高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、解三角形 5.3 解三角形課件 理 新人教B版

5.3解三角形高考理數(shù)高考理數(shù)1.正弦定理、余弦定理(1)正弦定理在ABC中,=2R(R為ABC的外接圓半徑).(2)余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC;推論:cosA=,cosB=,cosC=.2.解三角形的類型(1)已知兩角一邊,用正弦定理,有解時,只有一解.sinaAsinbBsincC2222bcabc2222cabac2222abcab知識清單(2)已知兩邊及其一邊的對角,用正弦定理,有解的情況可分為以下幾種(在ABC中,已知a、b和角A):上表中,若A為銳角,當(dāng)absinA時,無解;若A為鈍角,當(dāng)a=b,ab時均無解.(3)已知三邊,用余弦定理,有解時,只有一解.(4)已知兩邊及夾角,用余弦定理,必有一解.3.三角形的面積設(shè)ABC的三邊為a、b、c,所對的三個角分別為A、B、C,其面積為S.(1)S=ah(h為BC邊上的高);(2)S=absinC=acsinB=bcsinA;A為銳角A為鈍角圖形關(guān)系式a=bsinAbsinAab解個數(shù)一解兩解一解一解12121212(3)S=2R2sinAsinBsinC(R為ABC的外接圓半徑);(4)S=(R為ABC的外接圓半徑);(5)S=.4.實際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平線上方的角叫仰角,目標(biāo)視線在水平線下方的角叫俯角(如圖a).4abcR()()()p papbpc1()2pabc(2)方位角從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角,如點B的方位角為(如圖b).【知識拓展】【知識拓展】判斷三角形形狀的基本思想:利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一,即將條件化為只含角的關(guān)系式,然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式;或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式,然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系.結(jié)論一般為特殊的三角形,如等邊三角形,等腰三角形,直角三角形,等腰直角三角形等.另外,在變形過程中要注意A、B、C的范圍對三角函數(shù)值的影響.應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其推論.解三角形時,可用正弦定理,也可用余弦定理,應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷.例例1(2015東北三省四市教研聯(lián)合體第一次模擬,17)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bsinA=acosB.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.解析解析(1)由bsinA=acosB及正弦定理,得sinB=cosB,所以tanB=,所以B=.(2)由sinC=2sinA及=,得c=2a,由b=3及b2=a2+c2-2accosB,33333sinaAsincC突破方法方法方法1正、余弦定理的應(yīng)用正、余弦定理的應(yīng)用得9=a2+c2-ac.聯(lián)立可得a=,c=2.1-1 (2015貴州六盤水第一次聯(lián)考,17)ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a.(1)求;(2)若c2=b2+a2,求B.解析解析(1)由正弦定理得,sin2AsinB+sinBcos2A=sinA,即sinB(sin2A+cos2A)=sinA.故sinB=sinA,所以=.(2)由余弦定理和c2=b2+a2,得cosB=.由(1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2,可得cos2B=,332ba3222basinsinBA23(13)2ac312又易知cosB0,故cosB=,所以B=45.221.靈活運(yùn)用正、余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化.2.合理運(yùn)用三角函數(shù)公式,如同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式等.3.三角形的面積公式形式多樣,選擇合適的形式入手是順利解題的關(guān)鍵.例例2 (2016皖南八校聯(lián)考,8,5分)在ABC中,=3,SABC,則B的取值范圍是()A.B.C.D.解題思路解題思路 由已知及三角形面積公式得SABC=tanB由SABC的范圍得tanBB解析解析由題意知accosB=3,BA BC 3 3 3,22,4 3 ,6 4 ,6 3 ,3 2 323, 33,6 3 方法方法2有關(guān)三角形面積問題的求解方法有關(guān)三角形面積問題的求解方法所以ac=,SABC=acsinB=sinB=tanB.因為SABC,所以tanB,所以B.答案答案 C2-1 (2016北京豐臺期末)已知在ABC中,AB=,BC=1,sinC=cosC,則ABC的面積為.答案答案解析解析由sinC=cosC得tanC=,又C(0,),所以C=.3cosB12123cosB323 3 3,223, 33,6 3 3332333根據(jù)正弦定理可得=2,所以sinA=,因為ABBC,所以AC,所以A=,所以B=,所以ABC為直角三角形,所以SABC=1=.1sin A332126212332例例3 (2016安徽合肥三檢,14,5分)如圖,一棟建筑物AB的高為(30-10)m,在該建筑物的正東方向有一個通信塔CD.在它們之間的地面點M(B,M,D三點共線)處測得樓頂A,塔頂C的仰角分別是15和60,在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30,則通信塔CD的高為m.解析解析如圖,在RtABM中,AM=20(m).又易知MAN=AMB=15,所以MAC=30+15=45,又AMC=180-15-60=105,從而3sinABAMB30 10 3sin1530 10 3sin(4530 )30 10 36246方法方法3實際應(yīng)用問題中的解三角形實際應(yīng)用問題中的解三角形ACM=30.在AMC中,由正弦定理得=,解得MC=40(m).在RtCMD中,CD=40sin60=60(m),故通信塔CD的高為60m.答案答案603-1 (2016東北三校聯(lián)考(二)一艘船向正北方向航行,看見它的正西方向有兩個相距10海里的燈塔恰好與它在一條直線上.船繼續(xù)航行半小時后,看見這兩個燈塔中,一個燈塔在船的南偏西60方向上,另一個燈塔在船的南偏西75方向上,則這艘船的速度是每小時()A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里sin45MC20 6sin303322如圖,依題意有BAC=60,BAD=75,ABD=90,CD=10海里,所以CAD=CDA=15,從而CA=CD=10海里.在RtABC中,AB=ACcos60=5(海里),所以這艘船的速度是=10(海里/小時).50.5答案答案D解析解析