初中數(shù)學(xué)專(zhuān)題：折疊問(wèn)題

第 專(zhuān)題八 折疊問(wèn)題學(xué)習(xí)要點(diǎn)與方法點(diǎn)撥：出題位置：選擇、填空壓軸題或壓軸題倒數(shù)第二題折疊問(wèn)題中，常出現(xiàn)的知識(shí)時(shí)軸對(duì)稱(chēng)。折疊對(duì)象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查問(wèn)題有求折點(diǎn)位置、求折線長(zhǎng)、折紙邊長(zhǎng)周長(zhǎng)、求重疊面積、求角度、判斷線段之間關(guān)系等；軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)-折線，是對(duì)稱(chēng)軸、折線兩邊圖形全等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線垂直對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)應(yīng)邊平行或交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上。壓軸題是由一道道小題綜合而成，常常伴有折疊；解壓軸題時(shí)，要學(xué)會(huì)將大題分解成一道道小題；那么多作折疊的選擇題填空題，很有必要。基本圖形：在矩形ABCD中，將ABF沿BE折疊至FBE,可得何結(jié)論？結(jié)論：（1）全等；（2）垂直。（1） 基本圖形練習(xí)： 如圖，將三角形紙片ABC沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB上，折痕為AD，展開(kāi)紙片；再次折疊，使得A和D點(diǎn)重合，折痕為EF,展開(kāi)紙片后得到AEF,則AEF是等腰三角形，對(duì)嗎？（2） 折疊中角的考法與做法： 將矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使得A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE（圖1）；再沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)D落在BE邊上的點(diǎn)D，折痕為EG（圖2）,再展開(kāi)紙片，求圖（3）中角a的大小。（3） 折疊中邊的考法與做法： 如圖，將邊長(zhǎng)為6cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊中點(diǎn)E處，折痕為FH，點(diǎn)C落在Q處，EQ與BC交于點(diǎn)G，則EBG的周長(zhǎng)是多少？解題步驟： 第一步：將已知條件標(biāo)在圖上； 第二步：設(shè)未知數(shù)，將未知數(shù)標(biāo)在圖上； 第三步：列方程，多數(shù)情況可通過(guò)勾股定理解決。模塊精講例1.（2014揚(yáng)州）已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連結(jié)AP、OP、OA求證：OCPPDA；若OCP與PDA的面積比為1：4，求邊AB的長(zhǎng)；（2）若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求OAB的度數(shù)；（3）如圖2，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，作MEBP于點(diǎn)E試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度例2.（2013蘇州）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，將ADE沿AE折疊后得到AFE，且點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部將AF延長(zhǎng)交邊BC于點(diǎn)G若=，則=用含k的代數(shù)式表示）例3、（2013蘇州）如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心，AB=10cm，BC=12cm，點(diǎn)E、F、G分別從A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1.5cm/s，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EBF關(guān)于直線EF的對(duì)稱(chēng)圖形是EBF設(shè)點(diǎn)E、F、G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）（1）當(dāng)t=s時(shí)，四邊形EBFB為正方形；（2）若以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；（3）是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由例4、如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點(diǎn)G，F(xiàn)，AE與FG交于點(diǎn)O（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2，當(dāng)AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求證：點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)；（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長(zhǎng)例5、已知ADBC，ABAD，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在射線AD，射線BC上若點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，AC與BD相交于點(diǎn)G，則（）A1+tanADB= B2BC=5CFCAEB+22=DEF D4cosAGB=課堂練習(xí)1、2、（2014連云港）如圖1，將正方形紙片ABCD對(duì)折，使AB與CD重合，折痕為EF如圖2，展開(kāi)后再折疊一次，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，折痕為GH，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，EM交AB于N，則tanANE=_ 圖3 圖43、（2014徐州）如圖3，在等腰三角形紙片ABC中，AB=AC，A=50，折疊該紙片，使點(diǎn)A落在點(diǎn)B處，折痕為DE，則CBE=_4、（2014揚(yáng)州）如圖4，ABC的中位線DE=5cm，把ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)F處，若A、F兩點(diǎn)間的距離是8cm，則ABC的面積為_(kāi)cm25、（2013揚(yáng)州）如圖1，在梯形ABCD中，ABCD，B=90，AB=2，CD=1，BC=m，P為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且和B、C不重合，連接PA，過(guò)P作PEPA交CD所在直線于E設(shè)BP=x，CE=y（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E總在線段CD上，求m的取值范圍；（3）如圖2，若m=4，將PEC沿PE翻折至PEG位置，BAG=90，求BP長(zhǎng)課后鞏固習(xí)題1、（2014淮安）如圖，在三角形紙片ABC中，AD平分BAC，將ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，展開(kāi)后折痕分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接DE、DF求證：四邊形AEDF是菱形2、（2013宿遷）如圖，在梯形ABCD中，ABDC，B=90，且AB=10，BC=6，CD=2點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作EFAD交邊AB于點(diǎn)F將BEF沿EF所在的直線折疊得到GEF，直線FG、EG分別交AD于點(diǎn)M、N，當(dāng)EG過(guò)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)E即停止運(yùn)動(dòng)設(shè)BE=x，GEF與梯形ABCD的重疊部分的面積為y（1）證明AMF是等腰三角形；（2）當(dāng)EG過(guò)點(diǎn)D時(shí)（如圖（3），求x的值；（3）將y表示成x的函數(shù)，并求y的最大值3、 如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,把BCD沿著對(duì)角線BD折疊,使點(diǎn)C落在C處,BC交AD于點(diǎn)G,E,F,分別是CD和BD上的點(diǎn),線段EF交AD于點(diǎn)H,把FDE沿著EF折疊,使點(diǎn)D落在D處,點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合.（1）求證:三角形ABGCDG（2）求tanABG的值；（3）求EF的長(zhǎng)。3、7九年級(jí) 第8講 專(zhuān)題精講