空氣動力學(xué)：2 習(xí)題答案

2-1考慮形狀任意的物體。如果沿著物體表面的壓力分布為常值，是證明壓力在物面上的合力為零。解：因沿著形狀任意的物體表面的壓力分布為常值，故流場中壓力分布均勻，即由高斯公式得：壓力在物體表面的合力為2-2 考慮如下速度場，其x，y向的速度分量分別為，其中c為常數(shù)。試求流線方程。解：流線的控制方程為，積分得：2-3考慮如下速度場，其x，y向的速度分量分別為，其中c為常數(shù)。試求流線方程。解：流線的控制方程為，積分得：2-4 考慮如下流場，其x，y向的速度分量分別為，其中c為常數(shù)。試求流線方程。解：流線的控制方程為，積分得：2-5 習(xí)題2-2中的流場被稱為點(diǎn)源。對于點(diǎn)源，試計(jì)算：（a） 單位體積的微元其體積隨時間的變化率；（b） 流場的旋度。解：速度柱坐標(biāo)系下表達(dá)式為：利用極坐標(biāo)系下散度公式：或利用柱坐標(biāo)系下旋度公式：2-6 習(xí)題2-3中的流場被稱為點(diǎn)渦，試對點(diǎn)渦計(jì)算：（a） 單位體積的微元其體積隨時間的變化率；（b） 流場的旋度。提示：2-5、2-6兩題在極坐標(biāo)下求解更方便。解：速度極坐標(biāo)系下表達(dá)式為：利用極坐標(biāo)系下散度公式：或利用柱坐標(biāo)系下旋度公式：2-7已知一速度場為，試問這一運(yùn)動是否是剛體運(yùn)動？解：，無線變形。，無角變形。故為剛體運(yùn)動。2-8 現(xiàn)有二維定常流場分布。那么（a） 該流場是否可壓縮？（b） 試求通過（0，0）點(diǎn)和（L，L）之間的體積流量。解：，不可壓縮2-9闡述流線和流管的概念。并解釋流線和跡線的區(qū)別。解：流線是某瞬時在流場中的一條空間幾何曲線，該曲線上任意一點(diǎn)的切線方向和該點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)速度方向平行。由通過空間某封閉曲線（非流線）的所有流線圍成的管叫做流管。流線是歐拉觀點(diǎn)下描述流動的曲線，是由同一時刻不同質(zhì)點(diǎn)組成的；跡線是拉格朗日觀點(diǎn)下描述流動的曲線，是給定質(zhì)點(diǎn)在空間走過的軌跡。2-10 現(xiàn)有二維定常不可壓流動的速度場試求其勢函數(shù)并畫出流譜。解：，積分得流線控制方程為，積分得2-11 現(xiàn)有平面流場(k為正的常數(shù))試分析求解流場的以下運(yùn)動特性：流線方程、線變形率、角變形率、旋轉(zhuǎn)角速度，畫出流線圖和相應(yīng)的流體運(yùn)動分解示意圖。解：流線控制方程為，積分得，無線變形。，有角變形。，有旋轉(zhuǎn)2-12已知在拉格朗日觀點(diǎn)下和歐拉觀點(diǎn)下分別有速度函數(shù)和試說明各自的物理意義和他們的差異。解：拉格朗日觀點(diǎn)：描述t時刻給定質(zhì)點(diǎn)（標(biāo)示符一般選擇為某一初始時刻質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)(a,b)）的運(yùn)動速度，質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)(a,b)隨質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動而發(fā)生變化。歐拉觀點(diǎn)：描述t時刻通過給定空間點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度，空間點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）與時間獨(dú)立。2-13試推導(dǎo)一維定常無粘的動量方程（不計(jì)質(zhì)量力）。解：一維定常流動無粘，對任意一條流線的Bernuli方程成立故2-14 直角坐標(biāo)系下流暢的速度分布為：，試證過電（1，7）的流線方程為證明：流線的控制方程為（1）將題中的表達(dá)式帶入（1）中，有（2）對（2）進(jìn)行整理，可得（3）對（3）進(jìn)行積分，可得（4）將點(diǎn)（1,7）的坐標(biāo)帶入（4）式可得。從而過點(diǎn)（1,7）的流線方程為（5）2-15 設(shè)流場中速度的大小及流線的表達(dá)式為，求速度分量的表達(dá)式。解：對流線表達(dá)式兩端取全微分，有（1）整理（1）式可得（2）（3）流線的控制方程為（4）結(jié)合（3）式與（4）式，可得（5）對速度大小表達(dá)式兩邊取平方，可得（6）聯(lián)立求解方程（5）和（6），可得兩組速度分量的表達(dá)式（7）2-16 求2-15中x方向速度分量u的最大變化率及方向。解：速度分量的方向?qū)?shù)為（1）則其最大的變化率為，最大變化率的方向?yàn)椤?-17 試證在柱坐標(biāo)下，速度散度的表達(dá)式為證明一（利用數(shù)學(xué)上散度的定義）：在柱坐標(biāo)系下選取一個微元幾何體，其中心坐標(biāo)為，中心點(diǎn)的速度為，三邊的長度為，利用泰勒展開計(jì)算速度矢量通過控制體表面的通量為（1）利用數(shù)學(xué)上散度的定義，則有（2）證明二（利用流體力學(xué)中拉格朗日觀點(diǎn)框架下散度的物理含義）：流體力學(xué)中拉格朗日觀點(diǎn)框架下散度的物理含義：流體微團(tuán)的相對體積膨脹率，即單位體積在單位時間內(nèi)的增長量。在柱坐標(biāo)系下選取一個流體微團(tuán)，在時刻，其中其一點(diǎn)的坐標(biāo)為，速度為，三邊的長度為，經(jīng)過時刻后該流體微團(tuán)的三個邊的長度變?yōu)椋ɡ锰├照归_）（1）則流體微團(tuán)單位體積在單位時間內(nèi)的增長量為（2）證明三（根據(jù)數(shù)學(xué)上的坐標(biāo)變換）：速度之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為（1）坐標(biāo)之間的變換關(guān)系式為（2）將（1）（2）兩式分別代入速度偏導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式(3)(4)將（3）（4）兩式帶入直角坐標(biāo)系下的速度散度表達(dá)式中，有（5）2-18 在不可壓流動中，下列哪些流動滿足質(zhì)量守恒定律？（a） （b）（c）（d）解：對于不可壓縮流動，質(zhì)量守恒方程簡化為（a），該流動滿足質(zhì)量守恒；（b），該流動不滿足質(zhì)量守恒；（c），該流動不滿足質(zhì)量守恒；（d）對流線方程兩邊取微分，可得（1）整理（1）可得（2）已知條件可轉(zhuǎn)換為（3）聯(lián)立求解（2）（3），可得（4）則速度場的梯度為（5）該流動滿足質(zhì)量守恒。2-19 流體運(yùn)動具有速度問該流場是否有旋？若無旋，求出其速度勢函數(shù)。解：（1）所以流動是無旋的，假設(shè)速度位函數(shù)為，則有（2）可得，速度位函數(shù)為（3）2-20 不可壓縮流體做定常運(yùn)動，其速度場為其中a為常數(shù)。試求：（a） 線變形率、角變形率；（b） 流場是否有旋；（c） 是否有勢函數(shù)？有的話求出。解：（1） 線變形率為（1）角變形率為（2）（2） 角速度為（3）所以流場是無旋的。（3） 因?yàn)榱鲌鍪菬o旋的，所以存在速度位函數(shù)，則有（4）可得，速度位函數(shù)為（5）2-21 二維流場的勢函數(shù)為,求曲線上的點(diǎn)（2，-1）的切向速度分量。解：將曲線進(jìn)行變換，可得（1）將（1）式的兩段對求全導(dǎo)數(shù)，可得（2）則曲線在點(diǎn)（2,-1）處的切向量為（4）流場在曲線上該點(diǎn)處的速度分量為（5）2-22 設(shè)下面的幾組函數(shù)代表流動的三個分量：（a） ;（b） ;（c） ;（d） ;（e） 。其中k是常數(shù)，問哪一組速度分量能代表不可壓流動？解：（1）（2）（3）（4）（5）可見，（1）（2）（4）為不可壓縮流動。2-23 某一流場可描述為。問應(yīng)具有什么樣的形式，流場才能滿足連續(xù)條件？為什么？解：對流線方程兩端取全微分，可得 利用可轉(zhuǎn)換為則速度場的梯度為 可為任意形式。2-24 某二維流動可描述為，使用兩種方法求解下圖的面積上中面積分。對流線表達(dá)式兩端取全微分，有（1）整理（1）式可得（2）（3）流線的控制方程為（4）結(jié)合（3）式與（4）式，可得（5）對速度大小表達(dá)式兩邊取平方，可得（6）聯(lián)立求解方程（5）和（6），可得兩組速度分量的表達(dá)式（7）其旋度為，暗影面積為2，故面積分為環(huán)量積分： 2-25一速度場可用描述，（a） 求其加速度的歐拉描述（b） 求流線。解：流線的控制方程為積分得：，2-26考慮一個簡單的煙囪模型。煙囪外的空氣密度是常數(shù)，煙囪內(nèi)的空氣密度也是常數(shù)，且。試用、重力加速度g和煙囪高度h表達(dá)出口速度。解：2-27有一水槍噴管如下。入口直徑D=10cm，噴口直徑d=3cm。水以1.5m3/min的流量射入空氣。設(shè)外界空氣為標(biāo)準(zhǔn)大氣。試求連接軟管和噴頭的接縫處需要施加多大的固緊力才能滿足要求。解：流量入口速度出口速度入口壓強(qiáng)X向動量變化：這個力為水沖擊噴頭的力，方向向右。噴頭受外面大氣壓力為，方向向左故接縫處需2-28一架小型飛機(jī)在海平面以180km/h的速度飛行，求駐點(diǎn)處的表壓以及相對流速為60m/s處的表壓。（表壓是指大于大氣壓的部分）解：2-29 一個U形管，其內(nèi)徑是0.5m。氣體以100m/s的速度從管的一端進(jìn)入，從管的另一端流出，流出的速度和流入速度大小相等，但是方向相反。入口和出口的壓強(qiáng)都等于外界大氣壓。試計(jì)算氣流對管的作用力。取空氣密度為1.23Kg/m3。解：X向動量變化：2-30有一滅火機(jī)的管道如下圖，出水口直徑7.5cm，入水口直徑30cm，流量為3640L/min，進(jìn)水口水壓2×105N/m2。出水口與水平面的夾角為30°。求滅火機(jī)管道受的水的反作用力。水不可壓，由質(zhì)量守恒知體積流量守恒。入口速度：出口速度： 動量定理：水平方向動量變化=水平方向外力：同理：