2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度6.5 恒成立與存在性問題大題狂練 理

命題角度5：恒成立與存在性問題1.設(shè)函數(shù) .(1)關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.試題解析：（1）方程即為，令，則， 當(dāng)時(shí)， 隨變化情況如表：極大值， 當(dāng)時(shí)， ， 的取值范圍是.（2）依題意，當(dāng)時(shí)， 恒成立，令，則，令，則當(dāng)時(shí)， ， 函數(shù)在上遞增， ， 存在唯一的零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，則當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ， 在上遞減，在上遞增，從而，由得，兩邊取對數(shù)得， ，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.2.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（）求實(shí)數(shù)的值；（）若存在，滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（）;（）.【解析】試題分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程，將其和已知的切線方程對比，可得.（II）將原不等式分離常數(shù)，得到在上有解，令，利用其二階導(dǎo)數(shù)判斷出在區(qū)間上單調(diào)遞減，求得其最小值，進(jìn)而得到的取值范圍.試題解析：（）函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)椋?所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為 ，即.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，比較求得.所以實(shí)數(shù)的值為.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以 .所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以 .所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與切線，函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式存在性問題的求解.第一問涉及函數(shù)導(dǎo)數(shù)與切線的問題，主要把握住兩個(gè)關(guān)鍵，一個(gè)是切點(diǎn)的坐標(biāo)，一個(gè)是在切點(diǎn)處切線的斜率.第二問根據(jù)存在性問題求參數(shù)的取值范圍，主要采用分離常數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)求得含有部分函數(shù)的最值，即可求得參數(shù)的取值范圍.3已知函數(shù).（1）研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1) 在上單調(diào)遞增;(2) .【解析】試題分析：(1)二次求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2) 不等式在上恒成立. 在上恒成立，轉(zhuǎn)求的最小值即可. (2)依題在上恒成立，設(shè)，則在上恒成立，欲使在上恒成立，則，得，反之，當(dāng)時(shí)， ，設(shè)，則設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，故，所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上恒成立，綜上所述， 在上恒成立，所以的取值范圍是.4. 已知, （）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（）若，使成立，求參數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為, 的增區(qū)間為， ;（2）【解析】試題分析：（）對函數(shù)求導(dǎo)，列表可得出結(jié)果；（）將題意可轉(zhuǎn)化為時(shí)， 成立，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分為當(dāng)時(shí)， ，即，即，設(shè)，對其求導(dǎo)，求出的最小值；當(dāng)時(shí)，列表可得， 解不等式得結(jié)果.試題解析：（） ，時(shí)， 增減增的減區(qū)間為的增區(qū)間為， （）由題意，即 ， 當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增即 即設(shè) 即恒成立 無解當(dāng)時(shí)且，由（1）知恒成立，若使則且 1 ， ， 2由12取交集： 點(diǎn)睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分類討論思想在解不等式中的應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)解決存在性問題，需注意它和恒成立問題的區(qū)別，具有一定的難度；由，得函數(shù)單調(diào)遞增， 得函數(shù)單調(diào)遞減；對于存在性問題，使成立等價(jià)于成立.5.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若， 恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：(1) 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論 的范圍， 得增區(qū)間， 得減區(qū)間； (2)問題轉(zhuǎn)化為，討論 的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 的最小值即可求出 的范圍.（2）令，由（1）可知，函數(shù)的最小值為，所以，即.恒成立與恒成立等價(jià)，令，即，則.當(dāng)時(shí)， .（或令，則在上遞增，在上遞增，.）.在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立.當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增.又， ，存在，使得，故當(dāng)時(shí)， ，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，即， 不恒成立，綜上所述， 的取值范圍是.6.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】(1) 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)2.【解析】試題分析：(1)首先對函數(shù)求導(dǎo)，然后對參數(shù)分類討論可得當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)將原問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，考查函數(shù)的性質(zhì)可得整數(shù)的最小值是2. (2)解法一：由得，原命題等價(jià)于在上恒成立，令，則，令，則在上單調(diào)遞增，由，存在唯一，使，.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，時(shí)，又，則，由，所以.故整數(shù)的最小值為2.解法二：得，令，時(shí)，在上單調(diào)遞減，該情況不成立.時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，恒成立，即.令，顯然為單調(diào)遞減函數(shù).由，且，當(dāng)時(shí)，恒有成立，故整數(shù)的最小值為2.綜合可得，整數(shù)的最小值為2.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系 (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù) (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題 (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用7.設(shè)函數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，若對任意的，存在使得成立，求的取值范圍.【答案】(1) ；(2) 或.【解析】試題分析：（1）本問考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，當(dāng)時(shí)， ，則，又，所以可以求出切線方程；（2）本問考查“任意”和“存在”問題，主要是將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化，“對任意的，存在使得成立”等價(jià)于“在區(qū)間上， 的最大值大于或等于的最大值”，根據(jù)二次函數(shù)易求在上的最大值，求在上最大值時(shí)，需要分區(qū)間對的根進(jìn)行討論，通過單調(diào)性求出在上最大值，進(jìn)而解不等式求的取值范圍.當(dāng)，即時(shí)， 在上恒成立， 在上為單調(diào)遞增函數(shù)， 的最大值大為，由，得；當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)， 為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以的最大值大為或.由，得；由，得，又因?yàn)?，所以；?dāng)，即時(shí)， 在上恒成立， 在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以的最大值大為，由，得，又因?yàn)椋?，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；3.“任意”、“存在”類問題.方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，導(dǎo)數(shù)幾何意義等內(nèi)容是考查的重點(diǎn).解題時(shí)，注意函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，另外，還要能夠?qū)栴}進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，尤其是“任意”和“存在”問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，可以簡化解題過程.本題“對任意的，存在使得成立”等價(jià)于“在區(qū)間上， 的最大值大于或等于的最大值”.8已知函數(shù) 為常數(shù)， .（1）當(dāng) 在 處取得極值時(shí)，若關(guān)于的方程 在 上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）若對任意的 ，總存在 ，使不等式 成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.【答案】（1）；（2）的取值范圍是（2）因?yàn)?，所以，即所以在上單調(diào)遞增，所以問題等價(jià)于對任意，不等式成立設(shè)，則當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)所以不可能使恒成立，故必有，因?yàn)槿簦芍趨^(qū)間上單調(diào)遞增，在此區(qū)間上有滿足要求若，可知在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上有，與恒成立相矛盾，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于難題.在處理導(dǎo)數(shù)大題時(shí)，注意分層得分的原則，一般涉及求函數(shù)單調(diào)性時(shí)，比較容易入手，求導(dǎo)后含參數(shù)的問題注意分類討論，對于恒成立的問題，一般要構(gòu)造新函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性及最值，涉及到的技巧較多，需多加體會(huì).9.已知（I）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；（II）若恒成立，求的最大值【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）求出導(dǎo)數(shù)，由題意有，代入可得；（II）不等式，即恒成立，這樣只要求得的最大值，解不等式即得對，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減，在定義域內(nèi)有（可只取一個(gè)值檢驗(yàn)），不合題意，當(dāng)時(shí)， ，由導(dǎo)數(shù)可得最大值為，得，變形為， ，因此只要設(shè)，再由導(dǎo)數(shù)求出的最小值即得 試題解析：（I），依題意，有，解得， （II）設(shè)，則，依題意恒成立，時(shí)， 定義域，取使得，得，則與矛盾，不符合要求，時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在其定義域上有最大值，最大值為，由，得，設(shè)，則，時(shí)， 時(shí)， ，在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，的最大值為，當(dāng)時(shí)， 取最大值為，綜合，得， 最大值為10.已知函數(shù) (為常數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù)）（）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）當(dāng)， 時(shí)，對任意的都有成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：（）第一步求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，第二步再設(shè)，并且求以及時(shí)， ，分析函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的取值范圍，并且根據(jù) ，討論和函數(shù)的極值以及端點(diǎn)值的大小關(guān)系，得到函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）不等式等價(jià)于 ，求的最大值小于的最小值，即求得的取得范圍.試題解析：（） 時(shí)， ，記，則， ， 當(dāng)時(shí)， ， 時(shí)， ，所以當(dāng)時(shí)， 取得極小值，又， ，所以（）當(dāng)即時(shí)， ，函數(shù)在區(qū)間上無極值點(diǎn)； （）當(dāng)時(shí)，對任意的都有，即，即 記， ，由，當(dāng)時(shí)， 時(shí)， ，所以當(dāng)時(shí)， 取得最大值， 又，當(dāng)時(shí)， 時(shí)， ，所以當(dāng)時(shí)， 取得最小值， 所以只需要 ，即正實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了零點(diǎn)存在性定理和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值的綜合性問題，第一問導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題，參變分離后轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值，最值，討論與函數(shù)的極值和最值的大小關(guān)系，得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)，第二問，同樣需根據(jù)條件變化函數(shù)，近幾年高考在導(dǎo)數(shù)命題上難度較大，命題方向也較多，常常要構(gòu)造函數(shù)，思維巧妙，有選拔優(yōu)秀學(xué)生的功能.- 17 -