二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)文通用版講義：第一部分 第二層級 高考5個(gè)大題 題題研訣竅 概率與統(tǒng)計(jì)問題重在“辨”——辨析、辨型、辨圖 Word版含解析

技法指導(dǎo)遷移搭橋 概率與統(tǒng)計(jì)問題辨析、辨型與辨圖的基本策略(1)準(zhǔn)確弄清問題所涉及的事件有什么特點(diǎn)，事件之間有什么關(guān)系，如互斥、對立等(2)理清事件以什么形式發(fā)生，如同時(shí)發(fā)生、至少有幾個(gè)發(fā)生等(3)明確抽取方式，如放回還是不放回、抽取有無順序等(4)分清是古典概型還是幾何概型后再求概率(5)會(huì)套用求、K2的公式，再作進(jìn)一步求值與分析(6)理解各圖表所給信息，利用信息找出所要數(shù)據(jù).典例(2018·全國卷)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量0，0.1)0.1，0.2)0.2，0.3)0.3，0.4)0.4，0.5)0.5，0.6)0.6，0.7)頻數(shù)13249265使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量0，0.1)0.1，0.2)0.2，0.3)0.3，0.4)0.4，0.5)0.5，0.6)頻數(shù)151310165(1)在下圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；(2)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35 m3的概率；(3)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)快審題第(1)問求什么想什么作頻率分布直方圖，想到頻率分布直方圖的畫法給什么用什么給出了頻數(shù)分布表，計(jì)算各組的頻率，結(jié)合每組的組距計(jì)算頻率與組距的比值.第(2)問求什么想什么求概率，想到利用頻率來估計(jì)概率給什么用什么給出了數(shù)據(jù)，計(jì)算對應(yīng)的頻率，然后利用頻率估計(jì)概率.第(3)問求什么想什么求一年來節(jié)省多少水，想到一天能省多少水給什么用什么給出50天的日用水量數(shù)據(jù)，可計(jì)算日用水量的平均數(shù)差什么找什么計(jì)算一年節(jié)省多少水，應(yīng)計(jì)算一天節(jié)省多少水，即求兩種情況下日平均用水量差.穩(wěn)解題(1)頻率分布直方圖如圖所示(2)根據(jù)頻率分布直方圖知，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35 m3的頻率為0.2×0.11×0.12.6×0.12×0.050.48，因此該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35 m3的概率的估計(jì)值為0.48.(3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為1×(0.05×10.15×30.25×20.35×40.45×90.55×260.65×5)0.48.該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為2×(0.05×10.15×50.25×130.35×100.45×160.55×5)0.35.估計(jì)使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水(0.480.35)×36547.45(m3)題后悟道(1)求概率的關(guān)鍵：定型定性定數(shù)量(幾何量)求概率(2)求解統(tǒng)計(jì)案例問題的關(guān)鍵：作圖(列表格)計(jì)算得結(jié)論針對訓(xùn)練春節(jié)期間，支付寶用戶都可通過集齊?？?愛國福、富強(qiáng)福、和諧福、友善福、敬業(yè)福)，在除夕夜22：18獲得一份現(xiàn)金紅包某高校一個(gè)社團(tuán)在寒假開學(xué)后隨機(jī)調(diào)查了該校80位在讀大學(xué)生，就除夕夜22：18之前是否集齊五福進(jìn)行了一次調(diào)查(若未參與集五福的活動(dòng)，則等同于未集齊五福)，得到具體數(shù)據(jù)如下表： 是否集齊五福性別是否總計(jì)男301040女35540總計(jì)651580(1)根據(jù)如上的列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“集齊五福與性別有關(guān)”？(2)計(jì)算這80位大學(xué)生集齊五福的頻率，并據(jù)此估算該校10 000名在讀大學(xué)生中集齊五福的人數(shù)；(3)為了解集齊五福的大學(xué)生明年是否愿意繼續(xù)參加集五福活動(dòng)，該社團(tuán)從集齊五福的學(xué)生中，選取2名男生和3名女生逐個(gè)進(jìn)行采訪，最后再隨機(jī)選取3次采訪記錄放到該大學(xué)的官方網(wǎng)站上，求最后被選取的3次采訪對象中至少有1名男生的概率附：K2，nabcd.P(K2k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635解：(1)由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得K2的觀測值為k2.051<3.841.故不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“集齊五福與性別有關(guān)”(2)這80位大學(xué)生集齊五福的頻率為.據(jù)此估算該校10 000名在讀大學(xué)生中集齊五福的人數(shù)為10 000×8 125.(3)選取的2名男生和3名女生分別記為A1，A2，B1，B2，B3，隨機(jī)選取3次采訪的所有結(jié)果為A1，A2，B1，A1，A2，B2，A1，A2，B3，A1，B1，B2，A1，B1，B3，A1，B2，B3，A2，B1，B2，A2，B1，B3，A2，B2，B3，B1，B2，B3，共10種，而至少有1名男生的結(jié)果有9種，故所求概率為.總結(jié)升華概率與統(tǒng)計(jì)問題的求解關(guān)鍵是辨別它的模型，只要找到模型，問題便迎刃而解而概率模型的提取往往需要經(jīng)過觀察、分析、歸納、判斷等復(fù)雜的辨析思維過程，常常因題設(shè)條件理解不準(zhǔn)，某個(gè)概念認(rèn)識不清而誤入歧途另外，還需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、對立事件等事件間的關(guān)系，注意放回和不放回試驗(yàn)的區(qū)別，合理劃分復(fù)合事件 A組“633”考點(diǎn)落實(shí)練一、選擇題1(2018·全國卷)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為()A0.3B0.4C0.6 D0.7解析：選B由題意可知不用現(xiàn)金支付的概率為10.450.150.4.故選B.2(2019屆高三·湖北五校聯(lián)考)已知定義在區(qū)間3,3上的函數(shù)f(x)2xm滿足f(2)6，在3,3上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則使得f(x)的值不小于4的概率為()A. B.C. D.解析：選Bf(2)6，22m6，解得m2.由f(x)4，得2x24，即x1，而x3,3，故根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，得f(x)的值不小于4的概率P.故選B.3(2019屆高三·武漢部分學(xué)校調(diào)研)標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的卡片各1張，從這5張卡片中隨機(jī)抽取1張，不放回地再隨機(jī)抽取1張，則抽取的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)的概率為()A. B.C. D.解析：選A5張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5，從這5張卡片中隨機(jī)抽取2張，基本事件的總數(shù)n5×420，抽得的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)的情況有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)共10種故抽取的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)的概率P，故選A.4(2018·洛陽第一次統(tǒng)考)在區(qū)間(0,2)內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則滿足的點(diǎn)(x，y)構(gòu)成區(qū)域的面積大于1的概率是()A. B.C. D.解析：選C作出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則陰影部分的面積S×a×2aa2>1，1<a<2，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得所求概率為，故選C.5某同學(xué)先后投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為x，第二次向上的點(diǎn)數(shù)記為y，在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2xy1上的概率為()A. B.C. D.解析：選A先后投擲兩次骰子的結(jié)果共有6×636種以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2xy1上的結(jié)果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3種，故所求概率為.6(2019屆高三·重慶六校聯(lián)考)九章算術(shù)中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓徑幾何”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為8步和15步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A. B.C1 D1解析：選D如圖，直角三角形的斜邊長為17，設(shè)其內(nèi)切圓的半徑為r，則8r15r17，解得r3，內(nèi)切圓的面積為r29，豆子落在內(nèi)切圓外的概率P11.二、填空題7(2018·石家莊質(zhì)量檢測)口袋中有形狀和大小完全相同的五個(gè)球，編號分別為1,2,3,4,5，若從中一次隨機(jī)摸出兩個(gè)球，則摸出的兩個(gè)球的編號之和大于6的概率為_解析：一次摸出兩個(gè)球，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個(gè)可能結(jié)果，其中兩個(gè)球編號之和大于6的有(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共4個(gè)可能結(jié)果，所以所求概率為.答案：8已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x|3，|y|2，則任取其中的一對實(shí)數(shù)x，y，使得x2y24的概率為_解析：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，滿足|x|3，|y|2的點(diǎn)在矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)，使得x2y24的點(diǎn)在圖中圓O內(nèi)(包括邊界)由題意知，S矩形ABCD4×624，S圓O4，故任取其中的一對實(shí)數(shù)x，y，使得x2y24的概率P.答案：9從正五邊形ABCDE的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇3個(gè)頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形的概率是_解析：從正五邊形ABCDE的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇3個(gè)頂點(diǎn)，基本事件總數(shù)為10，即ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，以它們作為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形的種數(shù)為5，即ABD，ACD，ACE，BCE，BDE，所以以它們作為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形的概率P.答案：三、解答題10某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，得到數(shù)據(jù)分組區(qū)間為40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100的人數(shù)分別為2,3,11,14,11,9.(1)估計(jì)該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80分的概率；(2)從評分在40,60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求這2人評分都在40,50)的概率解：(1)50名受訪職工評分不低于80分的頻率為0.4.該企業(yè)職工對該部門評分不低于80分的概率估計(jì)值為0.4.(2)受訪職工評分在50,60)的有3人，分別記為A1，A2，A3.受訪職工評分在40,50)的有2人，分別記為B1，B2.從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，分別是A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2又所抽取2人的評分都在40,50)的結(jié)果有1種，即B1，B2，故所求概率P.11(2018·重慶質(zhì)量調(diào)研)30名學(xué)生參加某大學(xué)的自主招生面試，面試分?jǐn)?shù)與學(xué)生序號之間的統(tǒng)計(jì)圖如下：(1)下表是根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)得到的頻率分布表求出a，b的值，并估計(jì)這些學(xué)生面試分?jǐn)?shù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).面試分?jǐn)?shù)0,100)100,200)200,300)300,400人數(shù)a1041頻率b(2)該大學(xué)的某部門從15號學(xué)生中隨機(jī)選擇兩人進(jìn)行訪談，求選擇的兩人的面試分?jǐn)?shù)均在100分以下的概率解：(1)面試分?jǐn)?shù)在0,100)內(nèi)的學(xué)生共有30104115名，故a15，b，估計(jì)這些學(xué)生面試分?jǐn)?shù)的平均值為50×150×250×350×120分(2)從15號學(xué)生中任選兩人的選擇方法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10種，觀察題圖易知1號，4號，5號學(xué)生的面試分?jǐn)?shù)在100分以下，故選擇的兩人的面試分?jǐn)?shù)均在100分以下的選擇方法有(1,4)，(1,5)，(4,5)，共3種，故選擇的兩人的面試分?jǐn)?shù)均在100分以下的概率為.12已知二次函數(shù)f(x)ax24bx2.(1)任取a1,2,3，b1,1,2,3,4，記“f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)”為事件A，求A發(fā)生的概率(2)任取(a，b)(a，b)|a4b60，a>0，b>0，記“關(guān)于x的方程f(x)0有一個(gè)大于1的根和一個(gè)小于1的根”為事件B，求B發(fā)生的概率解：(1)因?yàn)閍有3種取法，b有5種取法，則對應(yīng)的函數(shù)有3×515個(gè)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，若事件A發(fā)生，則a>0且1.數(shù)對(a，b)的取值為(1，1)，(2，1)，(2,1)，(3，1)，(3,1)共5種所以P(A).(2)集合(a，b)|a4b60，a>0，b>0對應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)镽tAOB，如圖，其中點(diǎn)A(6,0)，B，則AOB的面積為××6.若事件B發(fā)生，則f(1)<0，即a4b2<0.所以事件B對應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)锽CD.由得交點(diǎn)坐標(biāo)為D(2,1)又C，則BCD的面積為××21.所以P(B).B組大題專攻補(bǔ)短練1(2018·洛陽第一次統(tǒng)考)某校高三(1)班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到了不同程度的污損，如圖(1)求分?jǐn)?shù)在50,60)之間的頻率及全班人數(shù)；(2)求分?jǐn)?shù)在80,90)之間的頻數(shù)，并計(jì)算頻率分布直方圖中80,90)對應(yīng)的矩形的高；(3)若要從分?jǐn)?shù)在80,100之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生的失分情況，求在抽取的試卷中，至少有一份分?jǐn)?shù)在90,100之間的概率解：(1)分?jǐn)?shù)在50,60)之間的頻率為0.008×100.08，由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在50,60)之間的頻數(shù)為2，所以全班人數(shù)為25.(2)分?jǐn)?shù)在80,90)之間的頻數(shù)為25223，所以頻率分布直方圖中80,90)對應(yīng)的矩形的高為÷100.012.(3)將80,90)之間的3個(gè)分?jǐn)?shù)分別編號為a1，a2，a3，90,100之間的2個(gè)分?jǐn)?shù)分別編號為b1，b2，在80,100之間的試卷中任取兩份的基本事件為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10個(gè)，其中，至少有一份試卷的分?jǐn)?shù)在90,100之間的基本事件有7個(gè)，故至少有一份試卷的分?jǐn)?shù)在90,100之間的概率是P0.7.2(2019屆高三·安徽知名示范高中聯(lián)考)中國詩詞大會(huì)是央視推出的一檔以“賞中華詩詞，尋文化基因，品生活之美”為宗旨的大型文化類競賽節(jié)目，邀請全國各個(gè)年齡段、各個(gè)領(lǐng)域的詩詞愛好者共同參與詩詞知識比拼“百人團(tuán)”由一百多位來自全國各地的選手組成，成員上至古稀老人，下至垂髫小兒，人數(shù)按照年齡分組統(tǒng)計(jì)如下表：年齡/歲7,20)20,40)40,80頻數(shù)185436(1)用分層抽樣的方法從“百人團(tuán)”中抽取6人參加挑戰(zhàn)，求從這三個(gè)不同年齡組中分別抽取的挑戰(zhàn)者的人數(shù)；(2)從(1)中抽出的6人中任選2人參加一對一的對抗比賽，求這2人來自同一年齡組的概率解：(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體個(gè)數(shù)的比是，所以從年齡在7,20)中抽取的人數(shù)為×181，從年齡在20,40)中抽取的人數(shù)為×543，從年齡在40,80中抽取的人數(shù)為×362，所以從年齡在7,20)，20,40)，40,80中抽取的挑戰(zhàn)者的人數(shù)分別為1,3,2.(2)設(shè)從7,20)中抽取的1人為a，從20,40)中抽取的3人分別為b，c，d，從40,80中抽取的2人為e，f.從這6人中任取2人構(gòu)成的所有基本事件為(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15個(gè)每人被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的，記事件A為“2人來自同一年齡組”，包含(b，c)，(b，d)，(c，d)，(e，f)，共4個(gè)基本事件，則P(A)，故2人來自同一年齡組的概率為.3“mobike”“ofo”等共享單車為很多市民解決了最后一公里的出行難題然而，這種模式也遇到了一些讓人尷尬的問題，比如亂停亂放，或?qū)⒐蚕韱诬囌紴椤八接小钡葹榇?，某機(jī)構(gòu)就是否支持發(fā)展共享單車隨機(jī)調(diào)查了50人，他們年齡的分布及支持發(fā)展共享單車的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：年齡15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)40，45受訪人數(shù)56159105支持發(fā)展共享單車人數(shù)4512973(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下，認(rèn)為年齡與是否支持發(fā)展共享單車有關(guān)系；年齡低于35歲年齡不低于35歲總計(jì)支持不支持總計(jì)(2)若從年齡在15,20)的被調(diào)查人中隨機(jī)選取2人進(jìn)行調(diào)查，求恰好這2人都支持發(fā)展共享單車的概率參考數(shù)據(jù)：P(K2k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879參考公式：K2，其中nabcd.解：(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：年齡低于35歲年齡不低于35歲總計(jì)支持301040不支持5510總計(jì)351550根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2的觀測值k2.3812.706.不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下，認(rèn)為年齡與是否支持發(fā)展共享單車有關(guān)系(2)“從年齡在15,20)的被調(diào)查人中隨機(jī)選取2人進(jìn)行調(diào)查，恰好這2人都支持發(fā)展共享單車”記為事件A.年齡在15,20)的5名受訪人中，有4人支持，記為A1，A2，A3，A4,1人不支持，記為B.則從這5人中隨機(jī)選取2人的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，B，A2，A3，A2，A4，A2，B，A3，A4，A3，B，A4，B，共10個(gè)其中，恰好選取的2人都支持發(fā)展共享單車的基本事件包含A1，A2，A1，A3，A1，A4，A2，A3，A2，A4，A3，A4，共6個(gè)P(A).從年齡在15,20)的被調(diào)查人中隨機(jī)選取2人進(jìn)行調(diào)查，恰好這2人都支持發(fā)展共享單車的概率是.4(2018·太原模擬)某校倡導(dǎo)為特困學(xué)生募捐，要求在自動(dòng)購水機(jī)處每購買一瓶礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了連續(xù)5天的售出礦泉水箱數(shù)和所得捐款額情況，列表如下：售出水量x/箱76656所得捐款額y/元165142148125150學(xué)校計(jì)劃將捐款以獎(jiǎng)學(xué)金的形式獎(jiǎng)勵(lì)給品學(xué)兼優(yōu)的特困生規(guī)定：特困生綜合考核前20名，獲一等獎(jiǎng)學(xué)金500元；綜合考核在2150名，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金300元；綜合考核50名以后的不獲得獎(jiǎng)學(xué)金(1)若x與y成線性相關(guān)，則某天售出9箱水時(shí)，預(yù)計(jì)所得捐款額為多少元？(2)假設(shè)甲、乙、丙三名學(xué)生均獲獎(jiǎng)，且各自獲一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)的可能性相同，求三人獲得獎(jiǎng)學(xué)金之和不超過1 000元的概率附：回歸方程x，其中，.解：(1)6，146，20，14620×626，20x26.當(dāng)x9時(shí)，20×926206，即某天售出9箱水的預(yù)計(jì)所得捐款額是206元(2)設(shè)事件A1：甲獲一等獎(jiǎng)；事件A2：甲獲二等獎(jiǎng)；事件B1：乙獲一等獎(jiǎng)；事件B2：乙獲二等獎(jiǎng)；事件C1：丙獲一等獎(jiǎng)；事件C2：丙獲二等獎(jiǎng)則總事件為(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，共8種情況甲、乙、丙三人獲得獎(jiǎng)金之和不超過1 000元的事件有(A2，B2，C2)1種情況，則三人獲得獎(jiǎng)學(xué)金之和不超過1 000元的概率為.