高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布 第二節(jié) 排列與組合課件 理

理數(shù)課標(biāo)版第二節(jié)排列與組合1.排列與排列數(shù)排列與排列數(shù)(1)排列:從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.(2)排列數(shù):從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),記作.Amn教材研讀教材研讀2.組合與組合數(shù)組合與組合數(shù)(1)組合:從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素合成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.(2)組合數(shù):從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),記作.Cmn3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)判斷下面結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.()(2)從一些不同元素中取出某些元素合成組合時(shí),講究元素的先后順序.()(3)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.()1.有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組.則不同的選法共有()A.60種B.70種C.75種D.150種答案答案C從6名男醫(yī)生中選出2名有種選法,從5名女醫(yī)生中選出1名有種選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的選法共有=75種.故選C.26C15C26C15C2.將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里,且放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào),則不同的放球方法有()A.10種B.20種C.36種D.52種答案答案A分情況討論:1號(hào)盒子里放1個(gè)球,其余3個(gè)放入2號(hào)盒子,有=4種方法;1號(hào)盒子里放2個(gè)球,其余2個(gè)放入2號(hào)盒子,有=6種方法.則不同的放球方法有10種,故選A.14C24C3.(2016四川,4,5分)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.24B.48C.60D.72答案答案 D奇數(shù)的個(gè)數(shù)為=72.13C44A4.有5名男生和3名女生,從中選出5人分別擔(dān)任語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)學(xué)科的課代表,若某女生必須擔(dān)任語文課代表,則不同的選法共有種(用數(shù)字作答).答案答案840解析解析由題意知,從剩余7人中選出4人擔(dān)任其余4個(gè)學(xué)科的課代表,共有=840種.47A5.已知-=,則m=.答案答案251Cm61Cm7710Cm解析解析由已知得m的取值范圍為m|0m5,mZ,-=,整理可得m2-23m+42=0,解得m=21(舍去)或m=2.!(5)!5!mm!(6)!6!mm7 (7)! !10 7!m m考點(diǎn)一排列問題考點(diǎn)一排列問題典例典例13名女生和5名男生排成一排.(1)如果女生全排在一起,有多少種不同的排法?(2)如果女生都不相鄰,有多少種不同的排法?(3)如果女生不站兩端,有多少種不同的排法?(4)其中甲必須排在乙前面(可不鄰),有多少種不同的排法?解析解析(1)(捆綁法)由于女生排在一起,因此可把她們看成一個(gè)整體,這樣同5名男生合在一起有6個(gè)元素,排成一排有種排法,而每一種排法中,3名女生間又有種排法,因此共有=4320種不同的排法.66A33A66A33A考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破(2)(插空法)先排5名男生,有種排法,這5名男生之間和兩端有6個(gè)位置,從中選取3個(gè)位置排女生,有種排法,因此共有=14400種不同的排法.55A36A55A36A(3)解法一(位置分析法):兩端不排女生,只能從5名男生中選2人排列,有種排法,剩余的位置沒有特殊要求,有種排法,因此共有=14400種不同的排法.解法二(元素分析法):女生不站兩端,從中間6個(gè)位置選3個(gè)安排女生,有種排法,其余人的位置無限制,有種排法,因此共有=14400種不同的排法.(4)8名學(xué)生全排列共種,其中甲在乙前面的情形與乙在甲前面的情形各占,符合要求的排法有=20160種.25A66A25A66A36A55A36A55A88A121288A方法技巧方法技巧1.求解有限制條件排列問題的主要方法直接法 分類法選定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),將要完成的事件分成幾個(gè)類型,分別計(jì)算每個(gè)類型中的排列數(shù),再由分類加法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)分步法選定一個(gè)適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn),將事件分成幾個(gè)步驟來完成,分別計(jì)算出各步驟的排列數(shù),再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù)捆綁法相鄰問題捆綁處理,即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素進(jìn)行排列,同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法不相鄰問題插空處理,即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列后的空中除法對(duì)于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以已定元素的全排列間接法對(duì)于分類過多的問題,利用正難則反,等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法2.解決有限制條件排列問題的策略(1)根據(jù)特殊元素(位置)優(yōu)先安排進(jìn)行分步,即先安排特殊元素或特殊位置.(2)根據(jù)特殊元素當(dāng)選數(shù)量或特殊位置由誰來占進(jìn)行分類.1-1用0,1,2,3,4,5這6個(gè)數(shù)字.(1)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?(2)能組成多少個(gè)奇數(shù)數(shù)字互不相鄰的六位數(shù)(無重復(fù)數(shù)字)?解析解析(1)符合要求的四位偶數(shù)可分為三類:第一類:0在個(gè)位時(shí),有個(gè);第二類:2在個(gè)位時(shí),千位從1,3,4,5中選定1個(gè),有種,十位和百位從余下的數(shù)字中選,有種,于是有個(gè);第三類:4在個(gè)位時(shí),與第二類同理,也有個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理得,共有+2=156個(gè).35A14A24A14A24A14A24A35A14A24A(2)先排0,2,4,再讓1,3,5插空,總的排法共 =144種,其中0在排頭,將1,3,5插在后3個(gè)空的排法共=12(種),此時(shí)構(gòu)不成六位數(shù),故符合要求的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為144-12=132.33A34A22A33A考點(diǎn)二組合問題考點(diǎn)二組合問題典例典例2某課外活動(dòng)小組共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名隊(duì)長(zhǎng).現(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng),依下列條件各有多少種選法?(1)只有一名女生當(dāng)選;(2)兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選;(3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選;(4)至多有兩名女生當(dāng)選.解析解析(1)只有一名女生當(dāng)選等價(jià)于有一名女生和四名男生當(dāng)選.故共有=350種.(2)兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選,共有=165種.(3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選含有兩類:只有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選,有兩名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選.故共有+=825種.(或采用排除法:-=825(種).15C48C22C311C12C411C22C311C513C511C(4)至多有兩名女生當(dāng)選含有三類:有兩名女生當(dāng)選,只有一名女生當(dāng)選,沒有女生當(dāng)選.故選法共有+=966種.25C38C15C48C58C方法技巧方法技巧組合問題的常見類型及處理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含有”,則先將這些元素取出,再由其他元素補(bǔ)足;“不含有”,則先將這些元素剔除,再?gòu)氖Ｏ碌脑刂羞x取.(2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型:解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義,謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解,用直接法分類復(fù)雜時(shí),?？紤]用間接法處理.2-1 (2016江西南昌一模)甲、乙兩人從4門課程中各選修兩門,則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有()A.30種B.36種C.60種D.72種答案答案A解法一:甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法可以分為兩類:甲、乙所選的課程中2門均不相同,甲先從4門中任選2門,乙選剩下的2門,共有=6種不同的選法;甲、乙所選的課程中有且只有1門相同,分兩步:第一步:從4門中任選一門作為相同的課程,有=4種選法;第二步:甲從剩余的3門中任選1門,乙從最后剩余的2門中任選1門,有=6種選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有=24種不同的選法.綜上,由分類加法計(jì)數(shù)原理得,甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有6+24=30種.故選A.解法二:甲、乙兩人選擇課程的所有可能選法有=36(種),甲、乙24C22C14C13C12C14C13C12C24C24C兩人選擇2門相同課程的所有選法有1=6(種),因此甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有36-6=30種,故選A.24C2-2如果小明在某一周的第一天和第七天分別吃了2個(gè)水果,且從這周的第二天開始,每天所吃水果的個(gè)數(shù)與前一天相比,僅存在三種可能:“多一個(gè)”或“持平”或“少一個(gè)”,那么,小明在這一周中每天所吃水果個(gè)數(shù)的不同選擇方案共有()A.50種B.51種C.140種D.141種答案答案 B因?yàn)榈?天和第7天吃的水果數(shù)相同,所以這周中間五天中“多一個(gè)”和“少一個(gè)”的天數(shù)必須相同,所以這五天中吃的水果個(gè)數(shù)與前一天相比“多一個(gè)”(或“少一個(gè)”)的天數(shù)可能是0,1,2天,共三種情況,所以共有1+=51(種).15C14C25C23C考點(diǎn)三排列與組合的綜合應(yīng)用考點(diǎn)三排列與組合的綜合應(yīng)用典例典例3(1)(2016河南八市重點(diǎn)高中質(zhì)檢)將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)籃球分給三位小朋友,每位小朋友至少分到一個(gè)籃球,且標(biāo)號(hào)1,2的兩個(gè)籃球不能分給同一個(gè)小朋友,則不同的分法種數(shù)為()A.15B.20C.30D.42(2)從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù),組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.300B.216C.180D.162答案答案(1)C(2)C解析解析(1)四個(gè)籃球中兩個(gè)分到一組有種分法,三個(gè)籃球進(jìn)行全排列有種分法,標(biāo)號(hào)1,2的兩個(gè)籃球分給同一個(gè)小朋友,有種分法,不同的分法種數(shù)為-=30.故選C.24C33A33A24C33A33A(2)分兩類:第1類,不取0,即從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù),組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,共有=72個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù);第2類,取0,此時(shí)2和4只能取一個(gè),再取兩個(gè)奇數(shù),組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,共有(-)=108個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知,滿足題意的四位數(shù)共有72+108=180(個(gè)).23C22C44A12C23C44A33A方法技巧方法技巧(1)解排列、組合綜合題目,一般是將符合要求的元素取出(組合)或進(jìn)行分組,再對(duì)取出的元素或分好的組進(jìn)行排列.(2)解決不同元素的分配問題,往往是先分組再分配.在分組時(shí),通常有三種類型:不均勻分組;均勻分組;部分均勻分組.注意無序均勻(或部分均勻)分組要除以均勻組數(shù)的階乘數(shù),有序分組要在無序分組的基礎(chǔ)上乘分組數(shù)的階乘數(shù).3-1 (2016福建漳州八校第二次聯(lián)考)若無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)滿足條件:個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù),所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù),則這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是()A.540B.480C.360D.200答案答案 D由個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)知個(gè)位數(shù)字、十位數(shù)字1奇1偶,有=50種排法;所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù),則百位數(shù)字是奇數(shù),有=4種滿足題意的選法,故滿足題意的三位數(shù)共有=200(個(gè)).15C15C22A14C14C15C15C22A3-2將5位志愿者分成3組,其中兩組各2人,另一組1人,分赴某運(yùn)動(dòng)會(huì)的三個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù),則不同的分配方案有種(用數(shù)字作答).答案答案90解析解析先將5位志愿者分成3組共有種方法,再分到三個(gè)不同場(chǎng)館共有種方法,所以不同的分配方案有=90種.225322C CA33A225322C CA33A