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2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題32 尺規(guī)作圖(含解析)

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2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題32 尺規(guī)作圖(含解析)

專題32 尺規(guī)作圖問題 專題知識回顧 1.尺規(guī)作圖的定義:只用不帶刻度的直尺和圓規(guī)通過有限次操作,完成畫圖的一種作圖方法尺規(guī)作圖可以要求寫作圖步驟,也可以要求不一定要寫作圖步驟,但必須保留作圖痕跡。2.尺規(guī)作圖的五種基本情況:(1)作一條線段等于已知線段;(2)作一個角等于已知角;(3)作已知線段的垂直平分線;(4)作已知角的角平分線;(5)過一點(diǎn)作已知直線的垂線。3.對尺規(guī)作圖題解法:寫出已知,求作,作法(不要求寫出證明過程)并能給出合情推理。4.中考要求:(1)能完成以下基本作圖:作一條線段等于已知線段,作一個角等于已知角,作角的平分線,作線段的垂直平分線.(2)能利用基本作圖作三角形:已知三邊作三角形;已知兩邊及其夾角作三角形;已知兩角及其夾邊作三角形;已知底邊及底邊上的高作等腰三角形.(3)能過一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線上的三點(diǎn)作圓.(4)了解尺規(guī)作圖的步驟,對于尺規(guī)作圖題,會寫已知、求作和作法(不要求證明).專題典型題考法及解析 【例題1】(2019湖南長沙)如圖,RtABC中,C90°,B30°,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,大于AB的長為半徑作弧,兩弧相交于M、N兩點(diǎn),作直線MN,交BC于點(diǎn)D,連接AD,則CAD的度數(shù)是()A20°B30°C45°D60°【答案】B 【解析】根據(jù)內(nèi)角和定理求得BAC60°,由中垂線性質(zhì)知DADB,即DABB30°,從而得出答案在ABC中,B30°,C90°,BAC180°BC60°,由作圖可知MN為AB的中垂線,DADB,DABB30°,CADBACDAB30°?!纠}2】(2019山東棗莊)如圖,BD是菱形ABCD的對角線,CBD75°,(1)請用尺規(guī)作圖法,作AB的垂直平分線EF,垂足為E,交AD于F;(不要求寫作法,保留作圖痕跡)(2)在(1)條件下,連接BF,求DBF的度數(shù)【答案】見解析?!窘馕觥浚?)分別以A.B為圓心,大于AB長為半徑畫弧,過兩弧的交點(diǎn)作直線即可。如圖所示,直線EF即為所求;(2)根據(jù)DBFABDABF計算即可。四邊形ABCD是菱形,ABDDBCABC75°,DCAB,ACABC150°,ABC+C180°,CA30°,EF垂直平分線段AB,AFFB,AFBA30°,DBFABDFBE45°【例題3】(2019年貴州安順模擬題)用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角,如圖,能得出AOB=AOB的依據(jù)是()A(SAS)B(SSS)C(ASA)D(AAS)【答案】B 【解析】我們可以通過其作圖的步驟來進(jìn)行分析,作圖時滿足了三條邊對應(yīng)相等,于是我們可以判定是運(yùn)用SSS,答案可得作圖的步驟:以O(shè)為圓心,任意長為半徑畫弧,分別交OA、OB于點(diǎn)C、D;任意作一點(diǎn)O,作射線OA,以O(shè)為圓心,OC長為半徑畫弧,交OA于點(diǎn)C;以C為圓心,CD長為半徑畫弧,交前弧于點(diǎn)D;過點(diǎn)D作射線OB所以AOB就是與AOB相等的角;作圖完畢在OCD與OCD,OCDOCD(SSS),AOB=AOB,顯然運(yùn)用的判定方法是SSS【例題4】(2019山東青島)請用直尺、圓規(guī)作圖,不寫作法,但要保留作圖痕跡已知:,直線l及l(fā)上兩點(diǎn)A,B求作:RtABC,使點(diǎn)C在直線l的上方,且ABC90°,BAC【答案】見解析?!窘馕觥勘绢}考查了作圖復(fù)雜作圖:復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖,一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì),結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖,逐步操作先作DAB,再過B點(diǎn)作BEAB,則AD與BE的交點(diǎn)為C點(diǎn)如圖,ABC為所作 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1.(2019廣西北部灣)如圖, 在ABC中,AC=BC, A=400 ,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡,可知BCG的度數(shù)為()A 400 B450 C500 D600【答案】C【解析】利用等腰三角形的性質(zhì)和基本作圖得到CGAB,則CG平分ACB,利用A=B和三角形內(nèi)角和計算出ACB,從而得到BCG的度數(shù)本題考查了作圖-基本作圖:熟練掌握基本作圖(作一條線段等于已知線段;作一個角等于已知角;作已知線段的垂直平分線;作已知角的角平分線;過一點(diǎn)作已知直線的垂線)也考查了等腰三角形的性質(zhì)由作法得CGAB,AB=AC,CG平分ACB,A=B,ACB=180°-40°-40°=100°,BCG=ACB=50°2.(2019·貴州貴陽)如圖,在ABC中,ABAC,以點(diǎn)C為圓心,CB長為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)B和點(diǎn)D,再分別以點(diǎn)B,D為圓心,大于BD長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)M,作射線CM交AB于點(diǎn)E若AE2,BE1,則EC的長度是()A2B3CD【答案】D【解析】利用基本作圖得到CEAB,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AC3,然后利用勾股定理計算CE的長由作法得CEAB,則AEC90°,ACABBE+AE2+13,在RtACE中,CE3.(2019河北?。└鶕?jù)圓規(guī)作圖的痕跡,可用直尺成功找到三角形外心的是()A B C D【答案】C【解析】三角形外心為三邊的垂直平分線的交點(diǎn),由基本作圖得到C選項作了兩邊的垂直平分線,從而可用直尺成功找到三角形外心4(2019山東濰坊)如圖,已知AOB按照以下步驟作圖:以點(diǎn)O為圓心,以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧,分別交AOB的兩邊于C,D兩點(diǎn),連接CD分別以點(diǎn)C,D為圓心,以大于線段OC的長為半徑作弧,兩弧在AOB內(nèi)交于點(diǎn)E,連接CE,DE連接OE交CD于點(diǎn)M下列結(jié)論中錯誤的是()ACEODEOBCMMDCOCDECDDS四邊形OCEDCDOE【答案】C【解析】利用基本作圖得出角平分線的作圖,進(jìn)而解答即可由作圖步驟可得:OE是AOB的角平分線,CEODEO,CMMD,S四邊形OCEDCDOE,但不能得出OCDECD5(2019湖北宜昌)通過如下尺規(guī)作圖,能確定點(diǎn)D是BC邊中點(diǎn)的是( ) A B C D【答案】A 【解析】作線段BC的垂直平分線可得線段BC的中點(diǎn)作線段BC的垂直平分線可得線段BC的中點(diǎn)由此可知,選項A符合條件,故選A6.(經(jīng)典題)作一條線段等于已知線段。已知:如圖,線段a .求作:線段AB,使AB = a .【答案】見解析。【解析】作法: 作射線AP; 在射線AP上截取AB=a .則線段AB就是所求作的圖形。7.(經(jīng)典題)已知三邊作三角形。已知:如圖,線段a,b,c.求作:ABC,使AB = c,AC = b,BC = a.【答案】見解析。【解析】作法: 作線段AB = c; 以A為圓心b為半徑作弧,以B為圓心 a為半徑作弧與前弧相交于C; 連接AC,BC。則ABC就是所求作的三角形。8.(經(jīng)典題)已知兩邊及夾角作三角形。已知:如圖,線段m,n, .求作:ABC,使A=,AB=m,AC=n.【答案】見解析?!窘馕觥孔鞣ǎ?作A=; 在AB上截取AB=m ,AC=n; 連接BC。則ABC就是所求作的三角形。9.(經(jīng)典題)做已知線段的中點(diǎn)已知:如圖,線段MN.求作:點(diǎn)O,使MO=NO(即O是MN的中點(diǎn)).【答案】見解析?!窘馕觥孔鞣ǎ?分別以M、N為圓心,大于1/2MN的相同線段為半徑畫弧,兩弧相交于P,Q; 連接PQ交MN于O則點(diǎn)O就是所求作的的中點(diǎn)。10.(經(jīng)典題)作已知角的角平分線。已知:如圖,AOB,求作:射線OP, 使AOPBOP(即OP平分AOB)?!敬鸢浮恳娊馕觥!窘馕觥孔鞣ǎ?以O(shè)為圓心,任意長度為半徑畫弧, 分別交OA,OB于M,N; 分別以M、為圓心,大于1/2MN的相同線段為半徑畫弧,兩弧交AOB內(nèi)于; 作射線OP。則射線OP就是AOB的角平分線。11.(經(jīng)典題)已知兩角及夾邊作三角形。已知:如圖,線段m .求作:ABC,使A=,B=,AB=m.【答案】見解析?!窘馕觥孔鞣ǎ?作線段AB=m; 在AB的同旁作A=,作B=,A與B的另一邊相交于C。則ABC就是所求作的圖形(三角形)。12.(2019河北模擬題)如圖,已知ABC(ACBC),用尺規(guī)在BC上確定一點(diǎn)P,使PA+PC=BC,則符合要求的作圖痕跡是()A B C D【答案】D 【解析】要使PA+PC=BC,必有PA=PB,所以選項中只有作AB的中垂線才能滿足這個條件,故D正確D選項中作的是AB的中垂線,PA=PB,PB+PC=BC,PA+PC=BC13.(2019麗水模擬題)如圖,小紅在作線段AB的垂直平分線時,是這樣操作的:分別以點(diǎn)A,B為圓心,大于線段AB長度一半的長為半徑畫弧,相交于點(diǎn)C,D,則直線CD即為所求連結(jié)AC,BC,AD,BD,根據(jù)她的作圖方法可知,四邊形ADBC一定是()A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形【答案】B 【解析】根據(jù)垂直平分線的畫法得出四邊形ADBC四邊的關(guān)系進(jìn)而得出四邊形一定是菱形。分別以A和B為圓心,大于AB的長為半徑畫弧,兩弧相交于C、D,AC=AD=BD=BC,四邊形ADBC一定是菱形。14.(2019湖南益陽)已知M、N是線段AB上的兩點(diǎn),AMMN2,NB1,以點(diǎn)A為圓心,AN長為半徑畫弧;再以點(diǎn)B為圓心,BM長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)C,連接AC,BC,則ABC一定是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰三角形【答案】B 【解析】依據(jù)作圖即可得到ACAN4,BCBM3,AB2+2+15,進(jìn)而得到AC2+BC2AB2,即可得出ABC是直角三角形如圖所示,ACAN4,BCBM3,AB2+2+15,AC2+BC2AB2,ABC是直角三角形,且ACB90°,故選B二、填空題15(2019武漢)如圖,BD是矩形ABCD的對角線,在BA和BD上分別截取BE,BF,使BEBF;分別以E,F(xiàn)為圓心,以大于EF的長為半徑作弧,兩弧在ABD內(nèi)交于點(diǎn)G,作射線BG交AD于點(diǎn)P,若AP3,則點(diǎn)P到BD的距離為 【答案】3【解析】結(jié)合作圖的過程知:BP平分ABD,A90°,AP3,點(diǎn)P到BD的距離等于AP的長,為3。16(2019濟(jì)南)如圖,在RtABC中,C90°,以頂點(diǎn)B為圓心,適當(dāng)長度為半徑畫弧,分別交AB,BC于點(diǎn)M,N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線BP交AC于點(diǎn)D若A30°,則 【答案】【解析】由作法得BD平分ABC,C90°,A30°,ABC60°,ABDCBD30°,DADB,在RtBCD中,BD2CD,AD2CD,1/2 17. ( 2019甘肅省蘭州市) 如圖, 矩形ABCD, BAC600. 以點(diǎn)A為圓心,以任意長為半徑作弧分別交AB.AC于點(diǎn)M、N兩點(diǎn),再分別以點(diǎn)M、N 為圓心,以大于MN的長為半徑作弧交于點(diǎn)P ,作射線AP交BC于點(diǎn)E,若BE1,則矩形ABCD的面積等于_.【答案】3【解析】 由題可知AP是BAC的角平分線BAC600BAEEAC300AE2 BE2.ABAEB600又AEBEAC+ECAEACECA300AEEC2BC3S矩形ABCD318. (2019四川成都)如圖,ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,按以下步驟作圖:以點(diǎn)A為圓心,以任意長為半徑作弧,分別交AO,AB于點(diǎn)M,N;以點(diǎn)O為圓心,以AM長為半徑作弧,交OC于點(diǎn);以點(diǎn)為圓心,以MN長為半徑作弧,在COB內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn);過點(diǎn)作射線交BC于點(diǎn)E,若AB=8,則線段OE的長為 .【答案】4 【解析】此題考察的是通過尺規(guī)作圖構(gòu)造全等三角形的原理及兩直線平行的判定,連接和,因為,所以,所以,所以,又因為是中點(diǎn),所以是的中位線,所以,所以.三、填空題19(2019六盤水模擬題)如圖,在ABC中,利用尺規(guī)作圖,畫出ABC的外接圓或內(nèi)切圓(任選一個不寫作法,必須保留作圖痕跡)【答案】見解析。【解析】分別利用三角形外心的確定方法以及內(nèi)心的確定方法得出圓心位置,進(jìn)而得出即可。如圖所示:20.(2019石景山二模)下面是小華設(shè)計的“作一個角等于已知角的2倍”的尺規(guī)作圖過程已知:AOB求作:APC,使得APC=2AOB作法:如圖,在射線OB上任取一點(diǎn)C;作線段OC的垂直平分線,交OA于點(diǎn)P,交OB于點(diǎn)D;連接PC;所以APC即為所求作的角根據(jù)小華設(shè)計的尺規(guī)作圖過程,(1)使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡);(2)完成下面的證明(說明:括號里填寫推理的依據(jù)) 證明:DP是線段OC的垂直平分線, OP= ( )O=PCOAPC=O+PCO( )APC =2AOB【答案】見解析?!窘馕觥浚?)補(bǔ)全的圖形如圖所示:(2)PC;線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等; 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和21.(2019湖北省仙桃市)請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖,不寫畫法,保留畫圖痕跡(1)如圖,四邊形ABCD中,ABAD,BD,畫出四邊形ABCD的對稱軸m;(2)如圖,四邊形ABCD中,ADBC,AD,畫出BC邊的垂直平分線n【答案】見解析。【解析】本題考查了軸對稱作圖,根據(jù)全等關(guān)系可以確定點(diǎn)與點(diǎn)的對稱關(guān)系,從而確定對稱軸所在,即可畫出直線(1)連接AC,AC所在直線即為對稱軸m如圖,直線m即為所求(2)(2)延長BA,CD交于一點(diǎn),連接AC,BC交于一點(diǎn),連接兩點(diǎn)獲得垂直平分線n如圖,直線n即為所求22.(2019四川省達(dá)州市)如圖,在RtABC中,ACB90°,AC2,BC3(1)尺規(guī)作圖:不寫作法,保留作圖痕跡作ACB的平分線,交斜邊AB于點(diǎn)D;過點(diǎn)D作BC的垂線,垂足為點(diǎn)E(2)在(1)作出的圖形中,求DE的長【答案】見解析。【解析】(1)利用基本作圖,先畫出CD平分ACB,然后作DEBC于E。如圖,DE為所作;(2)利用CD平分ACB得到BCD45°,再判斷CDE為等腰直角三角形,所以DECE,然后證明BDEBAC,從而利用相似比計算出DECD平分ACB,BCDACB45°,DEBC,CDE為等腰直角三角形,DECE,DEAC,BDEBAC,即,DE23.(2019廣東)如圖,在ABC中,點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)(1)請用尺規(guī)作圖法,在ABC內(nèi),求作ADE使ADE=B,DE交AC于E;(不要求寫作法,保留作圖痕跡)(2)在(1)的條件下,若=2,求的值【答案】見解析。【解析】(1)如圖所示,ADE為所求.(2)ADE=BDEBC=2 =224.(2019廣西貴港)尺規(guī)作圖(只保留作圖痕跡,不要求寫出作法):如圖,已知ABC,請根據(jù)“SAS”基本事實作出DEF,使DEFABC【答案】見解析?!窘馕觥勘绢}考查了作圖復(fù)雜作圖:復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖,一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì),結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖,逐步操作也考查了全等三角形的判定先作一個DA,然后在D的兩邊分別截取EDBA,DFAC,連接EF即可得到DEF。如圖,DEF即為所求25.(2019湖北孝感)如圖,RtABC中,ACB90°,一同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成如下操作:以點(diǎn)C為圓心,以CB為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)G;分別以點(diǎn)G、B為圓心,以大于GB的長為半徑畫弧,兩弧交點(diǎn)K,作射線CK;以點(diǎn)B為圓心,以適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫弧,交BC于點(diǎn)M,交AB的延長線于點(diǎn)N;分別以點(diǎn)M、N為圓心,以大于MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,作直線BP交AC的延長線于點(diǎn)D,交射線CK于點(diǎn)E請你觀察圖形,根據(jù)操作結(jié)果解答下列問題;(1)線段CD與CE的大小關(guān)系是 ;(2)過點(diǎn)D作DFAB交AB的延長線于點(diǎn)F,若AC12,BC5,求tanDBF的值【答案】見解析?!窘馕觥浚?)由作圖知CEAB,BD平分CBF,據(jù)此得123,結(jié)合CEB+32+CDE90°知CEBCDE,從而得出答案;CDCE,由作圖知CEAB,BD平分CBF,123,CEB+32+CDE90°,CEBCDE,CDCE,故答案為:CDCE;(2)證BCDBFD得CDDF,從而設(shè)CDDFx,求出AB13,知sinDAF,即,解之求得x,結(jié)合BCBF5可得答案BD平分CBF,BCCD,BFDF,BCBF,CBDFBD,在BCD和BFD中,BCDBFD(AAS),CDDF,設(shè)CDDFx,在RtACB中,AB13,sinDAF,即,解得x,BCBF5,tanDBF×26.( 2019廣東模擬題)如圖,點(diǎn)D在ABC的AB邊上,且ACD=A(1)作BDC的平分線DE,交BC于點(diǎn)E(用尺規(guī)作圖法,保留作圖痕跡,不要求寫作法);(2)在(1)的條件下,判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系(不要求證明)【答案】見解析?!窘馕觥浚?)根據(jù)角平分線基本作圖的作法作圖即可;(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得BDE=BDC,根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得A=BDE,再根據(jù)同位角相等兩直線平行可得結(jié)論DEACDE平分BDC,BDE=BDC,ACD=A,ACD+A=BDC,A=BDC,A=BDE,DEAC27.(2019平谷二模)下面是小元設(shè)計的“經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程已知:如圖1,直線l和l外一點(diǎn)P求作:直線l的垂線,使它經(jīng)過點(diǎn)P作法:如圖2,(1)在直線l上任取一點(diǎn)A; (2)連接AP,以點(diǎn)P為圓心,AP長為半徑作弧,交直線l于點(diǎn)B(點(diǎn)A,B不重合);(3)連接BP,作APB的角平分線,交AB于點(diǎn)H;(4)作直線PH,交直線l于點(diǎn)H所以直線PH就是所求作的垂線根據(jù)小元設(shè)計的尺規(guī)作圖過程,(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形 (保留作圖痕跡);(2)完成下面的證明.證明:PH平分APB, APH= PA= , PH直線l于H( )(填推理的依據(jù)) 【答案】見解析?!窘馕觥浚?)如圖所示。(2)證明:PH平分APB, APH= BPH PA= PB , PH直線l于H( 等腰三角形三線合一 )28.(2019甘肅慶陽)已知:在ABC中,ABAC(1)求作:ABC的外接圓(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)(2)若ABC的外接圓的圓心O到BC邊的距離為4,BC6,則SO 【答案】見解析?!窘馕觥勘绢}考查作圖復(fù)雜作圖,等腰三角形的性質(zhì),三角形的外接圓與外心等知識,解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,屬于中考常考題型(1)作線段AB,BC的垂直平分線,兩線交于點(diǎn)O,以O(shè)為圓心,OB為半徑作O,O即為所求如圖O即為所求(2)在RtOBE中,利用勾股定理求出OB即可解決問題設(shè)線段BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E由題意OE4,BEEC3,在RtOBE中,OB5,S圓O522529.(2019廣東廣州)如圖,O的直徑AB10,弦AC8,連接BC(1)尺規(guī)作圖:作弦CD,使CDBC(點(diǎn)D不與B重合),連接AD;(保留作圖痕跡,不寫作法)(2)在(1)所作的圖中,求四邊形ABCD的周長【答案】見解析?!窘馕觥浚?)以C為圓心,CB為半徑畫弧,交O于D,線段CD即為所求如圖,線段CD即為所求(2)連接BD,OC交于點(diǎn)E,設(shè)OEx,構(gòu)建方程求出x即可解決問題連接BD,OC交于點(diǎn)E,設(shè)OExAB是直徑,ACB90°,BC6,BCCD,OCBD于EBEDE,BE2BC2EC2OB2OE2,62(5x)252x2,解得x,BEDE,BOOA,AD2OE,四邊形ABCD的周長6+6+10+24

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