湖南省中考數學 第二部分 重難題型突破 題型三 圖形動態(tài)探究題課件

題型三 圖形動態(tài)研究題圖形動態(tài)研究題線段問題線段問題類型一類型一類型二類型二圖形形狀問題圖形形狀問題類型三類型三圖形面積問題圖形面積問題類型一類型一 線段問題線段問題 例例(2015岳陽岳陽)已知直線已知直線mn,點點C是直線是直線m上一點上一點,點點D是直線是直線n上一點上一點,CD與直線與直線m、n不垂直不垂直,點點P為線段為線段CD的中點的中點 (1)操作發(fā)現：直線操作發(fā)現：直線lm,ln,垂足分別為點垂足分別為點A、B,當當點點A與點與點C重合時重合時(如圖所示如圖所示),連接連接PB,請直接寫出線段請直接寫出線段PA與與PB的數量關系：的數量關系：_； (2)猜想證明：在圖的情況下猜想證明：在圖的情況下,把直線把直線l向上平移到如向上平移到如圖的位置圖的位置,試問試問(1)中的中的PA與與PB的關系式是否仍然成立？的關系式是否仍然成立？若成立若成立,請證明；若不成立請證明；若不成立,請說明理由；請說明理由； (3)延伸探究：在圖的情況下延伸探究：在圖的情況下，把直線把直線l繞點繞點A旋轉旋轉，使得使得APB=90(如圖所示如圖所示)，若兩平行線若兩平行線m、n之間之間的距離為的距離為2k，求證：求證：PAPB=kAB. (1)【思維教練】【思維教練】要判斷要判斷PA與與PB的數量關系，的數量關系，觀察圖形，已知點觀察圖形，已知點P為為CD中點，聯想到直角三角形中點，聯想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，通過證明斜邊上的中線等于斜邊的一半，通過證明ABD為直角三角形，即可得到結論；為直角三角形，即可得到結論； 解解：PA=PB； 【解法提示】【解法提示】ln，ABD是直角三角形，是直角三角形，又又點點P是是AD的中點，的中點，PB= =PA. (2)【思維教練思維教練】要證】要證PA=PB，只需證明點只需證明點P在線段在線段AB的垂直平分線上即可；的垂直平分線上即可； 解解：成立：成立 證明：如解圖證明：如解圖，過點過點C作作CEn于點于點E，過點過點P作作PFCE于點于點F， PFn，點點P是是CD的中點的中點， 點點F是是CE的中點的中點，PF垂直平分垂直平分CE， mn，ABm， AB= =CE，且且ABCE， PF垂直且平分垂直且平分AB，PA= =PB； 【一題多解】如解圖【一題多解】如解圖，過過P作作EFAB，交交m于點于點E，交交n于點于點F， ABm，ABn，EFm，EFn，四邊形四邊形EFBA是矩形是矩形，AE=BF.P是是CD的中點的中點，PC=PD，mn，PCE=PDF，又又EPC=FPD，PCE PDF(ASA)，PE=PF，RtPEA RtPFB(SAS)，PA=PB.(3)【思維教練】延長【思維教練】延長AP交直線交直線n于點于點F，過點過點A作作AEn于點于點E，易證易證AEFBPF，即可得到即可得到AFBP= =AEBF，從而證得從而證得PAPB=kAB. 證明證明：如解圖：如解圖，延長延長AP交直線交直線n于點于點F，過過A作作AEn 于點于點E. mn，點點P為線段為線段CD的中點的中點， ， AP=PF， APB=90，BPAF， BF=AB，APPCPFPDAEn，AEF=90，又又AFE=BFP，RtAEFRtBPF， ，AFBP=AEBF，又又AF=2AP，AE=2k，BF=AB，2PAPB=2kAB，即即PAPB=kAB.AFAEBFBP 與線段有關的動態(tài)探究題與線段有關的動態(tài)探究題，通常有以下幾類：通常有以下幾類： 1. 探究或者證明兩線段的數量關系：探究或者證明兩線段的數量關系： (1)要證明的線段在某一四邊形中要證明的線段在某一四邊形中，考慮利用特殊四考慮利用特殊四邊形的性質邊形的性質，通過量的轉換、等量代換進行求證；通過量的轉換、等量代換進行求證； (2)如果所要證明的線段在某個三角形中如果所要證明的線段在某個三角形中，考慮利用考慮利用等腰、直角三角形的性質進行求證；等腰、直角三角形的性質進行求證； (3)如果所要證明的線段在兩個三角形中如果所要證明的線段在兩個三角形中，考慮通過考慮通過三角形全等的判定及性質進行證明；三角形全等的判定及性質進行證明； (4)三條線段的數量關系三條線段的數量關系，可轉化為兩條線段進行探可轉化為兩條線段進行探究究導方 法 指 2. 探究或者證明兩線段的位置關系：兩線段的位置關探究或者證明兩線段的位置關系：兩線段的位置關系通常為平行或垂直觀察圖形系通常為平行或垂直觀察圖形，根據圖形先推斷兩線根據圖形先推斷兩線段的位置關系是平行或垂直段的位置關系是平行或垂直 若平行若平行，則常通過以下方法進行證解則常通過以下方法進行證解： (1)平行線判定的定理；平行線判定的定理；(2)平行四邊形對邊平行；平行四邊形對邊平行；(3)三三角形的中位線性質等角形的中位線性質等 若垂直若垂直，則常通過以下方法進行證解則常通過以下方法進行證解： (1)證明兩線段所在直線的夾角為證明兩線段所在直線的夾角為90；(2)兩線段是矩兩線段是矩形的鄰邊；形的鄰邊；(3)兩線段是菱形的對角線；兩線段是菱形的對角線；(4)勾股定理的逆勾股定理的逆定理；定理；(5)利用等腰三角形三線合一的性質等方式證明利用等腰三角形三線合一的性質等方式證明導方 法 指 3. 求線段的長度、比值時一般多涉及三角形全等和求線段的長度、比值時一般多涉及三角形全等和相似的相關證明和性質的運用相似的相關證明和性質的運用，具體方法如下：要計具體方法如下：要計算線段比、面積比時算線段比、面積比時，可考慮從以下兩方面思考：可考慮從以下兩方面思考：(1)直接利用特殊圖形的性質先求出對應線段、面積的值直接利用特殊圖形的性質先求出對應線段、面積的值，再求比值；再求比值；(2)通過尋找相似三角形通過尋找相似三角形，利用相似三角形利用相似三角形的性質求相應的比值的性質求相應的比值導方 法 指類型二類型二 圖形形狀問題圖形形狀問題 例例(2016郴州郴州)如圖如圖，矩形矩形ABCD中中，AB=7cm，AD=4 cm，點點E為為AD上一定點上一定點，點點F為為AD延長線上一點延長線上一點，且且DF=a cm.點點P從從A點出發(fā)點出發(fā)，沿沿AB邊向點邊向點B以以2cm/s的速度運的速度運動連接動連接PE，設點設點P運動的時間為運動的時間為t s，PAE的面積為的面積為y cm2.當當0t1時時，PAE的面積的面積y (cm2)關于時間關于時間t(s)的函數圖象的函數圖象如圖所示連接如圖所示連接PF，交交CD于點于點H.(1)t的取值范圍為的取值范圍為_，AE=_cm；(2)如圖如圖，將將HDF沿線段沿線段DF進行翻折進行翻折，與與CD的延長線的延長線交于點交于點M，連接連接AM，當當a為何值時為何值時，四邊形四邊形PAMH為菱形？為菱形？并求出此時點并求出此時點P的運動時間的運動時間t； (3)如圖如圖，當點當點P出發(fā)出發(fā)1s后后，AD邊上另一動點邊上另一動點Q從從E點點出發(fā)出發(fā)，沿沿ED邊向點邊向點D以以1cm/s的速度運動如果的速度運動如果P，Q兩點兩點中的任意一點到達終點后中的任意一點到達終點后，另一點也停止運動另一點也停止運動，連接連接PQ，QH.若若a= cm，請問請問PQH能否構成直角三角形？若能能否構成直角三角形？若能，請求出點請求出點P的運動時間的運動時間t；若不能；若不能，請說明理由請說明理由43 (1)【思維教練思維教練】t 的最小值為的最小值為0，t 的最大值與的最大值與AB的長有的長有關；要求關；要求AE的長的長，將將y與與t的關系式表示出來的關系式表示出來，結合圖結合圖即即可求解；可求解；解：解： ，1；【解法提示】由【解法提示】由2t7，得，得 ， . ，從圖象可知，當從圖象可知，當t=0.5時，時，y=0.5，即即0.5=0.5AE，解得解得AE=1.t702 t72t702 yPA AEt AEt AE 11222 (2)【思維教練】根據【思維教練】根據PFAM和翻折的性質得到和翻折的性質得到 AM=MF，可得可得DF=AD=a；要求；要求 t 的值只能放在直角三角形的值只能放在直角三角形中中，用勾股定理解決用勾股定理解決，而各邊長可通過菱形的性質和翻而各邊長可通過菱形的性質和翻折的性質用折的性質用 t 表示即可求解；表示即可求解；解解：由翻折的性質可知：由翻折的性質可知：PFA=MFA，而當四邊形而當四邊形PAMH為菱形時為菱形時，PFAM，PFA=MAF=MFA, MA=MF，MDAF，DF=AD=4cm，a=4.MH=PA=2t，DM=t，在在RtADM中中，AM2=AD2DM2=16t2， 若四邊形若四邊形PAMH為菱形為菱形，則則AP2=AM2， 4t 2=16t 2，解得：，解得：t = （負值舍去）（負值舍去）當當a=4時，四邊形時，四邊形PAMH為菱形，此時點為菱形，此時點P的運動的運動時間時間 t 為為 s4 334 33(3)【思維教練】將相關線段用含【思維教練】將相關線段用含t的式子表示出來的式子表示出來，通過分類討論：通過分類討論：PQH= =90；PHQ= =90；QPH= =90，分別運用相似三角形的比例關系式分別運用相似三角形的比例關系式求求出出t 值即可值即可解解：由題意得：由題意得，AP=2t，AQ=11(t1)=t，DQ=4t， , ,DHPA，DF 434164,33AFt43,16223DHDFDHtDHPAAF即即當當PQH=90時，時，PQAHQD=HQDQHD=90，PQA=QHD，又又A=HDQ=90，PQAQHD， 解得解得 t =2；當當PHQ=90 時，時，DHFQ，QDHHDF，242PAAQtttQDDHt，即即DHQDDFHD，DH2=DFDQ， 當當QPH=90時時，這種情況不存在這種情況不存在綜上綜上，當當t =2或或 t = 時時，PQH為直角三角形為直角三角形2tttt1244238= 83（ ）（），-；- -解解得得（舍舍去去）83 與圖形形狀有關的動態(tài)探究題與圖形形狀有關的動態(tài)探究題, 通常見有以下幾種類型：通常見有以下幾種類型： 一、探究一、探究等腰三角形等腰三角形的問題具體方法如下：的問題具體方法如下： 1分情況討論分情況討論.當所給條件中沒有說明哪條邊是等腰三當所給條件中沒有說明哪條邊是等腰三角形的底角形的底,哪條邊是等腰三角形的腰時哪條邊是等腰三角形的腰時,這時要對其進行分這時要對其進行分類討論類討論,假設某兩條邊相等假設某兩條邊相等,得到三種情況；得到三種情況； 2求邊長求邊長.在每種情況下在每種情況下,用題設中已設出自變量用題設中已設出自變量(時間時間t或線段長或線段長x)表示出假設相等的兩條邊的長或第三邊的長；表示出假設相等的兩條邊的長或第三邊的長； 3建立關系式并計算根據等腰三角形的性質、勾股定建立關系式并計算根據等腰三角形的性質、勾股定理或相似三角形的性質列等量關系式理或相似三角形的性質列等量關系式,根據等量關系求出根據等量關系求出t值或值或x值即可值即可導方 法 指二、探究二、探究直角三角形直角三角形的問題具體方法如下：的問題具體方法如下： 1分情況討論當所給的條件不能確定直角頂點分情況討論當所給的條件不能確定直角頂點時時，分情況討論分情況討論，分別令三角形的某個角為分別令三角形的某個角為90； 2求邊長在每種情況下求邊長在每種情況下，用題設中已設出自變用題設中已設出自變量量(時間時間t或線段長或線段長x)表示出三邊的長；表示出三邊的長； 3驗證求解：用相似三角形的性質或勾股定理進驗證求解：用相似三角形的性質或勾股定理進行驗證并求解出結論成立時的行驗證并求解出結論成立時的t值或值或x值即可值即可導方 法 指類型三類型三 圖形面積問題圖形面積問題 例例(2016益陽益陽)如圖如圖，在在ABC中中，ACB=90，B=30，AC=1，D為為AB的中點的中點，EF為為ACD的中位的中位線線，四邊形四邊形EFGH為為ACD的內接矩形的內接矩形(矩形的四個頂點矩形的四個頂點均在均在ACD的邊上的邊上) (1)計算矩形計算矩形EFGH的面積；的面積； (2)將矩形將矩形EFGH沿沿AB向右平移向右平移，F落在落在BC上時停止上時停止移動在平移過程中移動在平移過程中，當矩形與當矩形與CBD重疊部分的面積重疊部分的面積為為 時時，求矩形平移的距離；求矩形平移的距離；316 (3)如圖如圖，將將(2)中矩形平移停止時所得的矩形記為中矩形平移停止時所得的矩形記為矩形矩形E1F1G1H1，將矩形將矩形E1F1G1H1繞繞G1點按順時針方向旋點按順時針方向旋轉轉，當當H1落在落在CD上時停止轉動上時停止轉動，旋轉后的矩形記為矩形旋轉后的矩形記為矩形E2F2G1H2，設旋轉角為設旋轉角為，求求cos的值的值例題圖例題圖 (1)【思維教練】要求矩形【思維教練】要求矩形EFGH的面積的面積，需求需求EF、GF的長的長，利用中位線的性質可得利用中位線的性質可得EF、DF，從而在從而在FGD中中可求得可求得GF，即可得解；即可得解； 解解：在：在ABC中中，ACB=90，B=30，AC=1， AB=2，A=60 又又D是是AB的中點的中點，AD=1，CD=AD= AB=1 又又EF是是ACD的中位線，的中位線，EF= AD= CD= DF 在在ACD中，中，AD=CD, A=60，ADC=60. 在在FGD中，中，GF=DFsin60= S矩形矩形EFGH= =EFGF= = = ；1234343812121212 (2)【思維教練】分情況討論【思維教練】分情況討論，當矩形與當矩形與CBD重疊部重疊部分為三角形和四邊形時分為三角形和四邊形時，分別令重疊部分面積為分別令重疊部分面積為 即可即可求解；求解；316 解解：由第：由第(1)問問，易得易得GD= DF= ，設矩形平移的距設矩形平移的距離為離為x，則則0 x ，如解圖如解圖，當矩形與當矩形與CBD重疊部分為重疊部分為三角形時三角形時，則則0 x ，1214=().Sxx1332162144，重重疊疊解解得得舍舍去去1214 如解圖如解圖，當矩形與當矩形與CBD重疊部分為四邊形時重疊部分為四邊形時，則則 x ， 即當矩形平移的距離為即當矩形平移的距離為 ， 矩形與矩形與CBD重疊部重疊部分分的面積是的面積是 .1214=.Sxx3113342441638，重重疊疊解解得得38316 (3)【思維教練】【思維教練】作作H2QAB于于Q，設設DQ=m，則則H2Q= m，又又DG1= ，H2G1= ，利用勾股定理可得利用勾股定理可得m，在在RtQH2G1中中，利用三角函數解得利用三角函數解得cos.3121414 解解：如解圖：如解圖，過過H2作作H2QAB于于Q. .設設DQ= =m，則則H2Q= = m，又又DG1= = ，H2G1= .= .在在RtH2QG1中，中，()()( )=().mmm 2221111334216，舍舍去去負負值值解解得得+=QGDQH G1211131113313164cos.11682，312