(1)由|xa|b，得baxba，則解得a3，b1.(2) 24，當(dāng)且僅當(dāng)，即t1時(shí)等號(hào)成立，故()max4.【舉一反三】(2015·新課標(biāo)全國(guó)，24)已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍題型二 不等式的綜合應(yīng)用例2、【2017課標(biāo)1，文23】已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含1，1，求的取值范圍【答案】（1）；（2） 2. 【2017課標(biāo)II，文23】已知。證明：（1）；（2）?！敬鸢浮?1)證明略；(2)證明略。【解析】解： （2）因?yàn)樗?，因此【變式探究】【2016高考新課標(biāo)2文數(shù)】選修45：不等式選講已知函數(shù)，為不等式的解集（）求；（）證明：當(dāng)時(shí)，【答案】（）；（）詳見解析.【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國(guó)，24)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd.證明：(1)若abcd，則；(2)是|ab|cd|的充要條件解(1)因?yàn)?)2ab2，()2cd2，由題設(shè)abcd，abcd得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，則(ab)2(cd)2, 即(ab)24ab(cd)24cd.因?yàn)閍bcd，所以abcd.由(1)得.若，則()2()2，即ab2cd2.因?yàn)閍bcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.綜上，是|ab|cd|的充要條件【舉一反三】(2015·新課標(biāo)全國(guó)，24)已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍【變式探究】(2015·陜西，24)已知關(guān)于x的不等式|xa|b的解集為x|2x4(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求的最大值解(1)由|xa|b，得baxba，則解得a3，b1.(2)24，當(dāng)且僅當(dāng)，即t1時(shí)等號(hào)成立，故()max4.【變式探究】已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集為x|2x1(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范圍【規(guī)律方法】解答含有絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題時(shí)，通常將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再求分段函數(shù)的最值，從而求出所求參數(shù)的值【變式探究】 已知非負(fù)實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2y2z2x2y3z，求xyz的最大值12