高考數(shù)學一輪復(fù)習 第十章 計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布 第三節(jié) 二項式定理課件 理

第三節(jié)二項式定理總綱目錄教材研讀1.二項式定理考點突破2.二項式系數(shù)的性質(zhì)考點二二項式系數(shù)的問題與各項系數(shù)和的問題考點二二項式系數(shù)的問題與各項系數(shù)和的問題考點一二項展開式中的特定項和特定項的系數(shù)考點三多項式的展開式中的特定項系數(shù)問題考點三多項式的展開式中的特定項系數(shù)問題教材研讀教材研讀1.二項式定理二項式定理(a+b)n=an+an-1b1+an-rbr+bn(nN*)二項式系數(shù)二項展開式中各項的二項式系數(shù):(r=0,1,n)二項展開式的通項Tr+1=an-rbr,它表示第(r+1)項0Cn1CnCrnCnnrnCrnC2.二項式系數(shù)的性質(zhì)1.已知的展開式的第4項等于5,則x等于( )A.B.-C.7D.-71717B71xx答案答案B由T4=x4=5得x=-,故選B.37C31x17B2.已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+a10 x10,則a8=()A.180B.-180C.45D.-45A答案答案A由題意得a8=22(-1)8=180,故選A.810CBD3.(2017北京海淀二模,2)的展開式的第二項是()A.6x4B.-6x4C.12x4D.-12x4答案答案D展開式中的第二項為T2=x5=-12x4,故選D.12x16CB62xx4.(2017北京石景山期末,9)在(x-3)7的展開式中,x5的系數(shù)是(結(jié)果用數(shù)值表示).答案答案189189解析解析因為(x-3)7的展開式的通項公式為Tr+1=x7-r(-3)r,當r=2時,T3=x5(-3)2=189x5.所以(x-3)7的展開式中,x5的系數(shù)為189.7Cr27CB答案答案40405.(2017北京東城一模,10)在的展開式中,常數(shù)項為.(用數(shù)字作答)5232xx解析解析展開式的通項為Tr+1=(x2)5-r=2rx10-5r,令10-5r=0,則r=2,故常數(shù)項為22=40.5Cr32rx5Cr25CB6.(2018北京海淀高三期末,12)已知(5x-1)n的展開式中,各項系數(shù)的和與各項二項式系數(shù)的和之比為64 1,則n=.答案答案66解析解析由題意得=2n=64,所以n=6.42nnB考點一二項展開式中的特定項和特定項的系數(shù)考點突破考點突破典例典例1(1)的展開式中,常數(shù)項的值是()A.240B.60C.192D.180(2)在的展開式中,含x3的項的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)6212xx5124xx答案答案(1)A(2)20解析解析(1)Tr+1=(2x)6-r=26-rx6-3r,令6-3r=0,解得r=2,常數(shù)項的值是24=24=240.6Cr21rx6Cr26C6 52(2)Tr+1=(2x)5-r=25-3rx5-2r,令5-2r=3,則r=1,所以含x3的項的系數(shù)為22=20.5Cr14rx5Cr15C易錯警示易錯警示應(yīng)用通項公式要注意五點:(1)Tr+1=an-rbr表示二項展開式的任意項,只要n與r確定,該項就隨之確定;(2)Tr+1是展開式中的第r+1項,而不是第r項;(3)公式中a,b的指數(shù)和為n;(4)要將通項中的系數(shù)和字母分離開,以便于解決問題;(5)關(guān)于(a-b)n展開式的通項公式,要特別注意符號問題.Crn1-1的展開式中含x4的項的系數(shù)是(用數(shù)字作答).答案答案1010521xx解析解析的展開式的通項為Tr+1=(x2)5-r=x10-2rx-r=x10-3r,令10-3r=4,得r=2,含x4的項的系數(shù)為=10.521xx5Cr1rx5Cr5Cr25CB考點二二項式系數(shù)的問題與各項系數(shù)和的問題典例典例2(1)設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a=7b,則m=()A.5B.6C.7D.8(2)已知(2x-1)6=a6x6+a5x5+a1x+a0,則a3=.答案答案(1)B(2)-160解析解析(1)由題意得a=,b=,則13=7,=,=13,解得m=6,經(jīng)檢驗m=6為原方程的解,故選B.(2)由題意得a3為(2x-1)6的展開式中含x3的項的系數(shù),展開式的通項為Tr+1=(2x)6-r(-1)r=(-1)r26-rx6-r,令6-r=3,得r=3,所以a3=(-1)326-3=-160.2Cmm21Cmm2Cmm21Cmm13 (2 )!mm m7 (21)! (1)!mmm7(21)1mm6Cr6Cr36C規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)對形如(ax+b)n(a,bR)的式子求其展開式各項系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可.(2)對形如(ax+by)n(a,bR)的式子求其展開式各項系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.(3)一般地,對于多項式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+anxn,令g(x)=(a+bx)n,則(a+bx)n的展開式中各項的系數(shù)的和為g(1),(a+bx)n的展開式中奇數(shù)項的系數(shù)和為g(1)+g(-1),(a+bx)n的展開式中偶數(shù)項的系數(shù)和為g(1)-g(-1).12122-1(2016北京,10,5分)在(1-2x)6的展開式中,x2的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)答案答案6060解析解析Tr+1=16-r(-2x)r=(-2)rxr,令r=2,得T3=(-2)2x2=60 x2.故x2的系數(shù)為60.6Cr6Cr26CB2-2已知的展開式中各項二項式系數(shù)的和是16,則n=,展開式中的常數(shù)項是.答案答案4;244242nxx解析解析由題意得2n=16,n=4,則展開式的通項為Tr+1=2rx4-2r,令4-2r=0,得r=2,展開式中的常數(shù)項為22=24.4Cr24CB考點三多項式的展開式中的特定項系數(shù)問題命題方向一幾個二項式和的展開式中的特定項系數(shù)問題命題方向一幾個二項式和的展開式中的特定項系數(shù)問題典例典例3+的展開式中的常數(shù)項為()A.32B.34C.36D.38D432xx81xx答案答案D解析解析的展開式的通項為Tk+1=(x3)4-k=(-2)kx12-4k,令12-4k=0,解得k=3.的展開式的通項為Tr+1=x8-r=x8-2r,令8-2r=0,得r=4.所以所求展開式中的常數(shù)項為(-2)3+=38.432xx4Ck2kx4Ck81xx8Cr1rx8Cr34C48C命題方向二幾個二項式積的展開式中的特定項系數(shù)問題命題方向二幾個二項式積的展開式中的特定項系數(shù)問題典例典例4(1)(1+x)6的展開式中x2的系數(shù)為()A.15B.20C.30D.35(2)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,則a=.211x答案答案(1)C(2)3解析解析(1)對于(1+x)6,若要得到x2項,可以在中選取1,此時(1+x)6中要選取含x2的項,則系數(shù)為;當在中選取時,(1+x)6中要選取含x4的項,即系數(shù)為,所以,展開式中x2項的系數(shù)為+=30,故選C.(2)設(shè)f(x)=(a+x)(1+x)4,則其展開式中所有項的系數(shù)和為f(1)=(a+1)(1+1)4=(a+1)16,奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為f(1)-f(-1),又f(-1)=0,(a+1)16=32,a=3.211x211x26C211x21x46C26C46C1212命題方向三三項展開式中特定項系數(shù)問題命題方向三三項展開式中特定項系數(shù)問題典例典例5(1)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為()A.10B.20C.30D.60(2)(1-x-5y)5的展開式中不含x的項的系數(shù)和為(結(jié)果化成最簡形式).答案答案(1)C(2)-1024解析解析(1)(x2+x+y)5=(x2+x)+y5的展開式中只有(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系數(shù)為=30,故選C.25C25C13C(2)(1-x-5y)5的展開式中不含x的項的系數(shù)和等于(1-5y)5的展開式的各項系數(shù)和,在(1-5y)5中,令y=1,得其展開式的各項系數(shù)和為(-4)5=-1024,所以(1-x-5y)5的展開式中不含x的項的系數(shù)和為-1024.規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)對于幾個二項式和的展開式中的特定項系數(shù)問題,只需依據(jù)二項展開式的通項,從相應(yīng)各項中分別得到所含的特定項的系數(shù),再求和即可.(2)對于幾個二項式積的展開式中的特定項系數(shù)問題,一般可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律,結(jié)合組合思想求解,但要注意適當?shù)剡\用分類方法,以免重復(fù)或遺漏.(3)對于三項展開式中的特定項系數(shù)問題,可通過配方或適當分組,轉(zhuǎn)化為二項展開式問題求解.3-1(2018北京東城期中,9)在(1-x)5-(1-x)6的展開式中,含x3的項的系數(shù)是.答案答案1010解析解析(1-x)5,-(1-x)6的展開式中含x3項的系數(shù)分別為(-1)3,-(-1)3,故所求系數(shù)為(-1)3-(-1)3=-10-(-20)=10.35C36C35C36CB