高等數(shù)學微積分微分中值定理與導數(shù)的應(yīng)用本

會計學1高等數(shù)學微積分高等數(shù)學微積分 微分中值定理與導數(shù)的微分中值定理與導數(shù)的應(yīng)用本應(yīng)用本2xyo)(xfy 1 2 幾何解釋:.0位位于于水水平平位位置置的的那那一一點點續(xù)續(xù)滑滑動動時時，就就必必然然經(jīng)經(jīng)過過，當當切切線線沿沿曲曲線線連連率率為為顯顯然然有有水水平平切切線線，其其斜斜曲曲線線在在最最高高點點和和最最低低點點第2頁/共111頁3證明:達達到到最最大大值值證證明明。在在只只就就0)(xxf),()(,),()(0000 xfxxfbaxxxxf 就就有有內(nèi)內(nèi)在在達達到到最最大大值值，所所以以只只要要在在由由于于, 0)()( 00 xfxxf即即;0, 0 )()( 00時時當當從從而而 xxxfxxf;0, 0 )()(00時時當當 xxxfxxf0 )()( lim0)(000 x0 xxfxxfxf這這樣樣. 0 )()( lim0)(000 x0 xxfxxfxf.0)(0 xf所所以以可導，可導，在點在點而而0)(xxf第3頁/共111頁4幾何解釋:xO yC abyf(x)AB 如果連續(xù)光滑的曲線 yf(x) 在端點 A、B 處的縱坐標相等。那么，在曲線弧上至少有一點 C( , f()，曲線在 C點的切線平行于 x 軸。如果函數(shù)yf(x)滿足條件：(1)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，(2)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導，(3) f(a)f(b)，則至少存在一點(a, b)，使得f () 0。第4頁/共111頁5證.)1(mM 若若,)(連續(xù)連續(xù)在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 則則. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都都有有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同時時在在端端點點),(afM 設(shè)設(shè).)(),(Mfba 使使，則則由費馬引理,.0)( f第5頁/共111頁6注意： f(x)不滿足條件(1) f(x)不滿足條件(3) f(x)不滿足條件(2)BxO yAabxO yABabcxO yABab 如果定理的三個條件有一個不滿足，則定理的結(jié)論就可能不成立。第6頁/共111頁7在在, 0 上上連連續(xù)續(xù), ,), 0( 內(nèi)內(nèi)可可導導, , 且且0)()0( ff, , 例1驗證，xxfsin)( ，xxfcos)( ，0)2( f. ), 0(2 第7頁/共111頁8 例2 不求導數(shù)，判斷函數(shù)f(x)(x1)(x2)(x3)的導數(shù)有幾個零點，以及其所在范圍。 解 f(1)f(2)f(3)0，f(x)在1, 2，2, 3上滿足羅爾定理的三個條件。 在 (1, 2) 內(nèi)至少存在一點 1，使 f (1)0，1是 f (x)的一個零點。 在(2, 3)內(nèi)至少存在一點 2，使f (2)0，2也是f (x)的一個零點。 f (x) 是二次多項式，只能有兩個零點，分別在區(qū)間(1, 2)及(2, 3)內(nèi)。第8頁/共111頁9 如果函數(shù)f(x)滿足：(1)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，(2)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導，則至少存在一點(a, b)內(nèi)，使得幾何意義： C2h xO yABaby=f(x)C1 得得到到將將羅羅爾爾定定理理條條件件中中去去掉掉),()(bfaf .,ABCAB行于弦行于弦該點處的切線平該點處的切線平在在至少有一點至少有一點上上在曲線弧在曲線弧.)()()(abafbff 第9頁/共111頁10證明容容易易驗驗證證, ,)(xF滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件, , 于于是是 ba, , ,使使 即即 abafbff )()()( . . 作輔助函數(shù) ，)()()()()(axabafbfxfxF ，0)()()()( abafbffF 第10頁/共111頁11xxfln)( , ,在在e, 1 上上滿滿足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的條條件件, , 例3，xxf1)( ，1e11e)1() e ( ff，e), 1(1e .1e)1() e ()( fff 使使第11頁/共111頁12).10()()()(000 xxxfxfxxf).10()(0 xxxfy拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.，)()()(abfafbf 之之間間和和介介于于ba 或)()()(ababafafbf ,10 , 特別地,或.的精確表達式的精確表達式增量增量 y 拉格朗日中值公式另外的表達方式：第12頁/共111頁13如如果果在在),(ba內(nèi)內(nèi)恒恒有有0)( xf, ,則則)(xf在在),(ba內(nèi)內(nèi)為為一一常常數(shù)數(shù). . 推論1),(, ),(2121xxxxba 內(nèi)內(nèi)任任取取兩兩點點在在)( )()()(211212xxxxfxfxf 則則，0)()(, 0)(12 xfxff . )()(12xfxf 即即由由21,xx的的任任意意性性可可知知, , )(xf常常數(shù)數(shù), ,),(bax . . 證明在在,21xx上上對對)(xf使使用用拉拉格格朗朗日日定定理理, , 第13頁/共111頁14如如果果)(xf和和)(xg在在),(ba內(nèi)內(nèi)可可導導, ,且且在在),(ba內(nèi)內(nèi)恒恒有有)()(xgxf , ,則則在在),(ba內(nèi)內(nèi))(xf和和)(xg最最多多相相差差一一個個常常數(shù)數(shù). . 由由推推論論1 1 即即得得結(jié)結(jié)論論. . 作作輔輔助助函函數(shù)數(shù) )()()(xgxfxF , , 則則 0)()()( xgxfxF, , 推論2證明第14頁/共111頁15而而 2)0( f, , 故故 2)( xf, , 1 , 1 x. . 證證明明恒恒等等式式 2arccosarcsin xx, , 1 , 1 x 設(shè)設(shè) xxxfarccosarcsin)( , , 1 , 1 x 01111)(22 xxxf, , 1 , 1 x Cxf )( , 1 , 1 x 且且 2)1()1( ff, , 類類似似可可得得：2cotarcarctan xx, ,Rx . . 例4證由推論1知,第15頁/共111頁16證證明明：aababb1lnln1 , ba 0 令令 xxfln)( , ,在在),(ba上上利利用用拉拉格格朗朗日日定定理理, , 例5利用拉格朗日定理可證明不等式. 證，ababf lnln1)( ,ba ,111ab .1lnln1aababb 即得即得第16頁/共111頁17例6.)1ln(1,0 xxxxx 時時證證明明當當證, 0)(條件條件上滿足拉格朗日定理的上滿足拉格朗日定理的在在xtf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx ),1ln()(ttf 設(shè)設(shè).)1ln(1 xxxx 即得即得第17頁/共111頁18不不妨妨設(shè)設(shè)yx , ,令令ttfsin)( , , 在在,yx上上利利用用拉拉格格朗朗日日定定理理： 而而 1cos , , 故故 yxyx sinsin. . 特特別別, ,令令0 y，得得 xx sin. . ),(yx , ,使使 )(cossinsinyxyx , , 例7證類似可證： ，yxyx arctanarctanRyx ,，yxyx sinsinRyx ,特別，xx sinRx 第18頁/共111頁19 設(shè)函數(shù)f(x)及g(x)滿足條件： (1)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)， (2)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導， (3)在(a, b)內(nèi)任何一點處g(x)均不為零，則至少存在一點(a，b)內(nèi)，使得)()()()()()( gfagbgafbf 如果取g(x)x，那么柯西中值定理就變成了拉格朗日中值定理.說明：證略.第19頁/共111頁20例8).(3)(2)2 , 1(,:)2 , 1(2 , 1)(h h h hh h ffxf 使使得得，存存在在內(nèi)內(nèi)可可導導，證證明明上上連連續(xù)續(xù)，在在證,2 , 1 )(條件條件上滿足拉格朗日定理的上滿足拉格朗日定理的在在xf)2 , 1(),12)()1()2( fff,)(2xxg 設(shè)設(shè),2 , 1 )(),(上上滿滿足足柯柯西西定定理理的的條條件件在在xgxf)2 , 1( ,)()()1()2()1()2( h hh hh hgfggff,2)(3)1()2(h hh hfff 即即,2)(3)(h hh h ff 即即).(3)(2)2 , 1(,h h h hh h ff ，使使得得第20頁/共111頁21P157 習題4.11. 3. 4.(2) 8. 9. 第21頁/共111頁22 在函數(shù)商的極限中，如果分子分母同是無窮小量或同是無窮大量，那么極限可能存在，也可能不存在，這種極限稱為不定式，記為洛必達法則是求函數(shù)極限的一種重要方法. ，00. 及第22頁/共111頁23( (1 1) )0)(lim)(lim xgxfaxax； ( (2 2) )(xf和和)(xg在在點點0 x的的某某去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可導導，且且0)( xg； 則則 Axgxfax )()(lim( (或或 ) ). . ( (3 3) )Axgxfax )()(lim( (或或 ) ), , 00設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf和和)(xg在在點點ax 的的 定理(洛必達法則) (證略) 某去心鄰域內(nèi)有定義且可導,且滿足下列條件： 第23頁/共111頁24)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax 1 1. .ax 可可改改為為 x； 2 2. . )(lim)(limxgxfaxax時時洛洛必必達達法法則則仍仍成成立立； 3 3. .若若不不是是 “00” 或或 “ ” 未未定定式式, ,不不能能使使用用洛洛必必達達法法則則； 4 4. .當當)()(limxgxf 不不存存在在時時, ,且且不不是是 , ,不不能能說說)()(limxgxf不不存存在在, , 說明： 5.洛必達法則可多次使用。 只能說此時使用洛必達法則失敗,需另想它法； )()(lim)()(limxgxfxgxfxx 第24頁/共111頁25例13245lim241 xxxxx12333lim221 xxxx266lim1 xxx.23 )00(練習:123lim2331 xxxxxx2254lim31 xxx.41 比較:因式分解，)3)(1()4)(1(lim231 xxxxxxx原原式式.41 第25頁/共111頁26例2xxx1)1(lim0 1)1(lim10 xx. )00(比較:xxxxx)1ln()1ln(1)1(lim0 原式原式,1)1(tx 令令, )1ln()1ln(tx 則則.0,0tx時時當當. xxttxt)1ln(lim)1ln(lim00 )0( 第26頁/共111頁27練習:2031)cos(sinlimxxx xxxx6cos)sin(sinlim0 .61 2031)cos(sinlimxxx 22032/sinlimxxx .61 或解等價無窮小替換第27頁/共111頁28例3xxx1sinarctan2lim 22111limxxx 221limxxx . 1 )00(xxx1arctan2lim 第28頁/共111頁29例4)00(xxxx10)1(elim ，xxy1)1( ，xxy)1ln(ln 2)1ln(1xxxxyy )1()1ln()1()1(lim210 xxxxxxxx 2010)1ln()1(lim1)1(limxxxxxxxxx xxx2)1ln(lime0 .2e 及時分離非零因子 第29頁/共111頁30例5)( 注注: :0lnlim xxx, ,0 . . xxxlnlim xxx211lim xx2lim .0 注注: : xxxelim, ,0 . . 例65elimxxx )( 45elimxxx . ! 5elimxx 第30頁/共111頁31例6xxx3tantanlim2 xxx3sec3seclim222 xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxxxxxcos3coslimsin3sinlim22 .3 )( 或解：xxx3tantanlim2 xxxxxxcos3coslim3sinsinlim22 xxxsin3sin3lim2 .3 及時分離非零因子 xxxsin3sin3lim2 第31頁/共111頁32例7解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式)sin1(limxx 洛必達法則失效。)cos11(limxxx 原式原式. 1 .1lim2xxx 求求練習不能使用洛必達法則。.111lim2xx原式解極限不存在221lim1limxxxxxx xxx21lim 第32頁/共111頁33,0 例8)0( 解法:化為 或 型不定式。00 型型） 0 1 步驟:,10 .0100 或或xxxlnlim0 ( (0 ) ) xxxlnlim010/1lim xxx xx 0lim1.0 其它不定式：, ,00,1 0 第33頁/共111頁34例9)( 0101 0000 型型） 2步驟: xxx1)1ln(1lim0)1ln()1ln(lim0 xxxxx 20)1ln(limxxxx xxx2111lim0 )1(21lim0 xx )00(.21 第34頁/共111頁35步驟:型型00,1,0)3 ln01ln0ln01000取對數(shù)取對數(shù).0 例10)0(00e . 1 xxxtan0lim xxxlntanlim0e xxx20sinlime xxxlntan0elim 對數(shù)恒等式xxlne xxxcotlnlim0e 第35頁/共111頁36例11xxx 111lim)1( xxxln111elim xxx 1lnlim1e11 lim1e xx.e1 或解(重要極限法)： xxx 111lim xxx 111)1(1lim.e1 第36頁/共111頁37例12.)(cotlimln10 xxx )(0 ,ln)ln(cotln xxy 取取對對數(shù)數(shù)得得xxxln)ln(cotlim0 xxxx1csccot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .e1 原式原式,)(cotln1xxy 令令解第37頁/共111頁38練習)1( 解,)sin(21xxxy 記記200lnsinlnlimlnlimxxxyxx xxxxxxsin2sincoslim20 206cossincoslimxxxxxx ,61 .)sin(lim210 xxxx求求.e 61 原式原式xxxxx21sincoslim0 302sincoslimxxxxx 第38頁/共111頁39求求 nnnnba)2(lim ,0( a,)0 b. 解,1xn 令令，原式原式xxxxba10)2(lim ，令令xxxbay1)2( ，則則xbayxx2ln)ln(ln )1( 2)ln(e ab 原原式式xxxxxbabbaa lnlnlim0 xbayxxxx2ln)ln(limlnlim00 )00(，2)ln(ab .ab 例13 這是數(shù)列極限, 不能直接使用洛必達法則, 要先化為函數(shù)極限.第39頁/共111頁40或解xxxxba10)2(lim 原式原式xxxxba10)2111(lim xbabaxxxxxxxba2111120)2111(lim xbaxxx211lim0e 2lnlneba .ab axaxln1 )0(x求求 nnnnba)2(lim ,0( a,)0 b. 例13第40頁/共111頁41洛必達法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取對數(shù)取對數(shù)令令gfy 第41頁/共111頁423. 若 不存在時,不能斷定原極限是否存在,此時法則失效,改用其它方法.洛必達法則并不能解決一切不定式的極限問題.)()(limxgxfax 應(yīng)用洛必達法則應(yīng)注意的幾個問題:1. 應(yīng)用洛必達法則時要分別求分子及分母的導數(shù),切忌不要把函數(shù)當做整個分式來求導.2. 洛必達法則可以累次使用,但必須注意,每次使用前需確定它是否為不定式.4. 使用洛必達法則時,要靈活結(jié)合其它方法,如等價無窮小替換、湊重要極限、分離非零因子、恒等變形、換元等.第42頁/共111頁43P164 習題4.21.(1)(4)(7)(10)(12)(15)第43頁/共111頁44一、函數(shù)單調(diào)性的判定法第44頁/共111頁45觀察與思考：函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)減少 函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的符號有什么關(guān)系？0)( xf0)( xf第45頁/共111頁46 函數(shù)單調(diào)增加時導數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)減少時導數(shù)小于零。0)( xf0)( xf函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)符號的關(guān)系觀察結(jié)果：函數(shù)單調(diào)減少函數(shù)單調(diào)增加第46頁/共111頁47xyo)(xfy xyo)(xfy 0)( xf0)( xf定理.),(,)(內(nèi)內(nèi)可可導導上上連連續(xù)續(xù)，在在在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)babaxfy 上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在）（,)(0)(),(1 baxfyxfba .,)(0)(),()2( 上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在baxfyxfba 第47頁/共111頁48證),(,21baxx ,21xx 且且應(yīng)用拉格朗日定理,得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf ；上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在,)(baxfy , 0)(),( xfba內(nèi)內(nèi)，若若在在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在baxfy 第48頁/共111頁49例1解.ln的的單單調(diào)調(diào)性性討討論論函函數(shù)數(shù)xy . 1e xy,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y.函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)增增加加).,(: D定定義義域域又又例2.1e的的單單調(diào)調(diào)性性討討論論函函數(shù)數(shù) xyxxy1 ,0 .)(ln單單調(diào)調(diào)增增加加嚴嚴格格在在定定義義域域內(nèi)內(nèi)所所以以xy 解第49頁/共111頁50例3解.)(32的的單單調(diào)調(diào)性性確確定定函函數(shù)數(shù)xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0導數(shù)不存在導數(shù)不存在時時當當 x時，時，當當0 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在), 0 時，時，當當 x0, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在0 ,(32xy xoy第50頁/共111頁51例4解.31292)(23的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間確確定定函函數(shù)數(shù) xxxxf).,(: D12186)(2 xxxf，)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx時，時，當當1 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在1 ,(時時，當當21 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)減減少少；在在2 , 1時，時，當當 x2, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 2 第51頁/共111頁52也可用列表的方式，x1,(2, 1 ), 2 y y例4解.31292)(23的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間確確定定函函數(shù)數(shù) xxxxf).,(: D12186)(2 xxxf，)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx第52頁/共111頁53.,)(內(nèi)內(nèi)導導數(shù)數(shù)的的符符號號然然后后判判斷斷區(qū)區(qū)間間的的定定義義區(qū)區(qū)間間數(shù)數(shù)分分函函用用駐駐點點及及不不可可導導點點來來劃劃xf 導數(shù)等于零的點和不可導點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點方法:注意: 區(qū)間內(nèi)個別點導數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,3xy .),(上上嚴嚴格格單單調(diào)調(diào)增增加加但但在在 ,032 xy稱駐點, 0)0( yxyo第53頁/共111頁54例5證.)1ln(,0成成立立試試證證時時當當xxx ),1ln()(xxxf 設(shè)設(shè).1)(xxxf 則則, 0)( ,), 0(,), 0)( xfxf且且上上可可導導在在上上連連續(xù)續(xù)在在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 , 0)0( f而而時，時，當當0 x,0)( xf).1ln(xx 即即可利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，)0()(fxf 第54頁/共111頁55.0)( ,1e xxx證證明明不不等等式式例6證, )1(e)(xxfx 令令,1e)( xxf則則，時時當當0 x,0)( xf,0) 0()( fxf;1exx 即即，時時當當0 x,0)( xf,0) 0()( fxf.1exx 即即綜上所述，.1e 0 xxx 總總有有時時當當，第55頁/共111頁56有且只有一個實根。有且只有一個實根。證明方程證明方程0arctan4 xx ，設(shè)設(shè)xxxfarctan4)( .1)1( ,4)0( ff .)(至至少少有有一一個個零零點點函函數(shù)數(shù)xf.)( 至至多多只只有有一一個個零零點點xf.)( 單單調(diào)調(diào)增增加加xf0111)(2 xxf又又由連續(xù)函數(shù)的零點存在定理知，有且只有一個實根。有且只有一個實根。0)( xf利用函數(shù)的單調(diào)性討論方程的根例7證第56頁/共111頁57單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實根的個數(shù)和證明不等式.第57頁/共111頁58問題:如何研究曲線的彎曲方向?xyoNABM第58頁/共111頁59觀察與思考：函數(shù)曲線除了有上升和下降外，還有什么特點？第59頁/共111頁60 定義一 如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點的切線的上方，則稱曲線在這個區(qū)間內(nèi)是上凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點的切線的下方，則稱曲線在這個區(qū)間內(nèi)是下凹的。曲線凹向的定義上凹的下凹的第60頁/共111頁61設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，在在),(ba內(nèi)內(nèi)可可導導. . 若若對對),(ba中中任任一一點點0 x, ,有有 , )()()()(000 xxxfxfxf , ),(bax 0 xx 則則稱稱函函數(shù)數(shù)曲曲線線在在,ba上上是是上上( (下下) )凹凹的的 曲線凹向的定義上凹的下凹的第61頁/共111頁62xyo)(xfy 圖形上任意弧段位于所張弦的上方：下凹xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位于所張弦的下方：上凹221xx 221xx )2(21xxf )2(21xxf 2)()(21xfxf 2)()(21xfxf 1x2x第62頁/共111頁63;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121內(nèi)的圖形是上凹的內(nèi)的圖形是上凹的在在那末稱那末稱恒有恒有兩點兩點內(nèi)任意內(nèi)任意如果對如果對內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在設(shè)設(shè)baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),( 212121內(nèi)的圖形是下凹的內(nèi)的圖形是下凹的在在那末稱那末稱恒有恒有內(nèi)任意兩點內(nèi)任意兩點如果對如果對baxfxfxfxxfxxba 定義二xyo1x2x)(xfy xyo1x2x)(xfy 第63頁/共111頁64觀察與思考： 曲線的凹向與函數(shù)的導數(shù)的單調(diào)性有什么關(guān)系？拐點上凹的下凹的當曲線是上凹的時， f (x)單調(diào)增加。當曲線是下凹的時， f (x)單調(diào)減少。曲線凹向的判定曲線上凹與下凹的分界點稱為曲線的拐點。第64頁/共111頁65設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在,ba上連續(xù)，在上連續(xù)，在),(ba內(nèi)內(nèi)二階可導二階可導. . xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y定理( (1 1) ) 如如果果,0)( xf,),(bax 則則曲曲線線)(xfy 在在,ba上上是是上上凹凹的的； ( (2 2) ) 如如果果,0)( xf,),(bax 則則曲曲線線)(xfy 在在,ba上上是是下下凹凹的的； 第65頁/共111頁66例8.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解,32xy ,6xy 時，時，當當0 x, 0 y；為下凹的為下凹的在在曲線曲線0 ,(時，時，當當0 x, 0 y；在在為上凹的為上凹的曲線曲線), 0 .)0 , 0(是是曲曲線線的的拐拐點點點點x yO3xy 第66頁/共111頁67例9.143 34區(qū)間及拐點區(qū)間及拐點的上凹、下凹的上凹、下凹求曲線求曲線 xxy解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00上凹下凹上凹拐點拐點)1 , 0()2711,32(第67頁/共111頁68例10解拐點的求法：1.找出二階導數(shù)為零的點或不可導點；2. 若它兩邊的二階導數(shù)值異號,則為拐點,若同號則不是拐點.3的的拐拐點點求求曲曲線線xy ,0時時當當 x,3132 xy,9235 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可導導點點yyx , 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)但在但在, 0,), 0( y內(nèi)內(nèi)在在.)0 , 0(3的拐點的拐點是曲線是曲線點點xy 第68頁/共111頁69例11.32的拐點的拐點求曲線求曲線xy 解當當0 x和和當當0 x時時, ,均均有有0 y, , ，3132 xy，3494 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可導導點點yyx 故故)0, 0(不不是是拐拐點點. . 第69頁/共111頁70P169 習題4.32.(1)(4) 3.(1) 4.(4) 9. 第70頁/共111頁71oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x一、函數(shù)的極值及其求法第71頁/共111頁72設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在0 x的的某某個個鄰鄰域域),(0 xU有有定定義義, ,且且當當),(0 xUx 時時, ,恒恒有有)()(0 xfxf , ,則則稱稱)(0 xf為為)(xf的的一一個個極極大大值值；如如果果當當),(0 xUx 時時, ,恒恒有有)()(0 xfxf , ,則則稱稱)(0 xf為為)(xf的的一一個個極極小小值值. . 定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.注：極值是局部性的概念,極大值不一定比極小值大. oxy0 xoxy0 x第72頁/共111頁73定理1(必要條件)由費馬引理可知，若若)(xf在在極極值值點點0 x .0)( 0 xf處處可可導導，則則導數(shù)等于零的點稱為駐點. 對可導函數(shù)來講,極值點必為駐點, 但駐點只是極值點的必要條件,不是充分條件. 如如3xy 的的駐駐點點為為0 x, ,但但它它不不是是極極值值點點. . 如如xy 在在0 x處處不不可可導導, ,但但卻卻是是極極小小值值點點. . 另一方面, 不可導點也可能是極值點, x yO3xy x yOxy 第73頁/共111頁74 這就是說,極值點要么是駐點,要么是不可導點,兩者必居其一. 我們把駐點和孤立的不可導點統(tǒng)稱為極值嫌疑點. 下面給出兩個充分條件,用來判別這些嫌疑點是否為極值點. 第74頁/共111頁75定理2(極值存在的第一充分條件)xyoxyo0 x0 x 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù), ,在在0 x的的某某去去心心鄰鄰域域),(0 xU內(nèi)內(nèi)可可導導. . (1) (1) 若若),(00 xxx 時時, ,0)( xf, , ),(00 xxx時時, ,0)( xf, , 則則0 x為極大值點；為極大值點； ( (2 2) ) 若若),(00 xxx 時時, ,0)( xf, , ),(00 xxx時時, ,0)( xf, , 則則0 x為極為極小小值點；值點； ( (3 3) ) 如如果果在在上上述述兩兩個個區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi))(xf 同同號號, ,則則 0 x不不是是極極值值點點. . xyoxyo0 x0 x 一階導數(shù)變號法第75頁/共111頁76例1解.593)(23的的極極值值求求函函數(shù)數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點得駐點列表討論x)1,( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00極大值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 ,)3)(1(3 xx第76頁/共111頁77例2解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時時當當xfx 時，時，當當2 x; 0)( xf時，時，當當2 x. 0)( xf.)(1)2(的極大值的極大值為為xff .)(在該點連續(xù)在該點連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xfM第77頁/共111頁78定理3(極值存在的第二充分條件)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在它它的的駐駐點點0 x處處二二階階可可導導, ,則則 ( (1 1) ) 如如果果0)(0 xf, ,則則 0 x為為極極小小值值點點； ( (2 2) ) 如如果果0)(0 xf, ,則則 0 x為為極極大大值值點點； ( (3 3) ) 如如果果0)(0 xf, ,則則無無法法判判斷斷. . 稱為“二階導數(shù)非零法”(1)記憶:幾何直觀； ( (3 3) )當當0)(0 xf時時, ,失失效效, ,如如: :32, xx在在0 x處處 . . xyo0 x xyo0 x 說明：(2) 此法只適用于駐點,不能用于判斷不可導點； 第78頁/共111頁79例3解.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得駐點得駐點, )2)(4(3 xx,66)( xxf )4(f, 018 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f, 018 )2(f故極小值故極小值.48 第79頁/共111頁80(1) 確定函數(shù)的定義域； (4) 用極值的第一或第二充分條件判定.注意 第二充分條件只能判定駐點的情形. 求極值的步驟:);(2)xf 求導數(shù)求導數(shù)(3) 求定義域內(nèi)部的極值嫌疑點(即駐點或 一階導數(shù)不存在的點)； 第80頁/共111頁81oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上上的的最最大大值值與與最最小小值值存存在在上上連連續(xù)續(xù)，則則在在若若函函數(shù)數(shù)baxfbaxf極值是局部性的,而最值是全局性的. 第81頁/共111頁82具體求法： (1) (1) 求出定義域求出定義域內(nèi)部內(nèi)部的極值嫌疑點的極值嫌疑點( (駐點和不可導點駐點和不可導點) ) kxx,1, ,并算出函數(shù)值并算出函數(shù)值), 2 , 1()(kixfi ； (2) (2) 求出端點的函數(shù)值求出端點的函數(shù)值)(),(bfaf； ( (3 3) ) 最最大大值值 )(),(),(,),(max1bfafxfxfMk 最最小小值值 )(),(),(,),(min1bfafxfxfmk . 第82頁/共111頁83例4解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值與最小值上的最大值與最小值在在求函數(shù)求函數(shù) xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx計算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f，最大值最大值142)4( f比較得. 7)1( f最小值最小值第83頁/共111頁841 1）如如果果)(xf在在,ba上上單單調(diào)調(diào), ,則則它它的的最最值值必必在在端端點點處處取取到到； 2 2）如果）如果)(xf在在,ba上連續(xù)上連續(xù), ,且在且在 ),(ba內(nèi)可導內(nèi)可導, ,且有惟一駐點且有惟一駐點, , 更進一步,若實際問題中有最大(小)值,且有惟一駐點,則不必判斷極大還是極小,立即可以斷定該駐點即為最大(小)值點. 則若為極小值點必為最小值點，若為極大值點必為最大值點； 說明:第84頁/共111頁85 將邊長為a的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個無蓋方盒,問如何截,使方盒的容積最大？為多少？ 設(shè)小正方形的邊長為x，則方盒的容積為 例5解axa2x 第85頁/共111頁86 將邊長為a的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個無蓋方盒,問如何截,使方盒的容積最大？為多少？ 求導得設(shè)小正方形的邊長為x，則方盒的容積為 例5解，2)2(xaxV ， 2, 0ax，)6)(2(xaxaV xxa2 第86頁/共111頁87惟惟一一駐駐點點 6ax , , 所所以以當當6ax 時時, ,V有有最最大大值值 32726aaV . . ，axV824 ，046 aaV 將邊長為a的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個無蓋方盒,問如何截,使方盒的容積最大？為多少？ 求導得設(shè)小正方形的邊長為x，則方盒的容積為 解，2)2(xaxV ， 2, 0ax，)6)(2(xaxaV 例5第87頁/共111頁88 要做一個容積為V的圓柱形罐頭筒，怎樣設(shè)計才能使所用材料最?。縣r設(shè)底半徑為r, 高為h，總的表面積為例6解即表面積最小. 則則容容積積 hrV2 ，2 rVh rhrS 222 ，rVr222 ), 0 ( r得得惟惟一一駐駐點點 32 Vr , 即高與底面直徑相等. ，令令024 2 rVrS 由實際問題,此時表面積最小. ，此此時時rrVrrVh2 32 第88頁/共111頁891.平均成本(AC)最低問題 例7設(shè)成本函數(shù)為 ,200800)(2xxC ,200800)(xxxxCC 20018002 xC則平均成本為得駐點 ,0令令,400 x，因因為為016003 xC所所以以當當400 x時時, ,平平均均成成本本最最低低. . 此時平均成本和邊際成本均為4. 一般,當平均成本最低時,平均成本與邊際成本相等. 第89頁/共111頁90設(shè)設(shè)某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的需需求求函函數(shù)數(shù)為為510QP , ,成成本本函函數(shù)數(shù)為為QC250 , ,求求產(chǎn)產(chǎn)量量為為多多少少時時利利潤潤最最大大？ 2.最大利潤問題 例8利潤函數(shù)為 解CPQQL )(,50582 QQ)250()510(QQQ QL4 . 08 得駐點 ,0令令.20 Q，而而0 L故故當當20 Q時時, ,利利潤潤最最大大. . 第90頁/共111頁91一般,利潤函數(shù)為 ，)()()(QCQRQL 其中Q為產(chǎn)量, 即即則則當當，0)()()( QCQRQL)()(00QMCQMR 時,利潤最大,其中MR和MC分別表示邊際收益和邊際成本(Marginal revenue, Marginal cost), “生產(chǎn)商為獲得最大利潤,應(yīng)將產(chǎn)量調(diào)整到邊際收益等于邊際成本的水平”.這是微觀經(jīng)濟學的一個重要結(jié)論. 第91頁/共111頁92 3.最優(yōu)批量庫存問題例9解設(shè)分x批生產(chǎn),則生產(chǎn)準備費和庫存費之和為 ,25000100005. 0210000001000)(xxxxxF 2250001000)(xxF 得唯一駐點 ,0令令，5 x而而0 F, ,故故當當5 x時時F最最小小. . 第92頁/共111頁93P182 習題4.41.(2)(5) 3.(2)(4) 4. 11.（則可多賣出20件）第93頁/共111頁94一、曲線的漸近線1.水平漸近線.)()()(lim)(lim的的一一條條水水平平漸漸近近線線就就是是那那么么為為常常數(shù)數(shù)或或如如果果xfybybbxfbxfxx 例如,arctanxy 有兩條水平漸近線:.2,2 yyxy2 2 (平行于x軸的漸近線)第94頁/共111頁95例如,)3)(2(1 xxy有兩條鉛直漸近線:. 3, 2 xx2.鉛直漸近線.)()(lim)(lim000的一條鉛直漸近線的一條鉛直漸近線就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx (垂直于x軸的漸近線)xoy2 3第95頁/共111頁963.斜漸近線，如如果果0)()(lim baxxfx斜漸近線求法:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的的一一條條斜斜漸漸近近線線就就是是那那么么xfybaxy .)(的一條斜漸近線的一條斜漸近線就是就是那么那么xfybaxy 第96頁/共111頁97， )(lim1xfx.1是是曲曲線線的的鉛鉛直直漸漸近近線線 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 xxxxx21)3)(2(2lim1124lim xxx, 4 .42是是曲曲線線的的一一條條斜斜漸漸近近線線 xy例1.1)3)(2(2)(的的漸漸近近線線求求曲曲線線 xxxxf解)., 1()1 ,(:D第97頁/共111頁98的兩條漸近線如圖的兩條漸近線如圖1)3)(2(2)( xxxxfxyo12 1 x42 xy第98頁/共111頁99第一步第二步函函數(shù)數(shù))(xfy 作作圖圖的的步步驟驟： 確確定定)(xf的的定定義義域域, ,討討論論其其奇奇偶偶性性( (對對稱稱性性) )、周周期期性性； 求求出出)(xf 及及其其零零點點和和不不存存在在點點, ,由由此此確確定定單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間和和極極值值點點； 求求出出)(xf 及及其其零零點點和和不不存存在在點點, ,由由此此確確定定凹凹向向區(qū)區(qū)間間和和拐拐點點； 討討論論漸漸近近線線方方程程； 討討論論一一些些特特殊殊點點( (與與坐坐標標軸軸的的交交點點等等) ). . 第三步第四步第五步第99頁/共111頁100例2.2)1(4)(2的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù) xxxf解, 0: xD非奇非偶函數(shù).,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf 列表x)3,( ), 0()2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在拐點極小值點間斷點3 )926, 3( 第100頁/共111頁1012)1(4)(2 xxxf C(1, 2)，E(2, 1) ，D(1, 6)，作出函數(shù)的圖形.xO yF(3, 2/9) .B(2, 3)，D曲線有水平漸近線 y 2和鉛直漸近線 x 0。ABCDEFx)3,( ), 0()2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在拐點極小值點間斷點3 )926, 3( 描點:A(3, 26/9)，第101頁/共111頁102例3.e21)(22的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù)xx 解),(:D偶函數(shù), 圖形關(guān)于y軸對稱.,e2)(22xxx , 0)( x令令, 0 x得得駐駐點點, 0)( x令令. 1, 1 xx得得特特殊殊點點. 4 . 021)(0: xW.e2)1)(1()(22xxxx 22e21lim)(limxxxx , 0 . 0 y得水平漸近線得水平漸近線第102頁/共111頁103x)1,( ), 1( )0 , 1( 1 )1 , 0()(x )(x 00)(x 01 拐點極大值 21)21, 1(e 列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:0拐點)21, 1(e xyo11 21,e2)(22xxx .e2)1)(1()(22xxxx 第103頁/共111頁10422e21)(xx )(x x 21O第104頁/共111頁105例4.1)(23的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù) xxxxf解),(:D無奇偶性及周期性.),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf, 0)( xf令令. 1,31 xx得駐點得駐點, 0)( xf令令.31 x得特殊點得特殊點列表確定函數(shù)升降區(qū)間, 凹凸區(qū)間及極值點與拐點:第105頁/共111頁106x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐點極大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 極小值0 xyoABC11 3131 ),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf無漸近線.),0 , 1( A),1 , 0(B).85,23(C補充點:0第106頁/共111頁107 函數(shù)圖形的描繪綜合運用函數(shù)性態(tài)的研究,是導數(shù)應(yīng)用的綜合考察.xyoab最大值最小值極大值極小值拐點上凹下凹單增單減)(xfy 第107頁/共111頁108P191 習題 4.61.(5)(7) 2.(3) xxy 12補充：第108頁/共111頁109 解：(1)定義域：(, 1)(1, )。 (3)列表y y (, 2) 2 (2, 1) 1 (1, 0) 0 (0, ) xy間斷00極大值 極小值 0 (2)22) 1(2xxxy，22) 1(2xxxy，3) 1(2 xy。令 y0，得 x0，x2。 3) 1(2 xy。令 y0，得 x0，x2。 (4)曲線有鉛垂?jié)u近線x1及斜漸近線yx1。 .12的的圖圖形形作作函函數(shù)數(shù)xxy 第109頁/共111頁110 xO y111y y (, 2) 2 (2, 1) 1 (1, 0) 0 (0, ) xy間斷00C(21, 21)，D(2, (6)作出函數(shù)的圖形。 E(121, 421)，F(xiàn)(4, 521)，D(2, 34)， 21)，F(xiàn)(4, 531)。 B(0, 0)， (5)描點：A(2, 4)， (4)曲線有鉛垂?jié)u近線x1及斜漸近線yx1。 極大值 極小值 0第110頁/共111頁111感謝您的觀看！第111頁/共111頁