【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學(xué) 北師大版一輪訓(xùn)練:第10篇 第1講 歸納與類比
第十篇推理證明、算法、復(fù)數(shù)第1講歸納與類比基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時:40分鐘)一、選擇題1正弦函數(shù)是奇函數(shù),f(x)sin(x21)是正弦函數(shù),因此f(x)sin(x21)是奇函數(shù),以上推理()A結(jié)論正確B大前提不正確C小前提不正確D全不正確解析f(x)sin(x21)不是正弦函數(shù)而是復(fù)合函數(shù),所以小前提不正確答案C2觀察(x2)2x,(x4)4x3,(cos x)sin x,由歸納推理得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(x)()Af(x)Bf(x)Cg(x)Dg(x)解析由已知得偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù),故g(x)g(x)答案D3(20xx·江西卷)觀察下列各式:ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,則a10b10等于()A28B76C123D199解析從給出的式子特點觀察可推知,等式右端的值,從第三項開始,后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和,照此規(guī)律,則a10b10123.答案C4(20xx·西安模擬)類比“兩角和與差的正弦公式”的形式,對于給定的兩個函數(shù):S(x)axax,C(x)axax,其中a0,且a1,下面正確的運(yùn)算公式是()S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y);S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y);2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y);2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)ABCD解析經(jīng)驗證易知錯誤依題意,注意到2S(xy)2(axyaxy),S(x)C(y)C(x)S(y)2(axyaxy),因此有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y);同理有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)綜上所述,選B.答案B5由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則:“mnnm”類比得到“a·bb·a”;“(mn)tmtnt”類比得到“(ab)·ca·cb·c”;“(m·n)tm(n·t)”類比得到“(a·b)·ca·(b·c)”;“t0,mtxtmx”類比得到“p0,a·px·pax”;“|m·n|m|·|n|”類比得到“|a·b|a|·|b|”;“”類比得到“”以上式子中,類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是()A1B2C3D4解析正確;錯誤答案B二、填空題6(20xx·西安五校聯(lián)考)觀察下式:112;23432;3456752;4567891072,則得出結(jié)論:_.解析各等式的左邊是第n個自然數(shù)到第3n2個連續(xù)自然數(shù)的和,右邊是中間奇數(shù)的平方,故得出結(jié)論:n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1)27若等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,前n項的和為Sn,則數(shù)列為等差數(shù)列,且通項為a1(n1)·,類似地,請完成下列命題:若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列bn的首項為b1,公比為q,前n項的積為Tn,則_答案數(shù)列為等比數(shù)列,且通項為b1()n18給出下列等式:2cos ,2cos ,2cos ,請從中歸納出第n個等式:_.答案2cos 三、解答題9給出下面的數(shù)表序列:其中表n(n1,2,3,)有n行,第1行的n個數(shù)是1,3,5,2n1,從第2行起,每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和寫出表4,驗證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列,并將結(jié)論推廣到表n(n3)(不要求證明)解表4為1 3 57 4 8 12 1220 32它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32,它們構(gòu)成首項為4,公比為2的等比數(shù)列將這一結(jié)論推廣到表n(n3),即表n(n3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n,公比為2的等比數(shù)列10f(x),先分別求f(0)f(1),f(1)f(2),f(2)f(3),然后歸納猜想一般性結(jié)論,并給出證明解f(0)f(1),同理可得:f(1)f(2),f(2)f(3).由此猜想f(x)f(1x).證明:f(x)f(1x).能力提升題組(建議用時:25分鐘)一、選擇題1(20xx·江西卷)觀察下列事實:|x|y|1的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為4,|x|y|2的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為8,|x|y|3的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為12,則|x|y|20的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為()A76B80C86D92解析由|x|y|1的不同整數(shù)解的個數(shù)為4,|x|y|2的不同整數(shù)解的個數(shù)為8,|x|y|3的不同整數(shù)解的個數(shù)為12,歸納推理得|x|y|n的不同整數(shù)解的個數(shù)為4n,故|x|y|20的不同整數(shù)解的個數(shù)為80.故選B.答案B2古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)比如:他們研究過圖1中的1,3,6,10,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,將其稱為三角形數(shù);類似地,稱圖2中的1,4,9,16,這樣的數(shù)為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A289B1 024C1 225D1 378解析觀察三角形數(shù):1,3,6,10,記該數(shù)列為an,則a11,a2a12,a3a23,anan1n.a1a2an(a1a2an1)(123n)an123n,觀察正方形數(shù):1,4,9,16,記該數(shù)列為bn,則bnn2.把四個選項的數(shù)字,分別代入上述兩個通項公式,可知使得n都為正整數(shù)的只有1 225.答案C二、填空題3(20xx·湖北卷)在平面直角坐標(biāo)系中,若點P(x,y)的坐標(biāo)x,y均為整數(shù),則稱點P為格點若一個多邊形的頂點全是格點,則稱該多邊形為格點多邊形格點多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點數(shù)記為N,邊界上的格點數(shù)記為L.例如圖中ABC是格點三角形,對應(yīng)的S1,N0,L4.(1)圖中格點四邊形DEFG對應(yīng)的S,N,L分別是_;(2)已知格點多邊形的面積可表示為SaNbLc,其中a,b,c為常數(shù)若某格點多邊形對應(yīng)的N71,L18,則S_(用數(shù)值作答)解析(1)四邊形DEFG是一個直角梯形,觀察圖形可知:S(2)××3,N1,L6.(2)由(1)知,S四邊形DEFGa6bc3.SABC4bc1.在平面直角坐標(biāo)系中,取一“田”字型四邊形,構(gòu)成邊長為2的正方形,該正方形中S4,N1,L8.則Sa8bc4.聯(lián)立解得a1,b.c 1.SNL1,若某格點多邊形對應(yīng)的N71,L18,則S71×18179.答案(1)3,1,6(2)79三、解答題4(20xx·福建卷)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù):sin213°cos217°sin 13°cos 17°;sin215°cos215°sin 15°cos 15°;sin218°cos212°sin 18°cos 12°;sin2(18°)cos248°sin(18°)cos 48°;sin2(25°)cos255°sin(25°)cos 55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù);(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論解(1)選擇式,計算如下:sin215°cos215°sin 15°cos 15°1sin 30°1.(2)三角恒等式為sin2cos2(30°)sin cos(30°).證明如下:sin2cos2(30°)sin cos(30°)sin2(cos 30°cos sin 30°sin )2sin ·(cos 30°cos sin 30°sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.