（宜賓專版）2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一編 教材知識梳理篇 第3章 函數(shù)及其圖象 第11講 二次函數(shù)及其應(yīng)用 第1課時 二次函數(shù)（精講）練習(xí)

第十一講二次函數(shù)及其應(yīng)用第1課時二次函數(shù)宜賓中考考情與預(yù)測宜賓考題感知與試做（2017·宜賓中考）如圖，拋物線yx2bxc與x軸分別交于A（1，0）、B（5，0）兩點.（1）求拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)取一點C，作CDx軸于點D，連結(jié)AC，且AD5，CD8，將RtACD沿x軸向右平移m個單位，當點C落在拋物線上時，求m的值；（3）在（2）的條件下，當點C第一次落在拋物線上記為點E，點P是拋物線對稱軸上一點.試探究：在拋物線上是否存在點Q，使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）拋物線yx2bxc與x軸分別交于A（1，0）、B（5，0）兩點，y（x1）（x5），拋物線的解析式為yx24x5；（2）AD5，OA1，OD6，C（6，8）.設(shè)平移后的點C的對應(yīng)點為C，則C點的縱坐標為8，可令8x24x5，解得x11，x23，點C的坐標為（1，8）或（3，8）.m1（6）或m3（6），即m的值為7或9；（3）yx24x5（x2）29，拋物線的對稱軸為直線x2，可設(shè)P（2，t）.如圖，由（2）可知E點坐標為（1，8）.當BE為對角線時，PEBQ，且PEBQ，則PE與BQ可以看成是相互平移得到的線段.B（5，0），E（1，8），P（2，t），點Q的橫線坐標為514，把xQ4代入y（x2）29可求得y5，Q（4，5）；當BE為平行四邊形的一邊時，PQBE，且PQBE，則PQ與BE可以看成是相互平移得到的線段.B（5，0），E（1，8），P（2，t），點Q的橫線標為24或24，即xQ2或xQ6，代入y（x2）29可求得yQ7，點Q的坐標為（2，7）或（6，7）.綜上所述，點Q的坐標為（4，5）或（2，7）或（6，7）.宜賓中考考點梳理二次函數(shù)的概念及解析式1.二次函數(shù)：形如yax2bxc（a、b、c是常數(shù)，a0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中，a叫做二次項系數(shù)，b叫做一次項系數(shù)，c叫做常數(shù)項.2.三種表示方法（1）一般式：yax2bxc（a0）；（2）頂點式：ya（xh）2k（a0），其中拋物線的頂點坐標是（h，k）；（3）交點式：ya（xx1）（xx2）（a0），其中x1、x2為拋物線與x軸交點的橫坐標.3.二次函數(shù)解析式的確定求解二次函數(shù)解析式的方法一般用待定系數(shù)法，根據(jù)所給條件的不同，要靈活選用函數(shù)解析式.當已知拋物線上任意三點時，通常設(shè)為一般式y(tǒng)ax2bxc；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，通常設(shè)為頂點式y(tǒng)a（xh）2k；當已知拋物線與x軸的交點或交點橫坐標時，通常設(shè)為交點式y(tǒng)a（xx1）（xx2）.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)4.二次函數(shù)yax2bxc的圖象和性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)yax2bxc（a、b、c為常數(shù)，a0）aa>0（開口向上）a<0（開口向下）圖象對稱軸直線x直線x頂點坐標增減性在對稱軸的左側(cè)，即x時，y隨x的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側(cè)，即當x時，y隨x的增大而增大，簡記為“左減右增”在對稱軸的左側(cè)，即當x時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當x時，y隨x的增大而減小，簡記為“左增右減”最值當 x時，拋物線有最低點，即y有最小值，y最小值當x時，拋物線有最高點，即y有最大值，y最大值5.二次函數(shù)yax2bxc圖象與系數(shù)a、b、c的關(guān)系字母的符號圖象的特征aa0開口向上|a|越大，開口越小a0開口向下bb0對稱軸為y軸ab0（a與b同號）對稱軸在y軸左側(cè)ab0（a與b異號）對稱軸在y軸右側(cè)cc0經(jīng)過原點c0與y軸正半軸相交c0與y軸負半軸相交b24acb24ac0與x軸有唯一交點（頂點）b24ac0與x軸有兩個不同交點b24ac0與x軸沒有交點幾種特定關(guān)系當x1時，yabc當x1時，yabc當abc0，即x1時，y0當abc0，即x1時，y06.二次函數(shù)圖象的平移（上加下減，左加右減）ya（xh）2kya（xh）2km；ya（xh）2kya（xh）2km；ya（xh）2kya（xhm）2k；ya（xh）2kya（xhm）2k.1.（2017·宜賓中考）如圖，拋物線y1（x1）21與y2a（x4）23交于點A（1，3），過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于B、C兩點，且D、E分別為頂點.則下列結(jié)論：a；ACAE；ABD是等腰直角三角形；當x1時，y1y2.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（B）A.1 B.2 C.3 D.42.（2015·宜賓中考）如圖，拋物線yx2bxc與x軸分別相交于點A（2，0）、B（4，0），與y軸交于點C，頂點為點P.（1）求拋物線的解析式；（2）動點M、N從點O同時出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別在線段OB、OC上向點B、C方向運動，過點M作x軸的垂線交BC于點F，交拋物線于點H.當四邊形OMHN為矩形時，求點H的坐標；是否存在這樣的點F，使PFB為直角三角形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）把A（2，0）、B（4，0）代入yx2bxc，得解得拋物線的解析式為yx2x4；或由A、B的坐標直接得出y（x2）（x4）.（2）由題意可設(shè)ONOMt，則MHt2t4.ONMH，COB90°，當四邊形OMHN為矩形時，ONMH，即tt2t4，解得t2或t2（不合題意，舍去）.H（2，2）；存在.由（1）得C（0，4），頂點P，對稱軸為直線x1，與x軸的交點E（1，0）.設(shè)直線BC的解析式為ykxm（k0），由B（4，0）和C（0，4），得解得直線BC的解析式為yx4，F(xiàn)（t，t4）.過點F作FDPE于點D，則FD1t，PDt4t.i）若PFB90°，則PFD90°BFD90°OBC45°，F(xiàn)DP是等腰直角三角形，且FDPD，1tt，t，t44，F(xiàn)；ii）若FPB90°，由DFPEPB，F(xiàn)DPPEB90°，得FDPFEB，解得t.t44，F(xiàn)；iii）由圖可知FBP90°.綜上所述，存在這樣的點F或，使PFB為直角三角形.中考典題精講精練二次函數(shù)及其圖象與性質(zhì)【典例1】關(guān)于拋物線yx22x1，下列說法錯誤的是（D）A.開口向上B.與x軸有兩個重合的交點C.對稱軸是直線x1D.當x1時，y隨x的增大而減小【解析】先將一般式化為頂點式，得到y(tǒng)（x1）2，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出頂點坐標是（1，0），對稱軸是直線x1，根據(jù)a1>0，得出開口向上，據(jù)此即可判斷各選項.也可以畫出拋物線的大致圖象，根據(jù)圖象逐項分析四個選項得出結(jié)論.【典例2】（2018·資陽中考）已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，OAOC，則由拋物線的特征寫出如下含有a、b、c三個字母的等式或不等式：1；acb10；abc0；abc0.其中正確的個數(shù)是（A）A.4 B.3 C.2 D.1【解析】此題可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合其圖象可知a0，1c0，b0，再對各結(jié)論進行判斷.1，即拋物線頂點縱坐標為1，故正確；設(shè)C（0，c），則OC|c|.OAOC|c|，A（c，0），代入yax2bxc，得ac2bcc0.又c0，acb10，故正確；從圖象中易知a0，b0，c0，abc0，故正確；當x1時，abc0，yabc，由圖象知（1，abc）在第二象限，abc0，故正確.二次函數(shù)解析式的確定及綜合運用【典例3】（2018·綿陽中考）如圖，已知拋物線yax2bx（a0）過點A（，3）和點B（3，0）.過點A作直線ACx軸，交y軸于點C.（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上取一點P，過點P作直線AC的垂線，垂足為點D.連結(jié)OA，使得以A、D、P為頂點的三角形與AOC相似，求出對應(yīng)點P的坐標.（3）拋物線上是否存在點Q，使得SAOCSAOQ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.【解答】解：（1）把點A（，3）、B（3，0）代入yax2bx，得解得拋物線的解析式為yx2x；（2）設(shè)P點坐標為.若點P在直線AD上方，則ADx，PDx2x3.當OCAADP時，即，x或x（舍去），此時P；當OCAPDA時，同理可得P（4，6）；若P在直線AD下方，同理可得P.綜上所述，點P的坐標為、（4，6）或.（3）存在.A（，3），在RtAOC中，OC3，AC，OA2.SAOCOC·ACOA·h，h.SAOCSAOQ，AOQ邊OA上的高為3h.如圖，過O作OMOA，截取OM，過M作MNOA，交y軸于點N.在RtOMN中，ON2OM9，即N（0，9），過M作MHx軸于點H，MOH30°，則MHOM，OHOM，即M.易得直線MN的解析式為yx9.解得或點Q的坐標為（3，0）或（2，15）.1.二次函數(shù)yax2bxc，自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值如下表：x543210y402204下列說法正確的是（D）A.拋物線的開口向下B.當x3時，y隨x的增大而增大C.二次函數(shù)的最小值是2D.拋物線的對稱軸是直線x2.（2018·天津中考）已知拋物線yax2bxc（a、b、c為常數(shù)，a0）經(jīng)過點（1，0）、（0，3），其對稱軸在y軸右側(cè).有下列結(jié)論：拋物線經(jīng)過點（1，0）；方程ax2bxc2有兩個不相等的實數(shù)根；3ab3.其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（C）A.0 B.1 C.2 D.33.如圖，已知二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象與x軸交于點A（1，0），與y軸的交點B在（0，2）和（0，1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x1.下列結(jié)論：abc0；4a2bc0；4acb28a；a；bc.其中正確的是（D）A. B.C. D.4.如圖，拋物線yx2bxc與x軸交于A、B兩點，B點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，3）.備用圖（1）求拋物線的解析式；（2）點P在x軸下方的拋物線上，過點P的直線yxm與直線BC交于點E，與y軸交于點F，求PEEF的最大值；（3）點D為拋物線對稱軸上一點.當BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，求點D的坐標；若BCD是銳角三角形，請直接寫出點D的縱坐標的取值范圍.解：（1）把B（3，0）、C（0，3）代入yx2bxc，得解得拋物線的解析式為yx24x3；（2）由B（3，0）、C（0，3）易得直線BC的解析式為yx3.直線yxm與直線yx平行，直線yx3與直線yxm垂直，CEF90°，ECF為等腰直角三角形.過點P作PHy軸于點H，PGy軸交BC于點G，如圖1，EPG為等腰直角三角形，PEPG.設(shè)P（t，t24t3）（1t3），則G（t，t3），PFPHt，PGt3（t24t3）t23t，PEPGt2t，PEEFPEPEPF2PEPFt23ttt24t（t2）24，當t2時，PEEF的最大值為4；圖1 圖2（3）如圖2，拋物線的對稱軸為直線x，即x2.設(shè)D（2，m），則BC2323218，DC24（m3）2，BD2（32）2m21m2.當BCD是以BC為直角邊，BD為斜邊的直角三角形時，BC2DC2BD2，即184（m3）21m2，解得m5，此時D點坐標為（2，5）；當BCD是以BC為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時，BC2BD2DC2，即4（m3）21m218，解得m1，此時D點坐標為（2，1）.故點D的坐標為（2，5）或（2，1）；當BCD是以BC為斜邊的直角三角形時，DC2DB2BC2，即4（m3）21m218，解得m1，m2，此時D點坐標為或.若BCD是銳角三角形，則點D的縱坐標的取值范圍為m5或1m.9