高中數(shù)學(xué) 奧賽輔導(dǎo) 函數(shù)的基本性質(zhì)(一)

江蘇省金湖縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高中數(shù)學(xué) 奧賽輔導(dǎo) 函數(shù)的基本性質(zhì)（一）基礎(chǔ)知識：函數(shù)的性質(zhì)通常是指函數(shù)的定義域、值域、解析式、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等等，在解決與函數(shù)有關(guān)的(如方程、不等式等)問題時(shí)，巧妙利用函數(shù)及其圖象的相關(guān)性質(zhì)，可以使得問題得到簡化，從而達(dá)到解決問題的目的.關(guān)于函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，這里不再贅述，請大家參閱高中數(shù)學(xué)教材及競賽教材：陜西師范大學(xué)出版社 劉詩雄高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)、劉詩雄、羅增儒高中數(shù)學(xué)競賽解題指導(dǎo).例題：1. 已知f(x)82xx2，如果g(x)f(2x2)，那么g(x)( )A.在區(qū)間(2，0)上單調(diào)遞增B.在(0，2)上單調(diào)遞增C.在(1，0)上單調(diào)遞增D.在(0，1)上單調(diào)遞增提示：可用圖像，但是用特殊值較好一些.選C2. 設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x3)f(x)，當(dāng)0x時(shí)，f(x)x，則f(2003)( )A.1B.0C.1D.2003解：f(x6)f(x33)f(x3)f(x) f(x)的周期為6f(2003)f(6×3351)f(1)f1選A3. 定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對一切實(shí)數(shù)x都有f(x1)f(2x)成立，若f(x)0僅有101個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么所有實(shí)數(shù)根的和為( )A.150B.C.152D.提示：由已知，函數(shù)f(x)的圖象有對稱軸x于是這101個(gè)根的分布也關(guān)于該對稱軸對稱.即有一個(gè)根就是，其余100個(gè)根可分為50對，每一對的兩根關(guān)于x對稱利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，這100個(gè)根的和等于×100150所有101個(gè)根的和為×101.選B4. 實(shí)數(shù)x，y滿足x22xsin(xy)1，則x19986sin5y_.解：如果x、y不是某些特殊值，則本題無法(快速)求解注意到其形式類似于一元二次方程，可以采用配方法(xsin(xy)2cos2(xy)0 xsin(xy) 且 cos(xy)0 xsin(xy)±1 siny1 xsin(xy)1原式75. 已知x是方程x4bx2c0的根，b，c為整數(shù)，則bc_.解：(逆向思考：什么樣的方程有這樣的根？)由已知變形得x x22x1999即 x2802x再平方得x4160x2640076x2即 x4236x264000 b236，c6400bc61646. 已知f(x)ax2bxc(a0)，f(x)0有實(shí)數(shù)根，且f(x)1在(0，1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求證：a4.證法一：由已知條件可得 b24ac0 fabc1 f(0)c1 01 b24ac b1ac c1 b0( a0)于是b2所以ac1b2 ()21 1于是12 a4證法二：設(shè)f(x)的兩個(gè)根為x1，x2，則f(x)a(xx1)(xx2) fa(1x1)(1x2)1 f(0)ax1x21由基本不等式x1(1x1)x2(1x2)(x1(1x1)x2(1x2)4()2 a2x1(1x1)x2(1x2)1 a216 a47. 已知f(x)x2axb(1x1)，若|f(x)|的最大值為M，求證：M.解：M|f(x)|maxmax|f|，|f(1)|，|f()|若|1 (對稱軸不在定義域內(nèi)部)則Mmax|f|，|f(1)|而f1ab f(1)1ab|f|f(1)|ff(1)|2|a|4則|f|和|f(1)|中至少有一個(gè)不小于2 M2|1Mmax|f|，|f(1)|，|f()| max|1ab|，|1ab|，|b| max|1ab|，|1ab|，|b|，|b| (|1ab|1ab|b|b|) (1ab)(1ab)(b)(b) 綜上所述，原命題正確.8. 解方程:(x8)2001x20012x80解方程：解：原方程化為(x8)2001(x8)x2001x0 即(x8)2001(x8)(x)2001(x)構(gòu)造函數(shù)f(x)x2001x原方程等價(jià)于f(x8)f(x)而由函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)于是有x8xx4為原方程的解兩邊取以2為底的對數(shù)得于是f(2x)f(x21)易證：f(x)世紀(jì)函數(shù)，且是R上的增函數(shù)，所以：2xx21解得：x19. 設(shè)f(x)x4ax3bx2cxd，f1，f2，f3，求ff(0)的值.解：由已知，方程f(x)x已知有三個(gè)解，設(shè)第四個(gè)解為m，記 F(x)f(x)x(x1)(x2)(x3)(xm) f(x)(x1)(x2)(x3)(xm)xf6(4m)4f(0)6m ff(0)710. 設(shè)f(x)x44x3x25x2，當(dāng)xR時(shí)，求證：|f(x)|證明：配方得：f(x)x2(x2)2(x1)2 x2(x2)2(x1)21 (x22x)2(x1)21 (x1)212(x1)21 (x1)42(x1)21(x1)21 (x1)4(x1)2 練習(xí)：1. 已知f(x)ax5bsin5x1，且f5，則f(1)( )A.3B.3C.5D.5解： fabsin5115 設(shè)f(1)absin5(1)1k相加：ff(1)25k f(1)k253選B2. 已知(3xy)2001x20014xy0，求4xy的值.解：構(gòu)造函數(shù)f(x)x2001x，則f(3xy)f(x)0逐一到f(x)的奇函數(shù)且為R上的增函數(shù)，所以3xyx4xy03. 解方程：ln(x)ln(2x)3x0解：構(gòu)造函數(shù)f(x)ln(x)x則由已知得：f(x)f(2x)0不難知，f(x)為奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)(證明略)所以f(x)f(2x)f(2x)由函數(shù)的單調(diào)性，得x2x所以原方程的解為x04. 若函數(shù)ylog3(x2axa)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.解：函數(shù)值域?yàn)镽，表示函數(shù)值能取遍所有實(shí)數(shù)，則其真數(shù)函數(shù)g(x)x2axa的函數(shù)值應(yīng)該能夠取遍所有正數(shù)所以函數(shù)yg(x)的圖象應(yīng)該與x軸相交即0 a24a0a4或a0解法二：將原函數(shù)變形為x2axa3y0a24a4·3y0對一切yR恒成立則必須a24a0成立 a4或a05. 函數(shù)y的最小值是_.提示：利用兩點(diǎn)間距離公式處理y表示動點(diǎn)P(x，0)到兩定點(diǎn)A(2，1)和B(2，2)的距離之和當(dāng)且僅當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)取的最小值，為|AB|56. 已知f(x)ax2bxc，f(x)x的兩根為x1，x2，a0，x1x2，若0tx1，試比較f(t)與x1的大小.解法一：設(shè)F(x)f(x)xax2(b1)xc， a(xx1)(xx2) f(x)a(xx1)(xx2)x作差：f(t)x1a(tx1)(tx2)tx1 (tx1)a(tx2)1 a(tx1)(tx2)又tx2t(x2x1)x1tx10 f(t)x10 f(t)x1解法二：同解法一得f(x)a(xx1)(xx2)x令g(x)a(xx2) a0，g(x)是增函數(shù)，且tx1 Þ g(t)g(x1)a(x1x2)1另一方面：f(t)g(t)(tx1)t a(tx2)g(t)1 f(t)tx1t f(t)x17. f(x)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，當(dāng)0x1，0y1時(shí).求證：存在實(shí)數(shù)x，y，使得|xyf(x)g(y)|證明：(正面下手不容易，可用反證法)若對任意的實(shí)數(shù)x，y，都有|xyf(x)g(y)|記|S(x，y)|xyf(x)g(y)|則|S(0，0)|，|S(0，1)|，|S(1，0)|，|S(1，1)|而S(0，0)f(0)g(0) S(0，1)f(0)g(1) S(1，0)f(1)g(0) S(1，1)1f(1)g(1) |S(0，0)|S(0，1)|S(1，0)|S(1，1)| |S(0，0)S(0，1)S(1，0)S(1，1)| 1矛盾！故原命題得證！8. 設(shè)a，b，cR，|x|1，f(x)ax2bxc，如果|f(x)|1，求證：|2axb|4.解：(本題為1914年匈牙利競賽試題)fabcf(1)abcf(0)c aff(1)2f(0) bff(1) cf(0)|2axb|ff(1)2f(0)xff(1)| |(x)f(x)f(1)2xf(0)| |x|f|x|f(1)|2|x|f(0)| |x|x|2|x|接下來按x分別在區(qū)間1，(，0)，0，)，1討論即可9. 已知函數(shù)f(x)x3xc定義在0，1上，x1，x20，1且x1x2.求證：|f(x1)f(x2)|2|x1x2|；求證：|f(x1)f(x2)|1.證明：|f(x1)f(x2)|x13x1x23x2|x1x2|x12x1x2x221|需證明|x12x1x2x221|2 x12x1x2x22(x10 1x12x1x2x22111112 式成立于是原不等式成立不妨設(shè)x2x1由 |f(x1)f(x2)|2|x1x2|若 x2x1(0，則立即有|f(x1)f(x2)|1成立.若1x2x1，則1(x2x1) 01(x2x1) (右邊變?yōu)檎龜?shù))下面我們證明|f(x1)f(x2)|2(1x2x1)注意到：f(0)ff(1)c|f(x1)f(x2)|f(x1)ff(0)f(x2)| |f(x1)f|f(0)f(x2)| 2(1x2)2(x20) (由) 2(1x2x1) 1綜合，原命題得證.10. 已知f(x)ax2xa(1x1)若|a|1，求證：|f(x)|若f(x)max，求a的值.解：分析：首先設(shè)法去掉字母a，于是將a集中若a0，則f(x)x，當(dāng)x1，1時(shí)，|f(x)|1成立若a0，f(x)a(x21)x |f(x)|a(x21)x| |a|x21|x| |x21|x| ( |a|1) 1|x2|x| (|x|)2 a0時(shí)，f(x)x1 a0 f(x)maxmaxf，f(1)，f()又f(±1)±1 f(x)maxf()a()2()aÞ a2或a但此時(shí)要求頂點(diǎn)在區(qū)間1，1內(nèi)，應(yīng)舍去答案為2- 8 -