中考數(shù)學復習 第二章方程與不等式 第7課 一元二次方程課件

第7課一元二次方程 1定義： 只含有 ，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 ，這樣的整式方程叫做一元二次方程通常可寫成如下的一般形式： ，其中a、b、c分別叫做二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項2解法： ； ； ； 要點梳理要點梳理一個未知數(shù)一個未知數(shù)2ax2bxc0(a、b、c是已知數(shù)，是已知數(shù)，a0)直接開平方法直接開平方法因式分解法因式分解法配方法配方法公式法公式法3公式： 一元二次方程ax2bxc0的求根公式：4簡單的高次方程、二次根式方程的概念、解法： (1)高次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)大于2的整式方程 (2)無理方程：根號內(nèi)含有未知數(shù)的方程 (3)解高次方程的思想是“降次”，即把高次方程通過因式分解、換元等方法轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程 (4)解無理方程的思想是通過方程左右兩邊平方、換元等方法去根號轉(zhuǎn)化為整式方程，要注意驗根，舍去增根x (b24ac0)b b24ac2a 5二元二次方程組的概念及解法： (1)二元二次方程組：由一個二元一次方程和一個二元二次方程所組成的方程組或由兩個二元二次方程組成的方程組叫做二元二次方程組 (2)解二元二次方程組的思想是“消元”，即把多元通過加減、代入、換元等方法轉(zhuǎn)化為一元方程來解，或“降次”利用因式分解轉(zhuǎn)化為二元一次方程組或一元一次方程來解1正確理解并掌握一元二次方程的概念 識別一元二次方程必須抓住三個條件： (1)整式方程；(2)含有一個未知數(shù)；(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2.滿足上述三個條件的方程才是一元二次方程，不滿足其中任何一個條件的方程都不是一元二次方程，即三個條件缺一不可 在確定方程各項系數(shù)時，應把一元二次方程化成一般形式，指明各項系數(shù)時不要漏掉前面的符號一元二次方程的一般形式不是唯一的，但習慣上把二次項系數(shù)化為正整數(shù) 難點正本難點正本 疑點清源疑點清源 2正確使用各種方法解一元二次方程 一元二次方程的解法有四種，在解方程時，要注意靈活選擇直接開平方法、因式分解法只適用于特殊形式的方程；而公式法則是最普遍的方法；配方法用的不多，一般根據(jù)方程的特征靈活運用 解一元二次方程要根據(jù)方程的特點，選擇合適的方法解題，但一般順序為：直接開平方法因式分解法公式法，一般沒有特別要求的不用配方法 用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義；因式分解法解方程的依據(jù)是：若ab0，則a0，或b0，方程的右邊一定要化為0，才能用因式分解法求解 運用公式法之前一定要確認兩點：其一，該方程是一元二次方程，其二，方程的判別式非負，滿足這兩點即可使用求根公式 配方法是一種重要的數(shù)學方法，它既是恒等變形的重要手段，又是研究相等關(guān)系、討論不等關(guān)系的常用方法，在配方前，先將二次項系數(shù)a提出來，使括號中的二次項系數(shù)化為1，然后通過配方分離出一個完全平方式1(2011嘉興)一元二次方程x(x1)0的解是() Ax0 Bx1 Cx0或x1 Dx0或x1 解析：x(x1)0，x0或x10，即x0或x1.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測C2(2011南充)方程(x1)(x2)x1的解是() A2 B3 C1,2 D1,3 解析：(x1)(x2)x1， (x1)(x2)(x1)0， (x1)(x3)0. x11，x23.D3(2011江西)已知x1是方程x2bx20的一個根，則方程的另一個根是() A1 B2 C2 D1 解析：當x1時，1b20，b1. x2x20，x11，x22，另一個根是2.C4(2011大理)三角形的兩邊長分別是3和6，第三邊的長是方程 x26x80的一個根，則這個三角形的周長是() A9 B11 C13 D11或13 解析：方程x26x80的根為x2或4，而第三邊3x9， 故x4，三角形周長為36413.C5(2011武漢)若x1，x2是一元二次方程x24x30的兩個根， 則x1x2的值是() A4 B3 C4 D3 解析：方程x24x30，x11，x23， 所以x1x2(1)(3)3. (或根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系直接得出x1x2 3.) B31 題型一一元二次方程的解法【例 1】 解下列方程： (1)3x2750 解：3x2750，x225，x5，x15，x25. (2)x(x5)24 解：x(x5)24，x25x240，x18，x23.題型分類題型分類 深度剖析深度剖析(3)(y3)(13y)12y2解：(y3)(13y)12y2，y3y239y12y2， 5y28y20，y ， y1 ，y2 .(4)(3x5)25(3x5)40解：(3x5)25(3x5)40， (3x51)(3x54)0， (3x4)(3x1)0， 3x40或3x10， x1 ，x2 .8 10425 4 265 4 265 4 265 13 43 (5)(1997x)2(x1996)21解：解法一：(1997x)2(x1996)210， (1997x)2(x1997)(x1995)0， (x1997)(x1997)(x1995)0， 2(x1997)(x1996)0， x11997，x21996.解法二：因為(1997x)2(x1996)2 (1997x)(x1996)22(1997x)(x1996)， 所以原方程可化為：12(1997x)(x1996)1， 2(1997x)(x1996)0， x11997，x21996.探究提高 解一元二次方程要根據(jù)方程的特點選擇合適的方法解題，但一般順序為：直接開平方法因式分解法公式法一般沒有特別要求的不用配方法知能遷移1解方程：(1)(2x1)29(用直接開平方法)；解：(2x1)29,2x13， x ，x12，x21.132 (2)x23x40(用配方法)；解：x23x40，x23x4， x23x 4 ，(x )2 ， x ，x ， x11，x24.(3)x22x80(用因式分解法)；解：x22x80，(x4)(x2)0， x40或x20， x14，x22.94 94 32 32 254 52 32 52 (4)x(x1)2(x1)0.解：x(x1)2(x1)0，x2x2x20， x23x20，x . x1 ，x2 .3 1721 3 172 3 172 題型二配方法【例 2】 試說明：代數(shù)式2x2x3的值不小于 .解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：2x2x32(x2 x)3 2x2 x( )2( )23 2(x )2 3 2(x )2 32(x )2 . 不論x取何實數(shù)，2(x )2 0， 2(x )2 . 即代數(shù)式2x2x3的值不小于 .12 12 18 238 238 238 238 探究提高 配方法是一種重要的數(shù)學方法，它既是恒等變形的重要手段，又是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用方法，在配方前，先將二次項系數(shù)2提出來，使括號中的二次項系數(shù)化為1，然后通過配方分離出一個完全平方式知能遷移2對于二次二項式x210 x36，小聰同學作出如下結(jié)論：無論x取什么實數(shù)，它的值都不可能等于11，你是否同意他的說法？說明你的理由 解：不同意小聰?shù)恼f法 理由如下：x210 x36x210 x2511(x5)21111，當x5時，x210 x36有最小值11.題型三應用方程根的定義解題【例 3】(1)(2010綿陽)若實數(shù)m是方程x2 x10的一個根，則m4m4_. 解析： xm, m2 m10， m21 m，m ， 兩邊平方，得m22 10，m2 8， 再平方，得m42 64，m4 62， 即m4m462. 6210 10 1m 10 1m2 1m2 1m4 1m4 (2)已知a是方程x22009x10的一個根，試求a22008a 值 解：xa，a22009a10， a22008aa1，a212009a， . 原式a1 2008.20092009a 2009a21 1a 1a a2a1a a21 aa 2009aaa 2008aa 探究提高 1.利用方程根的概念，將方程的根代入原方程，再解關(guān)于待定系數(shù)的方程，就可以求出待定系數(shù)的值 2采用整體的思想方法，結(jié)合一元二次方程根的定義及分式加減運算的法則可得(2)中代數(shù)式的值知能遷移3(1)已知方程x2kx60的一個根是2，求它的另一個根及k的值； 解：x2，42k60，2k2，k1. x2x60，x12，x23. 方程的另一個根是3，k1.(2)已知關(guān)于x的二次方程x2mxn0的一個解是2，另一個解是正數(shù)，且也是方程(x4)2523x的解你能求出m和n的值嗎？ 解：(x4)2523x，x25x360，x14，x29， x2mxn0的兩根是2和4， 即 解得 42mn0，164mn0， 2mn4，4mn16， m6，n8. (3)(2010廣州)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2bx10(a0)有兩個相等的實數(shù)根，求 的值分析：對于(3)，由于這個方程有兩個相等的實數(shù)根，因此b24a0，可得出a、b之間的關(guān)系，然后將 化簡后，用含b的代數(shù)式表示a，即可求出這個分式的值ab2 a2 2b24 解：ax2bx10(a0)有兩個相等的實數(shù)根， b24ac0，即b24a0，b24a. . a0， 4.ab2 a2 2b24 ab2a24a4b24 ab2a24ab2 ab2a2 ab2a2 b2a 4aa 題型四與幾何問題的綜合【例 4】已知三角形兩邊長分別為2和4，第三邊是方程x24x 30的解，求這個三角形的周長 解：解方程x24x30得x11，x23. 又三角形的第三邊a的范圍是2a0時有兩個不相等的實數(shù)根，0時有兩個相等的實數(shù)根但在解題過程中，往往出現(xiàn)只有一個根的現(xiàn)象，這就表明遺失了一個根3規(guī)范解答，理解一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法的規(guī)范步驟，才能避免失根. 方法與技巧1.關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)，當b0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根的條件是“a、c異號”用因式分解法解這個方程ax2c0時，只有當a、c異號，二次式ax2c才是可以分解的；用開平方法解這個方程x2 ，只有當a、c異號時，正數(shù) 才有兩個互為相反數(shù)的平方根因此一元二次方程ax2bxc0(a0)根的判別式b24ac，在a、c異號時，b24ac0，方程一定有兩個不相等的實數(shù)根思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2. 關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0(a0) (1)當b0，c0時，只考慮開平方法，x2 ，x ， 其中a、c異號； (2)當c0，b0時，用因式分解法(提取公因式x)，x10，x2 ； (3)當b0，c0時，考慮因式分解(十字分解)法，或利用公式法 在進行以上思考前，使a為正；把a、b、c都整理為整數(shù)；約去a、 b、c的公因數(shù)3. 解好利用“根的判別式”為工具的有關(guān)問題當給出了根的情況的結(jié)論，求a、b、c中所含字母的取值或取值范圍，先求出并化簡根的判別式的表達式，然后根據(jù)所給的結(jié)論，以0或0或0，再解所得的不等式或方程失誤與防范1. 對于最高次項系數(shù)含有參數(shù)的方程，這并不能斷定該方程即為一元二次方程，解題時要分一元一次方程和一元二次方程加以討論對于二次項系數(shù)含有參數(shù)的方程，題設(shè)已交代了是一元二次方程，不能忽視二次項的系數(shù)應為非零實數(shù)，這是個隱含條件，最易被忽視任何一個關(guān)于x的一元二次方程中有一個隱含條件：即二次項系數(shù)a0.2. 正確理解“方程有實根”的含義方程有一個實數(shù)根或有兩個實數(shù)根：如有一個實數(shù)根則原方程為一元一次方程；若有兩個實數(shù)根則原方程為一元二次方程在解題時，要特別注意“方程有實數(shù)根”、“有兩個實數(shù)根”等關(guān)鍵文字，要挖掘出它們的隱含條件，以免陷入關(guān)鍵字的“陷阱”3. 在運用直接開平方法求一元二次方程的解時，容易出現(xiàn)將平方根和算術(shù)平方根混淆的錯誤，使得在解題時出現(xiàn)失根的現(xiàn)象例如將x290變形為x29后，根據(jù)平方根的意義得到方程的根應該是x3，而非x3. 用因式分解法解方程時，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時，不能在兩邊同時除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過移項的方式，將方程右邊化為0.配方法是指通過配方，利用完全平方式，將一元二次方程左邊化成一個含有未知數(shù)的整式的平方，方程右邊就是一個非負數(shù)的形式，然后再用直接開平方法求解因此用配方法解方程必須注意以下幾點：一是要注意配方時必須在方程的左右兩邊同時加上一次項系數(shù)絕對值的一半的平方，二是要注意在配方時所配系數(shù)必須是一次項系數(shù)的絕對值的一半的平方所有的一元二次方程都可以用公式法進行求解，所以一元二次方程有無實數(shù)根，就取決于根的判別式的值，即b24ac的大小如果b24ac0，則方程有兩個不相等的實數(shù)根；如果b24ac0，則方程有兩個相等的實數(shù)根；如果b24ac0，則方程無實數(shù)根完成考點跟蹤訓練 7