高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量與解三角形 5.3 解三角形課件

第五章 平面向量與解三角形5.3 解三角形高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué) (浙江專用)考點(diǎn)一正弦、余弦定理考點(diǎn)一正弦、余弦定理1.(2017課標(biāo)全國(guó)文,11,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,則C=()A. B. C. D. 212643五年高考答案答案 B本題考查正弦定理和兩角和的正弦公式.在ABC中,sin B=sin(A+C),則sin B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,cos Asin C+sin Asin C=0,sin C0,cos A+sin A=0,即tan A=-1,即A=.由=得=,sin C=,又0C,C=,故選B.34sinaAsincC2222sinC1246方法總結(jié)方法總結(jié)解三角形問(wèn)題首先要熟悉正弦定理、余弦定理;其次還要注意應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理,以達(dá)到求解三角函數(shù)值時(shí)消元的目的,例如本題中sin B=sin(A+C)的應(yīng)用.2.(2017山東理,9,5分)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若ABC為銳角三角形,且滿足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,則下列等式成立的是()A.a=2b B.b=2aC.A=2B D.B=2A答案答案 A本題考查三角公式的運(yùn)用和正弦定理、余弦定理.解法一:因?yàn)閟in B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B,即cos C(2sin B-sin A)=0,所以cos C=0或2sin B=sin A,即C=90或2b=a,又ABC為銳角三角形,所以0Cc2,故2b=a,故選A.方法總結(jié)方法總結(jié) 解三角形時(shí),可以由正弦定理、余弦定理將邊角互化,邊角統(tǒng)一后,化簡(jiǎn)整理即可求解.注意靈活運(yùn)用三角公式.3.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=,BC=3,C=120,則AC=()A.1 B.2 C.3 D.413答案答案 A在ABC中,設(shè)A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則由c2=a2+b2-2abcos C,得13=9+b2-23b,即b2+3b-4=0,解得b=1(負(fù)值舍去),即AC=1.故選A.12評(píng)析評(píng)析本題考查了余弦定理的應(yīng)用和方程思想,屬容易題.4.(2013湖南,3,5分)在銳角ABC中,角A,B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b.若2asin B=b,則角A等于()A. B. C. D. 312643答案答案 D由正弦定理可知,2sin Asin B=sin B,因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角,所以sin B0,故sin A=,又因?yàn)锳BC為銳角三角形,所以A.故A=,選D.3320,23評(píng)析評(píng)析本題主要考查正弦定理及特殊角的三角函數(shù)值,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,本題學(xué)生容易記錯(cuò)特殊角的三角函數(shù)值而選錯(cuò).5.(2017課標(biāo)全國(guó)文,16,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B= .答案答案60解析解析解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(180-B),可得B=60.解法二:由余弦定理得2b=a+c,即b=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B=,又0B180,所以B=60.2222acbac2222abcab2222bcabc222acbac12思路分析思路分析利用正弦定理或余弦定理將邊角統(tǒng)一后求解.6.(2016課標(biāo)全國(guó),13,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,則b= .45513答案答案 2113解析解析由已知可得sin A=,sin C=,則sin B=sin(A+C)=+=,再由正弦定理可得=b=.351213355134512136365sinaAsinbB63165352113解后反思解后反思在解三角形的問(wèn)題中,給出邊長(zhǎng)及角的正弦或余弦值時(shí),往往要用到兩角和或差的正、余弦公式及正、余弦定理.7.(2013浙江,16,4分)在ABC中,C=90,M是BC的中點(diǎn).若sinBAM=,則sinBAC= .13答案答案 63解析解析令BAM=,BAC=,故|CM|=|AM|sin(-),M為BC的中點(diǎn),|BM|=|AM|sin(-).在AMB中,由正弦定理知=,即=,sin =,cos =,=cos |sinAMB|sinBM|sin2AM| sin()sinAM132 23132 21sincos33=sin cos -cos2,整理得1=2sin cos -cos2,解得tan =,故sin =.232132263評(píng)析評(píng)析本題考查解三角形,正弦定理應(yīng)用和三角函數(shù)求值問(wèn)題.考查學(xué)生的圖形觀察能力和數(shù)據(jù)處理能力.如何利用M是BC中點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.8.(2015天津,13,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為3,b-c=2,cos A=-,則a的值為 .1514答案答案8解析解析因?yàn)閏os A=-,0A,所以sin A=.由3=bcsin A得bc=24.又因?yàn)閎-c=2,所以b=6,c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=36+16+12=64.故a=8.1421 cos A15415129.(2015重慶,13,5分)在ABC中,B=120,AB=,A的角平分線AD=,則AC= .23答案答案 6解析解析依題意知BDA=C+BAC,由正弦定理得=,sin =,C+BAC=180-B=60,C+BAC=45,BAC=30,C=30.從而AC=2ABcos 30=.122sinBDA3sin B12CBAC2212610.(2015福建,12,4分)若銳角ABC的面積為10,且AB=5,AC=8,則BC等于 .3答案答案7解析解析設(shè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.由已知及bcsin A=10得sin A=,因?yàn)锳為銳角,所以A=60,cos A=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=64+25-240=49,故a=7,即BC=7.123321212評(píng)析評(píng)析本題考查了三角形的面積公式和解三角形,利用三角形的面積求出cos A是求解關(guān)鍵.11.(2015廣東,11,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若a=,sin B=,C=,則b= .3126答案答案1解析解析在ABC中,由sin B=,可得B=或B=,結(jié)合C=可知B=.從而A=,利用正弦定理=,可得b=1.126566623sinaAsinbB12.(2014天津,12,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,則cos A的值為 .14答案答案- 14解析解析由2sin B=3sin C得2b=3c,即b=c,代入b-c=a,整理得a=2c,故cos A=-.32142222bcabc222944322cccc c1413.(2014江蘇,14,5分)若ABC的內(nèi)角滿足sin A+sin B=2sin C,則cos C的最小值是 .2答案答案 624解析解析sin A+sin B=2sin C,由正弦定理得a+b=2c,cos C=,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,故cos C的最小值為.222222abcab22244(2 )8abcab22244(2 )8ababab22322 28ababab2 62 28ababab62432624評(píng)析評(píng)析考查正弦、余弦定理及基本不等式等知識(shí)的靈活運(yùn)用,對(duì)運(yùn)算及恒等變形能力有較高的要求.14.(2014課標(biāo),16,5分)已知a,b,c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,則ABC面積的最大值為 .答案答案 3解析解析因?yàn)閍=2,所以(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C可化為(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A=,又0A,故A=,又cos A=,所以bc4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào),由三角形面積公式知SABC=bcsin A=bc=bc,故ABC面積的最大值為.2222bcabc2bcbc123122242bcbc242bcbc1212323433評(píng)析評(píng)析本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式以及基本不等式的應(yīng)用,考查考生對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力以及運(yùn)算求解能力.能把2代換成a是正確解決本題的關(guān)鍵.15.(2017山東文,17,12分)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b=3, =-6,SABC=3,求A和a.ABAC解析解析本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及解三角形.因?yàn)?=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0A,所以A=.又b=3,所以c=2.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-232=29,所以a=.ABAC3422222916.(2016江蘇,15,14分)在ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的長(zhǎng);(2)求cos的值.4546A解析解析(1)因?yàn)閏os B=,0B,所以sin B=.由正弦定理知=,所以AB=5.(2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos +sin Bsin,又cos B=,sin B=,故cos A=-+=-.因?yàn)?A0).則a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入+=中,有+=,變形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根據(jù)余弦定理,有cos A=.所以sin A=.由(1)可知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B=4.sinaAsinbBsincCcos AacosBbsinCccossinAkAcossinBkBsinsinCkC652222bcabc3521 cos A45454535sincosBB評(píng)析評(píng)析本題考查的知識(shí)點(diǎn)主要是正、余弦定理以及兩角和的正弦公式.18.(2015課標(biāo),17,12分)ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,ABD面積是ADC面積的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的長(zhǎng).sinsinBC22解析解析(1)SABD=ABADsinBAD,SADC=ACADsinCAD.因?yàn)镾ABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得=.(2)因?yàn)镾ABD SADC=BD DC,所以BD=.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.1212sinsinBCACAB12219.(2013陜西,7,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則ABC的形狀為()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定以下為教師用書專用答案答案 B由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,得sin(B+C)=sin2A,sin A=1,即A=.故選B.220.(2013遼寧,6,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且ab,則B=()A. B. C. D. 12632356答案答案 A由正弦定理得sin B(sin Acos C+sin Ccos A)=sin B,即sin Bsin(A+C)=sin B,因?yàn)閟in B0,所以sin B=,所以B=或,又因?yàn)閍b,故B=,選A.121212656621.(2013天津,6,5分)在ABC中,ABC=,AB=,BC=3,則sinBAC=()A. B. C. D. 4210101053 101055答案答案 C在ABC中,由余弦定理得AC2=BA2+BC2-2BABCcos B=()2+32-23=5,解得AC=.再由正弦定理得sin A=.故選C.22225sinBCBAC23253 101022.(2014廣東,12,5分)在ABC中,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,則= .ab答案答案2解析解析利用余弦定理,將bcos C+ccos B=2b轉(zhuǎn)化為b+c=2b,化簡(jiǎn)得=2.2222abcab2222acbacab23.(2014福建,12,4分)在ABC中,A=60,AC=4,BC=2,則ABC的面積等于 .3答案答案2 3解析解析由=,得sin B=sin A=1,B=90,故C=30,SABC=ACBCsin C=42=2.sinBCAsinACBACBC42 3321212312324.(2013安徽,12,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,則角C= .答案答案 23解析解析由3sin A=5sin B及正弦定理得3a=5b,故a=b,則c=b-b=b.所以cos C=-,即C=.53103732222abcab122325.(2013山東,17,12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.79解析解析(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),又b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在ABC中,sin B=,由正弦定理得sin A=.因?yàn)閍=c,所以A為銳角,所以cos A=.因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.7921 cos B4 29sinaBb2 2321 sin A1310 227評(píng)析評(píng)析本題考查三角恒等變換和解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.26.(2014湖南,18,12分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cosCAD的值;(2)若cosBAD=-,sinCBA=,求BC的長(zhǎng). 7714216解析解析(1)在ADC中,由余弦定理,得cosCAD=.(2)設(shè)BAC=,則=BAD-CAD.因?yàn)閏osCAD=,cosBAD=-,所以sinCAD=,sinBAD=.于是sin =sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=-=.在ABC中,由正弦定理,得=,2222ACADCDAC AD7142 7 2 772 7771421 cosCAD22 71721721 cosBAD27114 3 21143 21142 7771421732sinBCsinACCBA故BC=3.sinsinACCBA37221627.(2013北京,15,13分)在ABC中,a=3,b=2,B=2A.(1)求cos A的值;(2)求c的值.6解析解析(1)因?yàn)閍=3,b=2,B=2A,所以在ABC中,由正弦定理得=.所以=.故cos A=.(2)由(1)知cos A=,所以sin A=.又因?yàn)锽=2A,所以cos B=2cos2A-1=.所以sin B=.在ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=.所以c=5.63sin A2 6sin2A2sincossinAAA2 63636321 cos A331321 cos B2 235 39sinsinaCA評(píng)析評(píng)析本題考查正弦定理及三角恒等變換,主要考查學(xué)生運(yùn)算技巧和運(yùn)算求解能力,二倍角公式和誘導(dǎo)公式的熟練應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵.考點(diǎn)二解三角形及其綜合應(yīng)用考點(diǎn)二解三角形及其綜合應(yīng)用1.(2014課標(biāo),4,5分)鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC=()A.5 B. C.2 D.11225答案答案 B SABC=ABBCsin B=1sin B=,sin B=,若B=45,則由余弦定理得AC=1,則ABC為直角三角形,不符合題意,因此B=135,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=1+2-21=5,AC=.故選B.12122122222252.(2017浙江,11,4分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率,理論上能把的值計(jì)算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”,將的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位,其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年.“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6,S6= .答案答案 3 32解析解析本題考查圓內(nèi)接正六邊形面積的計(jì)算.S6=611sin 60=.123 323.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BD=2,連接CD,則BDC的面積是 ,cosBDC= .答案答案 ; 152104解析解析本題考查余弦定理,同角三角函數(shù)關(guān)系式,二倍角公式,三角形面積公式,考查運(yùn)算求解能力.AB=AC=4,BC=2,cosABC=,ABC為三角形的內(nèi)角,sinABC=,sinCBD=,故SCBD=22=.BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC=,2cos2BDC-1=,得cos2BDC=,又BDC為銳角,cosBDC=.2222ABBCACAB BC14154154121541521414581044.(2017課標(biāo)全國(guó)文,15,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知C=60,b=,c=3,則A= .6答案答案75解析解析由正弦定理得=,sin B=,又cb,B=45,A=75.3sin606sinB22易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示本題求得sin B=后,要注意利用bc確定B=45,從而求得A=75.225.(2015課標(biāo),16,5分)在平面四邊形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,則AB的取值范圍是 .答案答案(-,+)6262解析解析如圖,依題意作出四邊形ABCD,連接BD.令BD=x,AB=y,CDB=,CBD=.在BCD中,由正弦定理得=.由題意可知,ADC=135,則ADB=135-.在ABD中,由正弦定理得=,所以=,即y=.因?yàn)?75,+75=180,所以30105,當(dāng)=90時(shí),易得y=;當(dāng)90時(shí),y=,2sinsin75xsin75xsin(135)ysin(135)y2sin2sin(135)sin2sin90(45 )sin2cos(45 )sin2(cossin )sin22(cossin )sin211tan又tan 30=,tan 105=tan(60+45)=-2-,結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)知,(-2,),且0,所以y=(-,)(,+).綜上所述:y(-,+).33tan60tan451tan60 tan4531tan331tan211tan6222626262評(píng)析評(píng)析本題考查了三角函數(shù)和解三角形,利用函數(shù)的思想方法是求解關(guān)鍵,屬偏難題.6.(2015北京,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,則= .sin2sinAC答案答案1解析解析在ABC中,由余弦定理的推論可得cos A=,由正弦定理可知=1.2222bcabc2225642 5 6 34sin2sinAC2sincossinAAC2cosaAc32 446 評(píng)析評(píng)析本題主要考查正弦定理、余弦定理的推論以及二倍角公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和知識(shí)的應(yīng)用轉(zhuǎn)化能力.7.(2014山東,12,5分)在ABC中,已知=tan A,當(dāng)A=時(shí),ABC的面積為 .ABAC6答案答案 16解析解析由=tan A,A=,得|cos=tan,即|=,所以SABC=|sin A=.ABAC6ABAC66ABACtan6cos62312ABAC122312168.(2013福建,13,4分)如圖,在ABC中,已知點(diǎn)D在BC邊上,ADAC,sinBAC=,AB=3,AD=3,則BD的長(zhǎng)為 . 2 232答案答案 3解析解析 cosBAD=cos=sinBAC=.故在ABD中,由余弦定理知,BD2=BA2+DA2-2BAADcosBAD=3,故BD=.2BAC2 2339.(2017課標(biāo)全國(guó)理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周長(zhǎng).23sinaA解析解析本題考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面積公式及其綜合應(yīng)用.(1)由題設(shè)得acsin B=,即csin B=.由正弦定理得sin Csin B=.故sin Bsin C=.(2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由題設(shè)得bcsin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故ABC的周長(zhǎng)為3+.1223sinaA123sinaA12sin3sinAA2312122331223sinaA3333方法總結(jié)方法總結(jié)解三角形的綜合應(yīng)用.(1)應(yīng)用正弦定理、余弦定理主要是將條件轉(zhuǎn)化為僅有邊或僅有角的形式,以便進(jìn)一步化簡(jiǎn)計(jì)算,例如:將csin B=變形為sin Csin B=.(2)三角形面積公式:S=absin C=acsin B=bcsin A.(3)三角形的內(nèi)角和為.這一性質(zhì)經(jīng)常在三角化簡(jiǎn)中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+C)=sin A.123sinaA12sin3sinAA12121210.(2017課標(biāo)全國(guó)理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面積為2,求b.2B解析解析本題考查了三角公式的運(yùn)用和余弦定理的應(yīng)用.(1)由題設(shè)及A+B+C=得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式兩邊平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故SABC=acsin B=ac.又SABC=2,則ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.2B151715178171241717217215117解后反思解后反思在余弦定理和三角形面積公式的運(yùn)用過(guò)程中,要重視“整體運(yùn)算”的技巧.如本題中b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的轉(zhuǎn)化就說(shuō)明了這一點(diǎn).11.(2017課標(biāo)全國(guó)理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且ADAC,求ABD的面積.37解析解析本題考查解三角形.(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),或c=4.(2)由題設(shè)可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.故ABD面積與ACD面積的比值為=1.又ABC的面積為42sinBAC=2,所以ABD的面積為.32323261sin2612AB ADAC AD1233思路分析思路分析(1)由sin A+cos A=0,可求得tan A=-,注意到A是三角形內(nèi)角,得A=,再由余弦定理求c.(2)由題意知CAD=,BAD=,于是可求得的值,再由SABC=42sinBAC=2得解.332326ABDACDSS123一題多解一題多解(2)另解一:由余弦定理得cos C=,在RtACD中,cos C=,CD=,AD=,DB=CD=,SABD=SACD=2sin C=.另解二:BAD=,由余弦定理得cos C=,CD=,AD=,SABD=4sinDAB=.另解三:過(guò)B作BE垂直AD,交AD的延長(zhǎng)線于E,在ABE中,EAB=-=,AB=4,BE=2,BE=CA,從而可得ADC EDB,BD=DC,即D為BC中點(diǎn),SABD=SABC=24sinCAB=.27ACCD73712773736277312332326121212312.(2017北京理,15,13分)在ABC中,A=60,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面積.37解析解析本題考查正、余弦定理的應(yīng)用,考查三角形的面積公式.(1)在ABC中,因?yàn)锳=60,c=a,所以由正弦定理得sin C=.(2)因?yàn)閍=7,所以c=7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b3,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面積S=bcsin A=83=6.37sincAa37323 31437121212323解后反思解后反思根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.在求解面積時(shí),經(jīng)常用余弦定理求出兩邊乘積.13.(2017江蘇,18,16分)如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱臺(tái)形玻璃容器的高均為32 cm,容器的底面對(duì)角線AC的長(zhǎng)為10 cm,容器的兩底面對(duì)角線EG,E1G1的長(zhǎng)分別為14 cm和62 cm.分別在容器和容器中注入水,水深均為12 cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l,其長(zhǎng)度為40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì))(1)將l放在容器中,l的一端置于點(diǎn)A處,另一端置于側(cè)棱CC1上,求l沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度;(2)將l放在容器中,l的一端置于點(diǎn)E處,另一端置于側(cè)棱GG1上,求l沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度. 7解析解析本小題主要考查正棱柱、正棱臺(tái)的概念,考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.(1)由正棱柱的定義,CC1平面ABCD,所以平面A1ACC1平面ABCD,CC1AC.記玻璃棒的另一端落在CC1上點(diǎn)M處.因?yàn)锳C=10,AM=40,所以MC=30,從而sinMAC=.記AM與水面的交點(diǎn)為P1,過(guò)P1作P1Q1AC,Q1為垂足,則P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,從而AP1=16.答:玻璃棒l沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度為16 cm.(如果將“沒(méi)入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為24 cm)72240(10 7)3411sinPQMAC(2)如圖,O,O1是正棱臺(tái)的兩底面中心.由正棱臺(tái)的定義,OO1平面EFGH,所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG.同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1.記玻璃棒的另一端落在GG1上點(diǎn)N處.過(guò)G作GKE1G1,K為垂足,則GK=OO1=32.因?yàn)镋G=14,E1G1=62,所以KG1=24,從而GG1=40.62 142221KGGK222432設(shè)EGG1=,ENG=,則sin =sin=cosKGG1=.因?yàn)?所以cos =-.在ENG中,由正弦定理可得=,解得sin =.因?yàn)?,所以cos =.于是sinNEG=sin(-)=sin(+)=sin cos +cos sin =+=.記EN與水面的交點(diǎn)為P2,過(guò)P2作P2Q2EG,Q2為垂足,則P2Q2平面EFGH,故P2Q2=12,從而EP2=20.答:玻璃棒l沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度為20 cm.(如果將“沒(méi)入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為20 cm)12KGG4523540sin14sin 72522425452425357253522sinPQNEG14.(2016浙江,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)證明:A=2B;(2)若ABC的面積S=,求角A的大小.24a解析解析(1)證明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以,B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B,因sin B0,得sin C=cos B.又B,C(0,),所以C=B.當(dāng)B+C=時(shí),A=;當(dāng)C-B=時(shí),A=.綜上,A=或A=.24a1224a122222424評(píng)析評(píng)析本題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦定理和三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.15.(2015浙江,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若ABC的面積為3,求b的值.412解析解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=,即B+C=,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C(0,)得sin C=,cos C=.又因?yàn)閟in B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因?yàn)锳=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.1212124342 55554C3 10102 234122評(píng)析評(píng)析本題主要考查三角函數(shù)、正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.16.(2015浙江文,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知tan=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求ABC的面積.4A2sin2sin2cosAAA4解析解析(1)由tan=2,得tan A=,所以=.(2)由tan A=,A(0,),得sin A=,cos A=.又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3.由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=.設(shè)ABC的面積為S,則S=absin C=9.4A132sin2sin2cosAAA2tan2tan1AA251310103 10104sinaAsinbB54A2 5512評(píng)析評(píng)析本題主要考查三角恒等變換、正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.17.(2014浙江,18,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知ab,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求ABC的面積.33345解析解析(1)由題意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin=sin.由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-+2B-=,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sin A=,=,得a=,由ac,得AC.從而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,1 cos22A1 cos22B32323212321226A26B66233345sinaAsincC853543 310所以,ABC的面積為S=acsin B=.128 31825評(píng)析評(píng)析本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.18.(2013浙江文,18,14分)在銳角ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2asin B=b.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求ABC的面積.3解析解析(1)由2asin B=b及=,得sin A=.因?yàn)锳是銳角,所以A=.(2)由a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36.又b+c=8,所以bc=.由S=bcsin A,得ABC的面積為.3sinaAsinbB323283127 33評(píng)析評(píng)析本題主要考查正弦、余弦定理,三角形面積公式及三角運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.19.(2016課標(biāo)全國(guó),17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=,ABC的面積為,求ABC的周長(zhǎng).73 32解析解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=,所以C=.(6分)(2)由已知,得absin C=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,從而(a+b)2=25.(10分)所以ABC的周長(zhǎng)為5+.(12分)123123 3237評(píng)析評(píng)析 本題重點(diǎn)考查了正弦定理、余弦定理及三角形面積公式,同時(shí),對(duì)三角恒等變換的公式也有所考查.在解題過(guò)程中,要注意先將已知條件中的“邊”與“角”的關(guān)系,通過(guò)正弦定理轉(zhuǎn)化為“角”之間的關(guān)系,再運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)求解.20.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.22解析解析(1)由余弦定理及題設(shè)得cos B=.又因?yàn)?B,所以B=.(6分)(2)由(1)知A+C=.cos A+cos C=cos A+cos=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos.(11分)因?yàn)?A0,所以A.于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2+.因?yàn)?A,所以0sin A,因此-2+.由此可知sin A+sin C的取值范圍是.sincosAAabsinsinAB2A2,22222A20,422A21sin4A984222221sin4A98982 9,28評(píng)析評(píng)析本題以解三角形為背景,考查三角恒等變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),對(duì)考生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性有較高要求.22.(2015陜西,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.向量m=(a,b)與n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求ABC的面積.37解析解析(1)因?yàn)閙n,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B0,從而tan A=,由于0A0,所以c=3.故ABC的面積為bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,從而sin B=,又由ab,知AB,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin333373123 327sin32sinB2172 773B=sin Bcos+cos Bsin=.所以ABC的面積為absin C=.333 2114123 3223.(2014陜西,16,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.(1)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比數(shù)列,求cos B的最小值.解析解析(1)證明:a,b,c成等差數(shù)列,a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)a,b,c成等比數(shù)列,b2=ac.由余弦定理得cos B=,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立.cos B的最小值為.2222acbac222acacac22acacac1212評(píng)析評(píng)析本題考查了等差、等比數(shù)列,正、余弦定理,基本不等式等知識(shí);考查運(yùn)算求解能力.24.(2013課標(biāo)全國(guó),17,12分)如圖,在ABC中,ABC=90,AB=,BC=1,P為ABC內(nèi)一點(diǎn),BPC=90.(1)若PB=,求PA;(2)若APB=150,求tanPBA. 312解析解析(1)由已知得,PBC=60,所以PBA=30.在PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2cos 30=.故PA=.(2)設(shè)PBA=,由已知得PB=sin .在PBA中,由正弦定理得=,化簡(jiǎn)得cos =4sin .所以tan =,即tanPBA=.1431274723sin150sinsin(30)33434評(píng)析評(píng)析本題考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查了運(yùn)算求解能力和分析、解決問(wèn)題的能力.題目新穎且有一定的難度,通過(guò)PB把PBC和PAB聯(lián)系起來(lái)利用正弦定理解題是關(guān)鍵.25.(2015四川,19,12分)如圖,A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角.(1)證明:tan=;(2)若A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值. 2A1cossinAA2A2B2C2D解析解析(1)證明:tan=.(2)由A+C=180,得C=180-A,D=180-B.由(1),有tan+tan+tan+tan=+=+.連接BD.在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcos A,在BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C,所以AB2+AD2-2ABADcos A=BC2+CD2+2BCCDcos A.則cos A=.于是sin A=.2Asin2cos2AA22sin22sincos22AAA1cossinAA2A2B2C2D1cossinAA1cossinBB1cos(180)sin(180)AA1cos(180)sin(180)BB2sin A2sinB22222()ABADBCCDAB ADBC CD222265342 (6 53 4) 3721 cos A23172 107連接AC.同理可得cos B=,于是sin B=.所以,tan+tan+tan+tan=+=+=.22222()ABBCADCDAB BCAD CD222263542 (6 35 4) 11921 cos B211196 10192A2B2C2D2sin A2sinB272 102 196 104 103評(píng)析評(píng)析本題主要考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式、余弦定理、簡(jiǎn)單的三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力,考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.26.(2014江西,4,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,則ABC的面積是()A.3 B. C. D.3 39 323 323以下為教師用書專用答案答案 C c2=(a-b)2+6,即c2=a2+b2-2ab+6.C=,由余弦定理得c2=a2+b2-ab,由和得ab=6,SABC=absin C=6=,故選C.31212323 3227.(2014重慶,10,5分)已知ABC的內(nèi)角A,B,C滿足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面積S滿足1S2,記a,b,c分別為A,B,C所對(duì)的邊,則下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)8 B.ab(a+b)16C.6abc12 D.12abc24122答案答案 A設(shè)ABC的外接圓半徑為R,由三角形內(nèi)角和定理知A+C=-B,A+B=-C.于是sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+sin 2A+sin 2B=-sin 2C+sin 2A+sin 2B+sin 2C=2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C=2sin Ccos(A-B)-cos(A+B)=4sin Asin Bsin C=sin Asin Bsin C=.則S=absin C=2R2sin Asin Bsin C=R21,2,R2,2,abc=8R3sin Asin Bsin C=R38,16 ,知C、D均不正確.bc(b+c)bca=R38,A正確.事實(shí)上,注意到a、b、c的無(wú)序性,并且168,若B成立,則A必然成立,排除B.故選A.12121212121218121422228.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=,AB=6,AC=3,點(diǎn)D在BC邊上,AD=BD,求AD的長(zhǎng).342解析解析設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3)2+62-236cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sin B=,由題設(shè)知0B,所以cos B=.在ABD中,由正弦定理得AD=.223410sinbBACa33 101010421 sin B11103 1010sinsin(2 )ABBB6sin2sincosBBB3cosB1029.(2014北京,15,13分)如圖,在ABC中,B=,AB=8,點(diǎn)D在BC邊上,且CD=2,cosADC=.(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的長(zhǎng). 317解析解析(1)在ADC中,因?yàn)閏osADC=,所以sinADC=.所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcos B-cosADCsin B=-=.(2)在ABD中,由正弦定理得BD=3.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=82+52-285=49.所以AC=7.174 374 371217323 314sinsinABBADADB3 38144 3712評(píng)析評(píng)析本題考查了正、余弦定理等三角形的相關(guān)知識(shí);考查分析推理、運(yùn)算求解能力.30.(2014安徽,16,12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.4A解析解析(1)因?yàn)锳=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b.因?yàn)閎=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A=-.由于0A,所以sin A=.故sin=sin Acos+cos Asin=+=.2222acbac32222bcabc9 1 126 1321 cos A1192 234A442 23221322426評(píng)析評(píng)析本題考查正、余弦定理,三角變換等知識(shí);考查基本運(yùn)算求解能力;屬容易題.31.(2014大綱全國(guó),17,10分)ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.13解析解析由題設(shè)和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因?yàn)閠an A=,所以cos C=2sin C,tan C=.(6分)所以tan B=tan180-(A+C)=-tan(A+C)=(8分)=-1,即B=135.(10分)1312tantantantan1ACAC32.(2013江蘇,18,16分)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min,山路AC長(zhǎng)為1 260 m,經(jīng)測(cè)量,cos A=,cos C=.(1)求索道AB的長(zhǎng);(2)問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)? 121335解析解析(1)在ABC中,因?yàn)閏os A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.從而sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=+=.由=,得AB=sin C=1 040(m).所以索道AB的長(zhǎng)為1 040 m.(2)設(shè)乙出發(fā)t分鐘后,甲、乙兩游客距離為d m,此時(shí),甲行走了(100+50t)m,乙距離A處130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)=200(37t2-70t+50),12133551345513351213456365sinABCsinACBsinACB1 2606365451213因0t,即0t8,故當(dāng)t=(min)時(shí),甲、乙兩游客距離最短.(3)由=,得BC=sin A=500(m).乙從B出發(fā)時(shí),甲已走了50(2+8+1)=550(m),還需走710 m才能到達(dá)C.設(shè)乙步行的速度為v m/min,由題意得-3-3,解得v,所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在(單位:m/min)范圍內(nèi).1 0401303537sinBCAsinACBsinACB1 2606365513500v710501 25043625141 250 625,4314評(píng)析評(píng)析本題考查正余弦定理、二次函數(shù)的最值以及兩角和的正弦等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,考查學(xué)生閱讀能力和分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力.33.(2013江西,16,12分)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范圍.3解析解析(1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0,即有sin Asin B-sin Acos B=0,因?yàn)閟in A0,所以sin B-cos B=0,又cos B0,所以tan B=,又0B,所以B=.(2)因?yàn)閍+c=1,cos B=,有b2=3+.又0a1,于是有b21,即有b1.3333312212a14141234.(2013湖北,17,12分)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面積S=5,b=5,求sin Bsin C的值.3解析解析 (1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=或cos A=-2(舍去). 因?yàn)?A,所以A=.(2)由S=bcsin A=bc=bc=5,得bc=20.又b=5,知c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故a=.又由正弦定理得sin Bsin C=sin Asin A=sin2A=.12312123234321baca2bca2021345735.(2013課標(biāo)全國(guó),17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求ABC面積的最大值.解析解析(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B.又A=-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.由,和C(0,)得sin B=cos B.又B(0,),所以B=.(2)ABC的面積S=acsin B=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos.又a2+c22ac,故ac