高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔：第三部分 高考仿真模擬卷四 Word版含解析

2020高考仿真模擬卷(四)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1已知集合My|yx21，xR，Nx|y，則MN()A，B1，CD(1，答案B解析因為集合My|yx21，xRy|y1，Nx|yx|x，則MN1，2設(shè)命題p：xQ,2xln x<2，則綈p為()AxQ,2xln x2BxQ,2xln x<2CxQ,2xln x2DxQ,2xln x2答案C解析綈p為xQ,2xln x2.3若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿足3，則f()AB3CD3答案A解析設(shè)f(x)x(為常數(shù))，滿足3，3，log23.f(x)x log23，則f2log23.4已知下列四個命題：存在aR，使得z(1i)(ai)為純虛數(shù)；對于任意的zC，均有zR，z·R；對于復(fù)數(shù)z1，z2，若z1z2>0，則z1>z2；對于復(fù)數(shù)z，若|z|1，則zR.其中正確命題的個數(shù)為()A1B2C3D4答案C解析z(1i)(ai)a1(1a)i，若z為純虛數(shù)，則a10,1a0，得a1，故正確；設(shè)zabi(a，bR)，則abi，那么z2aR，z·a2b2R，故正確；令z13i，z22i，滿足z1z2>0，但不滿足z1>z2，故不正確；設(shè)zabi(a，bR)，其中a，b不同時為0，由|z|1，得a2b21，則zabiabi2aR，故正確5(2019·安徽江淮十校第一次聯(lián)考)勒洛三角形是定寬曲線所能構(gòu)成的面積最小的圖形，它是德國機(jī)械學(xué)家勒洛首先進(jìn)行研究的其畫法是：先畫一個正三角形，再以正三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形如圖所示，現(xiàn)要在勒洛三角形中隨機(jī)取一點，則此點在正三角形ABC內(nèi)的概率為()ABCD答案B解析可令BC2，則以B為圓心的扇形面積S扇形ABC，ABC的面積SABC×2×2×，由題圖可知，勒洛三角形的面積為3個扇形ABC的面積減去2個正三角形ABC的面積，即×3222，所以在勒洛三角形中隨機(jī)取一點，此點在正三角形ABC內(nèi)的概率是，故選B.6已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a6,3a4，a5成等差數(shù)列，則()A3B9C10D13答案C解析因為a6,3a4，a5成等差數(shù)列，所以6a4a6a5，設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則6a4a4q2a4q，解得q3或q2(舍去)，所以1q210.7已知橢圓1(a>b>0)的左焦點為F1(2,0)，過點F1作傾斜角為30°的直線與圓x2y2b2相交的弦長為b，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A1B1C1D1答案B解析由左焦點為F1(2,0)，可得c2，即a2b24，過點F1作傾斜角為30°的直線的方程為y(x2)，圓心(0,0)到直線的距離d1，由直線與圓x2y2b2相交的弦長為b，可得2b，解得b2，a2，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.8(2019·北京東城二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，終邊分別是射線OA和射線OB，射線OA，OC與單位圓的交點分別為A，C(1,0)，若BOC，則cos()的值是()ABCD答案C解析依題意，得cos，sin，cos，sin，所以cos()coscossinsin××.故選C.9下圖的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章中的“中國剩余定理”已知正整數(shù)n被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n的最小值執(zhí)行該程序框圖，則輸出的n()A50B53C59D62答案B解析模擬程序運(yùn)行，變量n值依次為1229,1061,893,725,557,389,221,53，此時不符合循環(huán)條件，輸出n53.10(2018·全國卷)已知f(x)是定義域為(，)的奇函數(shù)，滿足f(1x)f(1x)若f(1)2，則f(1)f(2)f(3)f(50)()A50B0C2D50答案C解析因為f(x)是定義域為(，)的奇函數(shù)，且f(1x)f(1x)，所以f(1x)f(x1)，所以f(3x)f(x1)f(x1)，所以T4，因此f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)，因為f(3)f(1)，f(4)f(2)，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0，因為f(2)f(2)f(2)，所以f(2)0，從而f(1)f(2)f(3)f(50)f(1)2.選C.11已知數(shù)列an，定義數(shù)列an12an為數(shù)列an的“2倍差數(shù)列”，若an的“2倍差數(shù)列”的通項公式為an12an2n1，且a12，若數(shù)列an的前n項和為Sn，則S33()A2381B2392C2382D239答案B解析根據(jù)題意，得an12an2n1，a12，1，數(shù)列是首項為1，公差d1的等差數(shù)列，1(n1)n，ann·2n，Sn1×212×223×23n·2n，2Sn1×222×233×24n·2n1，Sn22223242nn·2n1，n·2n122n1n·2n12(1n)2n1，Sn(n1)2n12，S33(331)×233122392.12(2018·全國卷)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為()ABCD答案A解析根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1與線AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面C1BD也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成的角都是相等的，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面AB1D1與C1BD中間的，且過棱的中點的正六邊形，邊長為，所以其面積為S6××2.故選A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13某學(xué)校高一學(xué)生有720人，現(xiàn)從高一、高二、高三這三個年級學(xué)生中采用分層抽樣方法，抽取180人進(jìn)行英語水平測試，已知抽取高一學(xué)生人數(shù)是抽取高二學(xué)生人數(shù)和高三學(xué)生人數(shù)的等差中項，且高二年級抽取65人，則該校高三年級學(xué)生人數(shù)是_答案660解析根據(jù)題意，設(shè)高三年級抽取x人，則高一抽取(180x65)人，由題意可得2(180x65)x65，解得x55.高一學(xué)生有720人，則高三年級學(xué)生人數(shù)為720×660.14(2019·江蘇南通高三模擬)已知實數(shù)x，y滿足(xy2)(x2y3)0，則x2y2的最小值為_答案解析由(xy2)(x2y3)0，得或不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，x2y2(x0)2(y0)2表示平面區(qū)域內(nèi)取一點到原點的距離的平方，又原點到xy20的距離為d，原點到x2y30的距離為d，所以x2y2的最小值為2.15設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P在雙曲線上，若·0，PF1F2的面積為9，且ab7，則該雙曲線的離心率為_答案解析設(shè)|m，|n，·0，PF1F2的面積為9，mn9，即mn18，在RtPF1F2中，根據(jù)勾股定理，得m2n24c2，(mn)2m2n22mn4c236，結(jié)合雙曲線的定義，得(mn)24a2，4c2364a2，化簡整理，得c2a29，即b29，可得b3.結(jié)合ab7得a4，c5，該雙曲線的離心率為e.16(2019·北京東城綜合練習(xí)一)設(shè)函數(shù)f(x)若a1，則f(x)的最小值為_；若f(x)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是_答案00，)解析(1)當(dāng)a1時，f(x)ex2x，x<1，f(x)ex2，由f(x)>0，得ln 2<x<1，由f(x)<0，得x<ln 2，故f(x)minf(ln 2)22ln 2；當(dāng)f(x)x1(x1)，f(x)單調(diào)遞增，故f(x)minf(1)0，又22ln 2>0，所以f(x)的最小值為0.(2)當(dāng)a<0時，由(1)知f(x)ex2x，x<a單調(diào)遞減，故f(x)>f(a)；f(x)ax1(xa)單調(diào)遞減，故f(x)f(a)，故f(x)無最小值，舍去當(dāng)a0時，f(x)最小值為1，成立當(dāng)a>0時，f(x)ax1(xa)單調(diào)遞增，故f(x)f(a)；對f(x)ex2x，x<a.當(dāng)0<aln 2，由(1)知f(x)>f(a)，此時f(x)最小值在xa處取得，成立當(dāng)a>ln 2，由(1)知f(x)f(ln 2)，此時f(x)最小值為minf(ln 2)，f(a)，即f(x)有最小值綜上a0.三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答(一)必考題：共60分17(本小題滿分12分)已知向量a(cosx，1)，b，函數(shù)f(x)(ab)·a2.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點，b，a，c成等差數(shù)列，且·9，求a的值解f(x)(ab)·a2|a|2a·b2cos2xsin2xsin.2分(1)最小正周期T，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ).4分所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ).5分(2)由f(A)sin可得，2A2k或2k(kZ)，所以A，7分又因為b，a，c成等差數(shù)列，所以2abc，而·bccosAbc9，所以bc18，9分所以cosA111，所以a3.12分18(2019·云南昆明1月診斷測試)(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PD平面ABCD，PDADBD2，AB2，E是棱PC上的一點(1)若PA平面BDE，證明：PEEC；(2)在(1)的條件下，棱PB上是否存在點M，使直線DM與平面BDE所成角的大小為30°？若存在，求PMMB的值；若不存在，請說明理由解(1)證明：連接AC交BD于點F，連接EF，則EF是平面PAC與平面BDE的交線因為PA平面BDE，PA平面PAC，所以PAEF.又因為F是AC的中點，所以E是PC的中點所以PEEC.4分(2)由已知條件可知AD2BD2AB2，所以ADBD，以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，E(1,1,1)，(1,1,1)，(0,2,0)假設(shè)在棱PB上存在點M，設(shè)(01)，得M(0,2，22)，(0,2，22)記平面BDE的法向量為n1(x1，y1，z1)，則即取z11，則x11，所以n1(1,0,1).8分要使直線DM與平面BDE所成角的大小為30°，則sin30°，即，解得0,1所以在棱PB上存在點M使直線DM與平面BDE所成角的大小為30°.即PMMB11.12分19(2019·湖南師大附中模擬三)(本小題滿分12分)已知橢圓C：1(a>b>0)過點(2，)，右焦點F是拋物線y28x的焦點(1)求橢圓C的方程；(2)已知動直線l過右焦點F，且與橢圓C分別交于M，N兩點試問x軸上是否存在定點Q，使得·恒成立？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解(1)因為橢圓C過點(2，)，所以1，又拋物線的焦點為(2,0)，則c2，所以1，解得a23(舍去)或a216.所以橢圓C的方程為1.4分(2)假設(shè)在x軸上存在定點Q(m,0)，使得·.當(dāng)直線l的斜率不存在時，則M(2,3)，N(2，3)，(2m,3)，(2m，3)，由·(2m)29，解得m或m；當(dāng)直線l的斜率為0時，則M(4,0)，N(4,0)，(4m,0)，(4m,0)，由·m216，解得m或m.由可得m，即點Q的坐標(biāo)為.7分下面證明：當(dāng)m時，·恒成立當(dāng)直線l的斜率不存在或斜率為0時，由知結(jié)論成立當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時，設(shè)方程為yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線與橢圓聯(lián)立得(34k2)x216k2x16(k23)0，直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點，一定與橢圓有兩個交點，且x1x2，x1x2.y1y2k(x12)·k(x22)k2x1x22k2(x1x2)4k2，8分所以··x1x2(x1x2)y1y2(1k2)x1x2(x1x2)4k2(1k2)4k2恒成立綜上所述，在x軸上存在點Q，使得·恒成立.12分20(2019·福建龍巖5月月考)(本小題滿分12分)國務(wù)院總理李克強(qiáng)作的政府工作報告中，提到要“懲戒學(xué)術(shù)不端，力戒學(xué)術(shù)不端，力戒浮躁之風(fēng)”教育部日前公布的教育部2019年部門預(yù)算中透露，2019年教育部擬抽檢博士學(xué)位論文約6000篇，預(yù)算為800萬元，國務(wù)院學(xué)位委員會、教育部2014年印發(fā)的博士碩士學(xué)位論文抽檢辦法通知中規(guī)定：每篇抽檢的學(xué)位論文送3位同行專家進(jìn)行評議，3位專家中有2位以上(含2位)專家評議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”，有且只有1位專家評議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將再送2位同行專家進(jìn)行復(fù)評，2位復(fù)評專家中有1位以上(含1位)專家評議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”設(shè)每篇學(xué)位論文被每位專家評議為“不合格”的概率均為p(0<p<1)，且各篇學(xué)位論文是否被評議為“不合格”相互獨立(1)記一篇抽檢的學(xué)位論文被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為f(p)，求f(p)；(2)若擬定每篇抽檢論文不需要復(fù)評的評審費(fèi)用為900元，需要復(fù)評的評審費(fèi)用為1500元；除評審費(fèi)外，其他費(fèi)用總計為100萬元現(xiàn)以此方案實施，且抽檢論文為6000篇，問是否會超過預(yù)算？并說明理由解(1)因為一篇學(xué)位論文初評被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為Cp2(1p)Cp3，一篇學(xué)位論文復(fù)評被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為Cp(1p)21(1p)2，2分所以一篇學(xué)位論文被認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為f(p)Cp2(1p)Cp3Cp(1p)21(1p)23p2(1p)p33p(1p)21(1p)23p512p417p39p2.4分(2)設(shè)每篇學(xué)位論文的評審費(fèi)為X元，則X的可能取值為900,1500.P(X1500)Cp(1p)2，P(X900)1Cp(1p)2，所以E(X)900×1Cp(1p)21500×Cp(1p)29001800p(1p)2.7分令g(p)p(1p)2，p(0,1)，g(p)(1p)22p(1p)(3p1)(p1)當(dāng)p時，g(p)>0，g(p)在上單調(diào)遞增，當(dāng)p時，g(p)<0，g(p)在上單調(diào)遞減，所以g(p)的最大值為g.10分所以實施此方案，最高費(fèi)用為1006000××104800(萬元)綜上，若以此方案實施，不會超過預(yù)算.12分21(2019·陜西榆林二模)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)xln x.(1)若函數(shù)g(x)，求g(x)的極值；(2)證明：f(x)1<exx2.(參考數(shù)據(jù)：ln 20.69，ln 31.10，e4.48，e27.39)解(1)因為g(x)(x>0)，所以g(x)，當(dāng)x(0，e2)，g(x)>0，當(dāng)x(e2，)，g(x)<0，g(x)在(0，e2)上單調(diào)遞增，在(e2，)上單調(diào)遞減，g(x)在xe2取得極大值，極大值為，無極小值.4分(2)證明：要證f(x)1exx2.即證exx2xln x10，先證明ln xx1，5分取h(x)ln xx1，則h(x)，易知h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，故h(x)h(1)0，即ln xx1，當(dāng)且僅當(dāng)x1時取“”，故xln xx(x1)，exx2xln x1ex2x2x1，故只需證明當(dāng)x0時，ex2x2x10恒成立，7分令k(x)ex2x2x1(x0)，則k(x)ex4x1，令F(x)k(x)，則F(x)ex4，令F(x)0，解得x2ln 2，因為F(x)單調(diào)遞增，故x0,2ln 2時，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減，即k(x)單調(diào)遞減，x(2ln 2，)時，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，即k(x)單調(diào)遞增，且k(2ln 2)58ln 20，k(0)20，k(2)e2810，由零點存在定理，可知x1(0,2ln 2)，x2(2ln 2，2)，使得k(x1)k(x2)0，故0xx1或xx2時，k(x)0，k(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x1xx2時，k(x)0，k(x)單調(diào)遞減，故k(x)的最小值是k(0)0或k(x2)，由k(x2)0，得e4x21，10分k(x2)e2xx21(x22)(2x21)，因為x2(2ln 2,2)，所以k(x2)0，故x0時，k(x)0，即exx2xln x1>0，所以原不等式成立.12分(二)選考題：共10分請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分22(2019·福建省師大附中模擬)(本小題滿分10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，M為曲線C1上的動點，動點P滿足a(a>0且a1)，P點的軌跡為曲線C2.(1)求曲線C2的方程，并說明C2是什么曲線；(2)在以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，A點的極坐標(biāo)為，射線與C2的異于極點的交點為B，已知AOB面積的最大值為42，求a的值解(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，由a，得M在C1上，即(為參數(shù))，消去參數(shù)得(x2a)2y24a2(a1)，曲線C2是以(2a,0)為圓心，以2a為半徑的圓.5分(2)解法一：A點的直角坐標(biāo)為(1，)，直線OA的普通方程為yx，即xy0，設(shè)B點的坐標(biāo)為(2a2acos，2asin)，則B點到直線xy0的距離da，當(dāng)時，dmax(2)a，SAOB的最大值為×2×(2)a42，a2.10分解法二：將xcos，ysin代入(x2a)2y24a2并整理得，4acos，令得4acos，B(4acos，)，SAOB|OA|·|OB|sinAOB4acos·a|2sincos2cos2|a|sin2cos2|a.當(dāng)時，SAOB取得最大值(2)a，依題意，有(2)a42，a2.10分23(2019·上饒三模)(本小題滿分10分)選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)|3x1|3xk|，g(x)x4.(1)當(dāng)k3時，求不等式f(x)4的解集；(2)設(shè)k>1，且當(dāng)x時，都有f(x)g(x)，求k的取值范圍解(1)當(dāng)k3時，f(x)故不等式f(x)4可化為或或解得x0或x，所求解集為.5分(2)當(dāng)x時，由k>1，有3x1<0,3xk0，f(x)1k，不等式f(x)g(x)可變形為1kx4，故kx3對x恒成立，即k3，解得k，而k>1，故1<k.k的取值范圍是.10分