高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布 第一節(jié) 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件 理

理數(shù)課標(biāo)版第一節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理兩個計數(shù)原理兩個計數(shù)原理教材研讀教材研讀 分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理條件完成一件事有兩類方案 .在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法完成一件事需要兩個步驟 .做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法結(jié)論完成這件事共有N= m+n 種不同的方法完成這件事共有N= mn 種不同的方法判斷下面結(jié)論是否正確.(請在括號中打“”或“”)(1)在分類加法計數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同.()(2)在分類加法計數(shù)原理中,每類方案中的方法都能直接完成這件事.()(3)在分步乘法計數(shù)原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.()(4)在分步乘法計數(shù)原理中,事件是分兩步完成的,其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事.()1.一個袋子里放有6個球,另一個袋子里放有8個球,每個球各不相同,從兩個袋子里各取一個球,則不同取法的種數(shù)為()A.182 B.14 C.48 D.91答案答案 C由分步乘法計數(shù)原理得不同取法的種數(shù)為68=48.2.書架的第1層放有4本不同的語文書,第2層放有5本不同的數(shù)學(xué)書,第3層放有6本不同的體育書.從第1,2,3層各取1本書,則不同的取法種數(shù)為()A.3 B.15 C.21 D.120答案答案 D由分步乘法計數(shù)原理知,從第1,2,3層各取1本書,不同的取法種數(shù)為456=120.故選D.3.用0,1,9十個數(shù)字可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A.243 B.252 C.261 D.279答案答案 B由分步乘法計數(shù)原理知,用0,1,9十個數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復(fù)數(shù)字)的個數(shù)為91010=900,組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為998=648,則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900-648=252,故選B.4.某位同學(xué)逛書店,發(fā)現(xiàn)有三本喜歡的書,決定至少買其中一本,則購買的方案有 種.答案答案7解析解析至少買其中一本的意思是買一本或買兩本或買三本,故分三類.第一類:買一本有3種;第二類:買兩本有3種;第三類:買三本有1種.共有3+3+1=7種購買方案.5.如圖,從A城到B城有3條路,從B城到D城有4條路,從A城到C城有4條路,從C城到D城有5條路,則某旅客從A城到D城共有 條不同的路線.答案答案32解析解析不同路線共有34+45=32(條).考點一分類加法計數(shù)原理考點一分類加法計數(shù)原理典例典例1(1)高三一班有學(xué)生50人,男生30人,女生20人;高三二班有學(xué)生60人,男生30人,女生30人;高三三班有學(xué)生55人,男生35人,女生20人.從高三一班或二班或三班中選一名學(xué)生任學(xué)生會主席,有 種不同的選法;從高三一班、二班男生或高三三班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會體育部長,有 種不同的選法.(2)滿足a,b-1,0,1,2,且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a,b)的個數(shù)為 .考點突破考點突破答案答案(1)16580(2)13解析解析(1)有三類方法:第一類,從高三一班任選一名學(xué)生共有50種選法;第二類,從高三二班任選一名學(xué)生共有60種選法;第三類,從高三三班任選一名學(xué)生共有55種選法,根據(jù)分類加法計數(shù)原理,任選一名學(xué)生任學(xué)生會主席共有50+60+55=165(種)不同的選法.有三類方法:第一類,從高三一班男生中任選一名共有30種選法;第二類,從高三二班男生中任選一名共有30種選法;第三類,從高三三班女生中任選一名共有20種選法.綜上知,共有30+30+20=80(種)不同的選法.(2)已知a,b-1,0,1,2,當(dāng)a=0時,x=-為實根,則b可取-1,0,1,2,有4種可能.2b當(dāng)a0時,方程有實根,所以=4-4ab0,所以ab1.(*)當(dāng)a=-1時,滿足(*)式的b可取-1,0,1,2,有4種可能.當(dāng)a=1時,b可取-1,0,1,有3種可能.當(dāng)a=2時,b可取-1,0,有2種可能.所以由分類加法計數(shù)原理知,有序數(shù)對(a,b)共有4+4+3+2=13個.方法技巧方法技巧使用分類加法計數(shù)原理遵循的原則首先,根據(jù)題目特點恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn);其次,分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類,且只能屬于某一類(即標(biāo)準(zhǔn)明確,不重不漏).1-1在所有的兩位數(shù)中,個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有()A.50個 B.45個 C.36個 D.35個答案答案 C由題意知,十位上的數(shù)字可以是1,2,3,4,5,6,7,8,共8類,在每一類中滿足題目要求的兩位數(shù)分別有8個,7個,6個,5個,4個,3個,2個,1個.由分類加法計數(shù)原理知,符合題意的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36個.1-2若1-1中的條件變?yōu)椤皞€位數(shù)字小于十位數(shù)字”,則這樣的兩位數(shù)的個數(shù)為 .答案答案45解析解析根據(jù)題意,將個位上的數(shù)字按0,1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成9類,在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有9個,8個,7個,6個,5個,4個,3個,2個,1個,由分類加法計數(shù)原理知,符合條件的兩位數(shù)共有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45個.考點二分步乘法計數(shù)原理考點二分步乘法計數(shù)原理典例典例2(1)(2016課標(biāo)全國,5,5分)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24 B.18 C.12 D.9(2)某體育彩票規(guī)定:從01至36共36個號中選出7個號為一注,每注2元.某人想從01至10中選3個連續(xù)的號,從11至20中選2個連續(xù)的號,從21至30中選1個號,從31至36中選1個號組成一注,若這人把滿足這種特殊要求的號買全,至少要花()A.3 360元 B.6 720元 C.4 320元 D.8 640元(3)有六名同學(xué)報名參加三個智力項目,每項限報一人,且每人至多參加一項,每個項目都有人報名,則共有 種不同的報名方法.答案答案(1)B(2)D(3)120解析解析(1)分兩步,第一步,從EF,有6條可以選擇的最短路徑;第二步,從FG,有3條可以選擇的最短路徑.由分步乘法計數(shù)原理可知有63=18條可以選擇的最短路徑.故選B.(2)從01至10中選3個連續(xù)的號共有8種選法;從11至20中選2個連續(xù)的號共有9種選法;從21至30中選1個號有10種選法;從31至36中選一個號有6種選法.由分步乘法計數(shù)原理知共有89106=4 320種選法,至少需花4 3202=8 640元.(3)每項限報一人,且每人至多參加一項,每個項目都有人報名,因此可由項目選人,第一個項目有6種選法,第二個項目有5種選法,第三個項目有4種選法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可得不同的報名方法共有654=120種.易錯警示易錯警示(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步,即考慮分步的先后順序.(2)每個步驟互相依存,缺一不可,只有各個步驟都完成,才算完成整個事件.(3)對完成各步的方法數(shù)要準(zhǔn)確確定.變式變式2-1若將本例(3)中的條件“每項限報一人,且每人至多參加一項,每個項目都有人報名”改為“每人恰好參加一項,每項人數(shù)不限”,則有多少種不同的報名方法?解析解析每人都可以從三個項目中選報一項,每人各有3種不同的報名方法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可得不同的報名方法共有36=729種.變式變式2-2若將本例(3)條件中的“每人至多參加一項”改為“每人參加的項目數(shù)不限”,其他不變,則有多少種不同的報名方法?解析解析每人參加的項目數(shù)不限,因此每一個項目都可以從六人中任選一人,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可得不同的報名方法共有63=216種.考點三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用考點三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用典例典例3(1)(2015四川,6,5分)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40 000大的偶數(shù)共有()A.144個 B.120個 C.96個 D.72個(2)如圖,用6種不同的顏色把圖中A,B,C,D四塊區(qū)域分開,若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色,則不同的涂法共有()A.400種 B.460種 C.480種 D.496種答案答案(1)B(2)C解析解析(1)數(shù)字0,1,2,3,4,5中僅有0,2,4三個偶數(shù),比40 000大的偶數(shù)分為以4開頭與以5開頭的偶數(shù).其中以4開頭的偶數(shù)又分以0結(jié)尾與以2結(jié)尾,有2=48個;同理,以5開頭的偶數(shù)有3=72個.故共有48+72=120個,故選B.(2)完成此事可能使用4種顏色,也可能使用3種顏色.當(dāng)使用4種顏色時:從A開始,有6種方法,B有5種,C有4種,D有3種,完成此事共有6543=360種方法;當(dāng)使用3種顏色時:A,D使用同一種顏色,從A,D開始,有6種方法,B有5種,C有4種,完成此事共有654=120種方法.由分類加法計數(shù)原理可知:不同的涂法共有360+120=480(種).34A34A方法技巧方法技巧(1)在綜合應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決問題時,一般是先分類再分步,但在分步時可能又會用到分類加法計數(shù)原理.(2)對于較復(fù)雜的兩個計數(shù)原理綜合應(yīng)用的問題,可恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格,使問題形象化、直觀化.3-1如果一個三位正整數(shù)“a1a2a3”滿足a1a3,則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等),那么所有凸數(shù)的個數(shù)為()A.240 B.204 C.729 D.920答案答案 A若a2=2,則凸數(shù)為120與121,共12=2個.若a2=3,則凸數(shù)有23=6個.若a2=4,則凸數(shù)有34=12個,若a2=9,則凸數(shù)有89=72個.所有凸數(shù)有2+6+12+20+30+42+56+72=240個.3-2 如果一條直線與一個平面垂直,那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在一個正方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是()A.48 B.18 C.24 D.36答案答案 D分類討論:第1類,對于每一條棱,都可以與兩個面構(gòu)成“正交線面對”,這樣的“正交線面對”有212=24(個);第2類,對于每一條面對角線,都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”,這樣的“正交線面對”有12個.所以正方體中“正交線面對”共有24+12=36(個).