高考數(shù)學一輪復習 第五章 平面向量與解三角形 5.1 平面向量的概念及線性運算、平面向量基本定理及坐標表示課件

第五章 平面向量與解三角形5.1 平面向量的概念及線性運算、平面向量基本定理及坐標表示高考數(shù)學高考數(shù)學 (浙江專用)考點一平面向量的線性運算及幾何意義考點一平面向量的線性運算及幾何意義1.(2017課標全國文,4,5分)設(shè)非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則()A.abB.|a|=|b|C.abD.|a|b|五年高考答案答案 A本題考查向量的有關(guān)概念.由|a+b|=|a-b|的幾何意義知,以向量a、b為鄰邊的平行四邊形為矩形,所以ab.故選A.一題多解一題多解將|a+b|=|a-b|兩邊分別平方得|a|2+2ab+|b|2=|a|2-2ab+|b|2,即ab=0,故ab.故選A.2.(2017北京理,6,5分)設(shè)m,n為非零向量,則“存在負數(shù),使得m=n”是“mn0”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案答案 A由存在負數(shù),使得m=n,可得m、n共線且反向,夾角為180,則mn=-|m|n|0,故充分性成立.由mn0,可得m,n的夾角為鈍角或180,故必要性不成立.故選A.3.(2015課標,7,5分)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點, =3 ,則()A.=-+B.=-C.=+D.=-BCCDAD13AB43ACAD13AB43ACAD43AB13ACAD43AB13AC答案答案A=+=+=+=+(-)=-+.故選A.ADABBDABBCCDAB43BCAB43ACAB13AB43AC4.(2015陜西,7,5分)對任意向量a,b,下列關(guān)系式中的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2不恒成立答案答案B|ab|=|a|b|cos|a|b|,故A正確;由向量的運算法則知C,D也正確;當b=-a0時,|a-b|a|-|b|,B錯誤.故選B.評析評析本題考查向量的運算法則等知識,考查邏輯推理能力.5.(2015四川,7,5分)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,|=6,|=4.若點M,N滿足=3 , =2 ,則 =()A.20B.15C.9D.6ABADBMMCDNNCAMNM答案答案C依題意有=+=+,=+=-=-,所以=-=9.故選C.AMABBMAB34BCNMNCCM13DC14BC13AB14BCAMNM34ABBC1134ABBC132AB3162BC6.(2014福建,8,5分)在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案答案B設(shè)a=k1e1+k2e2,A項,(3,2)=(k2,2k2),無解.B項,(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),解之得故B中的e1,e2可把a表示出來.同理,C,D項同A項,無解.223,22,kk121253,222,kkkk122,1.kk7.(2013遼寧,3,5分)已知點A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量為()A.B.C.D.AB34,5543,553 4,5 54 3,5 5答案答案A=(3,-4),|=5.與同方向的單位向量為=,故選A.ABABAB|ABAB34,558.(2017天津文,14,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2 ,= -(R),且=-4,則的值為.BDDCAEACABADAE答案答案311解析解析本題主要考查平面向量的線性運算以及數(shù)量積運算.由=2得=+,所以=(-)=-+-,又=32cos60=3,=9,=4,所以=-3+-2=-5=-4,解得=.BDDCAD13AB23ACADAE1233ABACACAB13ABAC132AB232AC23ABACABAC2AB2ACADAE83113311思路分析思路分析根據(jù)=2得=+,利用=-4以及向量的數(shù)量積建立關(guān)于的方程,從而求得的值.BDDCAD13AB23ACADAE一題多解一題多解以A為原點,AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系,如圖,因為AB=3,AC=2,A=60,所以B(3,0),C(1,),又=2,所以D,所以=,而=-=(1,)-(3,0)=(-3,),因此=(-3)+=-5=-4,解得=.3BDDC5 2 3,33AD5 2 3,33AEACAB33ADAE532 3331133119.(2013四川,12,5分)在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,+= ,則=.ABADAO答案答案2解析解析由平行四邊形法則,得+= =2 ,故=2.ABADACAO以下為教師用書專用10.(2014課標,15,5分)已知A,B,C為圓O上的三點,若=(+),則與的夾角為.AO12ABACABAC答案答案90解析解析由=(+)可知O為BC的中點,即BC為圓O的直徑,又因為直徑所對的圓周角為直角,所以BAC=90,所以與 的夾角為90.AO12ABACABAC11.(2013江蘇,10,5分)設(shè)D,E分別是ABC的邊AB,BC上的點,AD=AB,BE=BC.若=1+2 (1,2為實數(shù)),則1+2的值為.1223DEAB答案答案12解析解析=+=+=+(-)=-+,=1+2,1=-,2=,故1+2=.DEDBBE12AB23BC12AB23ACAB16AB23ACDEABAC162312考點二平面向量的基本定理及坐標表示考點二平面向量的基本定理及坐標表示1.(2017課標全國理,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若=+,則+的最大值為()A.3B.2C.D.2APABAD25答案答案 A本題考查向量的運算.分別以CB、CD所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標系,則A(2,1),B(2,0),D(0,1).點P在以C為圓心且與BD相切的圓上,可設(shè)P.則=(0,-1),=(-2,0),=.又=+,=-sin+1,=-cos+1,+=2-sin-cos=2-sin(+),其中tan=,(+)max=3.22cos ,sin55ABADAP22cos2,sin155APABAD25152515122.(2017山東文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,則=.答案答案-3解析解析本題考查向量平行的條件.a=(2,6),b=(-1,),ab,2-6(-1)=0,=-3.3.(2015課標,13,5分)設(shè)向量a,b不平行,向量a+b與a+2b平行,則實數(shù)=.答案答案12解析解析由于a,b不平行,所以可以以a,b作為一組基底,于是a+b與a+2b平行等價于=,即=.112124.(2015北京,13,5分)在ABC中,點M,N滿足=2 , = .若 =x+y ,則x=,y=.AMMCBNNCMNABAC答案答案;-1216解析解析由=2 知M為AC上靠近C的三等分點,由 = 知N為BC的中點,作出草圖如下:則有=(+),所以=-=(+)-=-,又因為=x+y,所以x=,y=-.AMMCBNNCAN12ABACMNANAM12ABAC23AC12AB16ACMNABAC12165.(2015江蘇,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),則m-n的值為.答案答案-3解析解析由a=(2,1),b=(1,-2),可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),由已知可得解得從而m-n=-3.29,28,mnmn 2,5,mn6.(2014北京,10,5分)已知向量a,b滿足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),則|=.答案答案5解析解析a+b=0,即a=-b,|a|=|b|.|a|=1,|b|=,|=.557.(2014陜西,13,5分)設(shè)0,向量a=(sin2,cos),b=(cos,1),若ab,則tan=.2答案答案12解析解析ab,sin21-cos2=0,2sincos-cos2=0,00,2sin=cos,tan=.2128.(2014湖南,16,5分)在平面直角坐標系中,O為原點,A(-1,0),B(0,),C(3,0),動點D滿足| |=1,則| + + |的最大值是.3CDOAOBOD答案答案 +17解析解析解法一:設(shè)D(x,y),則由| |=1,得(x-3)2+y2=1,從而可設(shè)x=3+cos,y=sin,R.而+=(x-1,y+),則|+|=,其中sin=,cos=.顯然當sin(+)=1時,| + + |有最大值=+1.解法二: + + = + + + ,設(shè)a= + + =(2,),則|a|=,從而 + + =a+ ,則| + + |=|a+ |a|+| |=+1,當a與 同向時,| + + |有最大值+1.CDOAOBOD3OAOBOD22(1)(3)xy22(2cos )( 3sin )84cos2 3sin82 7sin()2737OAOBOD82 77OAOBODOAOBOCCDOAOBOC37OAOBODCDOAOBODCDCD7CDOAOBOD79.(2013北京,13,5分)向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若c=a+b(,R),則=.答案答案4解析解析以向量a和b的交點為坐標原點建立如圖所示的坐標系,令每個小正方形的邊長為1個單位,則A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a= =(-1,1),b= =(6,2),c= =(-1,-3).由c=a+b可得解得所以=4.AOOBBC16 ,32 , 2,1,2 評析評析本題主要考查平面向量的基本定理和坐標運算,考查學生的運算求解能力和解析法在向量中的應(yīng)用,構(gòu)建關(guān)于和的方程組是求解本題的關(guān)鍵.1.(2017浙江鎮(zhèn)海中學模擬練習(二),9)在CAB中,+=4,|=2,記h()=,則 h()的最大值()A.1B.C.D.2|CA2|CBAB12CACBRmin232512三年模擬一、選擇題A組 20152017年高考模擬基礎(chǔ)題組答案答案 B將| - |=2的兩邊平方后,整理得, =0,即ABC為直角三角形.h()=,設(shè)D為BC的中點,則h()=|+(1-)|.易知h()為直角三角形CAD的斜邊AD上的高,記為h.設(shè)|=b,|=a,則a2+b2=4.由面積相等知,h=.因為+=(a2+b2)=(5+4)=,所以h.故選B.CBCACBCA12CACB(1)2CBCACACDRminCACB2222abab224abab22114ba21b24a142214ba14222245baab14942282,3ab當且僅當時 等號成立232.(2017浙江杭州質(zhì)檢,7)設(shè)O是ABC的內(nèi)心,AB=c,AC=b,若 =1+2 ,則()A.=B.=C.=D.=AOABAC12bc2122bc1222cb2122cb答案答案A設(shè)=1, =2 .因為O是ABC的內(nèi)心,所以AO平分BAC,所以平行四邊形AMON為菱形,且10,20,由|=|,得|1|=|2|,即1c=2b,亦即=,故選A.AMABANACAMANABAC12bc3.(2016浙江高考模擬沖刺(三),8)對于兩個不共線的單位向量a,b,結(jié)出下列四個命題:(a+b)(a-b);2|=1,得+1,即|a+b|+|a-b|2.又由=,得|a+b|+|a-b|2,故正確.a與b在a+b方向上的投影都為|,故正確.m=|,n=|,由+=|2=1,得m2+n2=1.故正確.故選D.ABADACAOOBAB2ab2ab|2AOOB22|2AOOB2|2AB122AOAODO2|AO2|DOAD4.(2017浙江臺州質(zhì)量評估,16)已知不共線的平面向量a,b滿足|a|=3,|b|=2,若向量c=a+b(,R),且+=1,=,則=.|c bb|c aa二、填空題答案答案25解析解析如圖,設(shè) =a, =b, =c.因為向量c=a+b(,R),且+=1,所以A,B,C三點共線.由=知,|c|cos=|c|cos,所以O(shè)C為AOB的平分線.因為c=a+b=a+(1-)b,所以c-b=(a-b),即=,所以=,易知=,所以=.OAOBOC|c bb|c aaBCBA|BCBA|BCCA|OBOA23|BCBA255.(2017浙江名校(衢州二中)交流卷五,16)在平面內(nèi),已知向量a=(1,3),b=(4,-3),c=(6,5),若非負實數(shù)x,y,z滿足x+y+z=1,則向量p=xa+yb+zc的模的取值范圍是.答案答案,561解析解析如圖,建立平面直角坐標系xOy, =a, =b, =c, =p,x=1-y-z, =(1-y-z) +y +z , - =y( - )+z( - ),即=y+z .點P在ABC內(nèi)(含邊界).易知原點O到直線AB:2x+y-5=0的距離為|OP|的最小值.|=.| |的最大值為| |=.OAOBOCOPOPOAOBOCOPOAOBOAOCOAAPABAC0,0,11,yzyzx OP555OPOC362561綜上可知,向量p的模的取值范圍為,.5616.(2016浙江鎮(zhèn)海中學測試(六),14)在ABC中,點D滿足=4,若對任意tR,均有|-t | |,則cosA的最小值是.ABADBDBCCD答案答案45解析解析因為對任意tR,均有|-t|,所以CDCB,即有,所以=(-4)(-)=0,即-5+4=0,所以+4=5,故cosA=(當且僅當|=2|時取等號),所以cosA的最小值是.BDBCCD14ABACCB14ABACCB14ABACABAC2ABABAC2AC2AB2ACABAC| |AB ACABAC15224| |ABACABAC154| | |ABACABAC45ABAC457.(2016浙江溫州一模,14)已知ABC中,| |=1, =2,點P為線段BC上的動點,動點Q滿足=+,則的最小值等于.BCBABCPQPAPBPCPQPB答案答案-34解析解析因為 =| |cosABC=|cosABC=2,所以點A在直線BC上的投影D在線段BC的延長線上,且|BC|=|CD|,如圖.=(+)=+=-|+|-| |=-|(2-|)+-|(1-|)=3|2-3|=3-,所以當|=,即P為BC的中點時,最小,最小值為-.BABCBABCBAPQPBPAPBPCPBPAPBPBPBPCPBPDPBPBPBPCPBPBPB2|PBPBPBPBPB21|2PB34PB12PQPB341.(2017浙江鎮(zhèn)海中學模擬卷二,7)已知ABC的外心為O,且滿足BAC=60, =x+y (其中x1),則x+4y的最大值為()A.2B.C.D.5AOABAC1433一、選擇題B組 20152017年高考模擬綜合題組答案答案A設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.將 =x+y 兩邊分別同時點乘和,則解得所以x+4y=-4=2,故選A.AOABACABAC222211,2211,22ccxbc ybbc xby2,332,33bxccyb103134bccb103132.(2016浙江五校第一次聯(lián)考,7)設(shè)數(shù)列xn的各項都為正數(shù)且x1=1.如圖,ABC所在平面上的點Pn(nN*)均滿足PnAB與PnAC的面積比為3 1,若(2xn+1)+=xn+1,則x5的值為()A.31B.33C.61D.63nPCnP A13nP B答案答案A如圖所示,設(shè)=(2xn+1),=-xn+1.因為(2xn+1)+=xn+1,所以+=0,所以Pn為AB1C1的重心,所以=xn+1,又=,所以xn+1=,即xn+1=2xn+1,所以xn+1+1=2(xn+1),又x1=1,所以xn+1=2n,故xn=2n-1(nN*),所以x5=31,故選A.1nPCnPC1nP B13nP BnPCnP A13nP BnP A1nP B1nPCnP ACS121nx 1nP ACS121nx 1nP ABS121nx 13nP ABSnP ACS13nP ABS121nx 13133.(2015浙江名校(杭州二中)交流卷六,6)已知矩形ABCD的面積為2,M,N分別是AD,BC的中點,點P為線段MN上的動點,則+的最小值是()A.2B.C.1D.2PAPB2BA332答案答案B分別以AB,AD所在直線為x,y軸建立直角坐標系,A為坐標原點,設(shè)B(m,0),M(0,n),P(x,n)(m0,n0),則mn=1,=(-x,-n),=(m-x,-n).+=x2-mx+n2+m2=+n2+m2n2+m2,而n2+m2mn=,故當x=,且n=m,即當m=,n=,x=時,+取最小值.PAPBPAPB2BA22mx343434333,“ ”2nm當且僅當時成立2m3244343412443PAPB2BA34.(2017浙江鎮(zhèn)海中學模擬卷(六),16)已知向量a,b,|a|=2,|b|=1,向量c=xa+2(1-x)b(xR),若|c|取最小值時,向量m滿足(a-m)(c-m)=0,則|m|的取值范圍是.3二、填空題答案答案131131,22解析解析解法一:構(gòu)造如圖所示的圖形,設(shè) =a, =b, =2b,則c=xa+2(1-x)b=x(a-2b)+2b=x- = - = ( =x),當OCAD時,|c|取得最小值,此時OAD為邊長為2的正三角形,C為AD的中點,構(gòu)造 =m,則 =c-m, =a-m.由(a-m)(c-m)=0知,向量m的終點在以AC的中點E為圓心,以AC為直徑的圓上運動.因為OE=,所以|m|max=+=,|m|min=-=,所以|m|的取值范圍是.解法二:設(shè)向量a,b的夾角為,|c|2=|xa+2(1-x)b|2=8(1-cos),所以當x=時,|c|2取得最小值3,此時cos=,所以=,=,=,所以ac=2cos=3,|a+c|2=|a|2+2ac+|c|2=13,所以|a+c|=,OAOBODDADODCDOOCDCDA3OGGCGA221( 3)2132132121312132121312131131,22212(1cos )xx12123663613由(a-m)(c-m)=0得|m|2-(a+c)m+ac=0,設(shè)=,則|m|2-cos|m|+3=0,|m|=,顯然cos=1時,|m|取得最值=,所以|m|的取值范圍是.13213cos13cos1221313 1221312131131,225.(2017浙江鎮(zhèn)海中學模擬卷五,16)在ABC中,ACB為鈍角,CA=CB=1,當tR時,| -t |有最小值為,若=x+(1-x)(xR),則|的最小值為.CACB32CPCACBCP答案答案 12解析解析由向量模的幾何意義知,ACB=120,易知A,B,P三點共線,所以| |的最小值為AB邊上的高,此時|的最小值為.CPCP126.(2017浙江杭州二模(4月),15)設(shè)P為ABC所在平面上一點,且滿足3+4 =m(m0).若ABP的面積為8,則ABC的面積為.PAPCAB答案答案14解析解析以, 作為一組基底,則3+4 =m可以化簡為-3+4( -)=m,所以=-.因為m0,所以點P在ABC外.易知ABP的高是ABC高的,又兩三角形同底,所以ABC的面積為8=14.ABACPAPCABAPACAPABAP47AC7mAB47747.(2017浙江金華十校調(diào)研,16)設(shè)單位向量a,b的夾角為,且,若對任意的(x,y)(x,y)|xa+yb|=1,x,y0,都有|x+2y|成立,則ab的最小值為.0,2815答案答案14解析解析|xa+yb|2=x2+y2+2xycos=1.設(shè)t=x+2y,即x=t-2y,代入x2+y2+2xycos=1得(5-4cos)y2+(2cos-4)ty+t2-1=0.所以0(cos2-1)t2+5-4cos0t2,所以cos,所以ab=cos.經(jīng)檢驗,此時x,y0符合要求.254cos1cos254cos1cos6415141116148.(2016浙江溫州二模,15)如圖,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,M、N分別為線段BC、CD上的點,且滿足+=1,若=x+y,則x+y的最小值為.21CM21CNACAMAN答案答案 54解析解析連接MN交AC于點G.由勾股定理,知MN2=CM2+CN2,所以1=+=,即MN=CMCN,所以C到直線MN的距離為定值1,此時MN是以C為圓心,1為半徑的圓的一條切線(如圖所示).=x+y=(x+y).由向量共線定理知,=(x+y),所以x+y=,又因為|max=5-1=4,所以x+y的最小值為.21CM21CN222MNCMCNACAMANxyAMANxyxyACAG|ACAG5|AGAG54