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第二章-預(yù)備知識(shí)

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第二章-預(yù)備知識(shí)

第二章 預(yù)備知識(shí)本章給出本書所必需的預(yù)備知識(shí)。第一節(jié)介紹矩陣論的基本概念和基本知識(shí);第二節(jié)討論廣義逆矩陣;第三節(jié)給出奇異矩陣束的概念;第四節(jié)討論正則矩陣的基本結(jié)果。2.1矩陣論基本概念和知識(shí)用表示復(fù)數(shù)集合,用表示實(shí)數(shù)集合。上的矩陣由表示,上的矩陣由表示。除非特別說明,所有矩陣都屬于。如果,我們用表示的共軛轉(zhuǎn)置;對(duì)向量,通常的內(nèi)積。對(duì)向量,定義它的Euclid范數(shù),。對(duì)矩陣,我們使用算子范數(shù),如果是的一個(gè)子空間,表示的維數(shù)。如果,的值域(列空間)用表示,而的零空間由表示。我們知道, 設(shè)都是的子空間,這些空間的和是子空間。如果(),即子空間是無關(guān)的,則它們的和稱為直和,記作。我們知道,而且,如果,則存在唯一的使得 一個(gè)投影是一個(gè)矩陣使得。易證,。反之,如果,存在唯一的投影使得和;我們把這個(gè)投影稱為沿著到上的投影,并記作。如果是的一個(gè)子空間,的一個(gè)正交補(bǔ)是。是一個(gè)子空間,并且。簡(jiǎn)記為。 我們經(jīng)常要用到塊矩陣的概念。特別地,若矩陣是塊對(duì)角的,即沿的主對(duì)角線有矩陣塊,其余元素均為零,記。矩陣的特征值是多項(xiàng)式的根。的譜是的所有特征值的集合,記作;的譜半徑為。設(shè),我們說相似于,如果存在一個(gè)非奇異矩陣使得。每一個(gè)矩陣都相似于一個(gè)Jordon標(biāo)準(zhǔn)型,即其中稱為Jordon塊。一個(gè)矩陣是半正定的,如果對(duì)所有都成立,其中表示向量的內(nèi)積。如果矩陣是半正定的,則它有唯一的半正定方根,記為,即。一個(gè)矩陣,的指數(shù),記作,是使得(為了方便起見設(shè))的最小非負(fù)整數(shù)。由于顯然,存在,且。若是非奇異矩陣,則。若是次數(shù)為的冪零矩陣(),則。指數(shù)也可以定義為使得成立的最小非負(fù)整數(shù)。如下定理我們?cè)谙鹿?jié)中要用到。定理1.1 如果,且,則和都是的不變子空間,且。定理1.1的證明留給讀者。定理1.2 如果, , 和則存在一個(gè)非奇異矩陣使得其中是一個(gè)非奇異矩陣,是一個(gè)次數(shù)為的冪零矩陣。證明:設(shè)是的一組基,是的一組基,則為的一組基。如果,則存在坐標(biāo)使得。設(shè)則,其中,。注意到,當(dāng)且僅當(dāng),而當(dāng)且僅當(dāng)。如果,我們有,其中是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣。這樣,。若,則。由于,故。由于對(duì)所有都有,因此。類似可證,從而得到,。 若,。這意味著對(duì)任意成立,從而。另一方面,由于和是一個(gè)矩陣可得,是非奇異矩陣。現(xiàn)在,由得,。2.2 廣義逆矩陣本節(jié)介紹廣義逆陣,即半逆陣、反形半逆陣、Moore-Penrose逆陣和Drazin逆陣。首先,我們來討論半逆矩陣。定義2.1 對(duì)于矩陣,若存在矩陣使得則稱矩陣為矩陣的半逆矩陣。一般地,用表示的一個(gè)半逆矩陣。一般說來,一個(gè)矩陣的不一定是唯一的,但如下結(jié)果成立。定理2.1 若為矩陣的一個(gè)半逆矩陣,則均為矩陣的一個(gè)半逆矩陣,其中,為適當(dāng)階數(shù)的任意矩陣,且矩陣的任何一個(gè)半逆矩陣都可表示成(2.2)的形式。 證明:我們先證明(2.2)滿足(2.1),即 反過來,我們證明,如果矩陣滿足(2.1),則其可以表示成(2.2)的形式。事實(shí)上,只要取即可。這時(shí)定理2.1證畢。定理2.2 如果,其中,為非奇異矩陣,而取遍矩陣的所有半逆陣,則取遍矩陣的所有半逆陣。證明:如果為矩陣的半逆陣,設(shè),則因而為的半逆陣。 反之,如果為的半逆陣,則它有形式,其中是的半逆陣。事實(shí)上,定理2.2證畢。 定理2.3 分塊矩陣的半逆陣為,其中 證明:直接驗(yàn)證得定理2.3證畢。 同理可證如下定理。 定理2.4 分塊矩陣的半逆陣為,其中 定理2.3和定理2.4分別給出求半逆陣的方法。例如,設(shè),是由的前行構(gòu)成的矩陣,是的第行。由定理2.3,我們可以得到求矩陣的半逆陣的遞推公式:其中下面討論反形半逆陣。定義2.2 設(shè),若存在階矩陣使得則稱為矩陣的反形半矩陣。一般地,用表示矩陣的一個(gè)反形逆。反形半逆陣是特殊的半逆陣。 定理2.5 如下關(guān)系式成立,其中為適當(dāng)階數(shù)的單位矩陣,為適當(dāng)階數(shù)的任意矩陣。定理2.6 當(dāng)取遍的所有半逆陣時(shí),矩陣取遍矩陣的所有反形逆陣。定理2.5和定理2.6的證明由定義直接驗(yàn)證即得。定義2.3 設(shè),若存在階矩陣使得則稱為矩陣的準(zhǔn)逆陣(Moore-Penrose逆陣,簡(jiǎn)稱逆陣)。 顯然,逆矩陣是一種特殊的反形半逆陣。特別地,當(dāng)時(shí),這表明的逆陣確是逆陣的一種推廣。下面證明定義2.3的矩陣存在而且唯一。定理2.7 設(shè),存在唯一滿足定義2.3的(Moore-Penrose)條件10-40的階矩陣。 證明:設(shè),則由矩陣分解理論知道,可以分解為,其中和分別為和階酉矩陣,這里為階非奇異上三角陣。記則滿足Moore-Penrose條件10-40。 下面證明唯一性。設(shè)和是矩陣的任意兩個(gè)Moore-Penrose逆,都滿足Moore-Penrose條件10-40,則Moore-Penrose逆有許多與通常逆(正則逆)相仿的性質(zhì)。定理2.8 設(shè),則(1) ;(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) ,這里和為酉矩陣。利用的定義可以方便地驗(yàn)證上述性質(zhì),留給讀者作為習(xí)題?,F(xiàn)在,我們討論Drazin逆陣。定義2.4 設(shè),若矩陣使得則稱為矩陣的Drazin逆陣(簡(jiǎn)稱逆陣)。定理2.9 設(shè),Drazin逆陣存在,且唯一。進(jìn)一步, 若其中是一個(gè)非奇異矩陣,是一個(gè)次數(shù)為的冪零矩陣,則。證明:設(shè),由定理1.2,存在一個(gè)非奇異矩陣使得(2.4)成立。定義如(2.5), 則滿足定義2.4中的條件10-30,故為矩陣的Drazin逆陣。這就是說,任意矩陣都存在Drazin逆陣。 現(xiàn)在,我們證明Drazin逆陣的唯一性。設(shè)和是矩陣的任意兩個(gè)Drazin逆陣,并設(shè),則由定義2.4中的條件10和30得,且由定義2.4中的條件20有類似可證這樣,我們有定理2.9證畢。 注2.1 和,其中。另外 由定理2.9,可得下面結(jié)論。定理2.10 如果,且是的一個(gè)重特征值,則是的一個(gè)重特征值。若是的一個(gè)重特征值,則是的一個(gè)重特征值。定理2.11 設(shè),則是的次數(shù)小于或等于多項(xiàng)式。證明:在(2.4)中,是一個(gè)非奇異矩陣,是一個(gè)次數(shù)為的冪零矩陣,且。由Cayley-Hamilton定理,其中是次數(shù)小于或等于的多項(xiàng)式。直接計(jì)算得,由于。定理2.11證畢。2.3矩陣束 本節(jié)給出矩陣束的基本概念和相應(yīng)的基本知識(shí)。定義3.1 對(duì)階數(shù)同為的兩個(gè)矩陣和純量,稱為以為參數(shù)的矩陣束,簡(jiǎn)稱矩陣束。一般地,我們將矩陣分為正則矩陣束和奇異矩陣束兩類。定義3.2 如果矩陣同為兩個(gè)階方陣,且行列式不恒為零,則稱矩陣束為正則矩陣束,稱矩陣對(duì)為正則矩陣對(duì)。定義3.3 對(duì)階數(shù)同為的兩個(gè)矩陣如果,或者且行列式恒為零,則稱矩陣束為奇異矩陣束。定義3.4 對(duì)階數(shù)同為的兩個(gè)矩陣束和,如果存在兩個(gè)階數(shù)分別為和的非奇異矩陣和,使得則稱矩陣束與矩陣束嚴(yán)格相抵的。對(duì)階數(shù)為的奇異矩陣束,設(shè)其秩為,則或者,或者。不妨設(shè),則列線性相關(guān),且線性方程組有非零解。 由于(3.1)的系數(shù)是的一次式,其基本的線性無關(guān)解??梢赃@樣選取,使得它的分量都是的多項(xiàng)式。我們只考慮這樣一些解,它是的多項(xiàng)式,且在這些解中,取最小次數(shù)的解其中 。將其代入(3.1),并比較的系數(shù)得則(3.3)關(guān)于的系數(shù)矩陣的秩。 由于是最小的,故矩陣的秩。這樣,是在式中使成立的最小指標(biāo)。定理3.1 如果(3.1)有最小次數(shù)的解,且有,則矩陣束與矩陣束嚴(yán)格相抵,其中而是這樣的矩陣束,類似(3.1)的方程對(duì)于它沒有次數(shù)小于的解。該定理的證明可分三步進(jìn)行:第一步,證明矩陣束與嚴(yán)格相抵,其中為適當(dāng)階的矩陣。 第二步,證明方程不能有次數(shù)小于的解。第三步,上面的矩陣可以化為(3.4)。詳細(xì)證明可參見5,從略。下面討論奇異矩陣束的標(biāo)準(zhǔn)形式。定理3.2 對(duì)于階數(shù)為的奇異矩陣束,若在其行之間和其列之間都沒有常系數(shù)的線性相關(guān)性,則矩陣束與矩陣束嚴(yán)格相抵,其中而矩陣束是正則的。 證明:如果奇異矩陣束列線性相關(guān),且方程有次數(shù)小于的非零解,由假定知,再由定理3.1可得,該矩陣束與矩陣束嚴(yán)格相抵,其中方程沒有次數(shù)小于的解。 如果方程有次數(shù)小于的非零解(必有),由定理3.1得,奇異矩陣束與矩陣束嚴(yán)格相抵,其中方程沒有次數(shù)小于的非零解。 如此繼續(xù)下去,我們可將奇異矩陣化為其中,且方程有次數(shù)非零的解,即矩陣束列線性無關(guān)。 如果矩陣束行線性相關(guān),則矩陣束的轉(zhuǎn)置矩陣束列線性相關(guān),由上可將其化為(1.6)的形式,即存在 將化為其中矩陣束的行和列都是線性無關(guān)的,即矩陣束是正則的。定理3.3 一般地,對(duì)于階數(shù)為的奇異矩陣束,存在非奇異矩陣和非奇異矩陣,使得其中為零矩陣,而,為一正則矩陣束,這里 證明:一般說來,矩陣束的行與列可能有常系數(shù)線性相關(guān)。設(shè)方程與方程的常系數(shù)無關(guān)解的最大個(gè)數(shù)分別為和。 對(duì)于方程(3.8),以其線性無關(guān)常數(shù)解為中基的前個(gè)向量,則對(duì)應(yīng)的矩陣中前列都是零,即 對(duì)于,用完全類似的方法可使前行變?yōu)榱恪_@樣,矩陣束可化為其中的行與列沒有常系數(shù)線性相關(guān)性。由定理3.2可得定理3.3成立。2.4 正則矩陣束上一節(jié)中,我們給出了正則矩陣束的概念,本節(jié)將作進(jìn)一步的討論。定理4.1 矩陣對(duì)為正則的充要條件為,存在單位矩陣和冪零矩陣使得矩陣束與矩陣束嚴(yán)格相抵。證明:定理的充分性是顯然,我們只需證明其必要性。如果矩陣束正則,則存在常數(shù)使得。設(shè),則從而用相似變換,將其化為其中為矩陣的準(zhǔn)對(duì)角形范式。為冪零矩陣,而。 式(2.1)右端的對(duì)角線上第一子塊乘以,第二子塊乘以,并設(shè),可得矩陣束與矩陣束嚴(yán)格相抵,而且,仍為冪零矩陣。定理2.1證畢。由定理4.1不難證明如下定理。定理4.2 矩陣對(duì)為正則的充要條件為,存在單位矩陣和冪零矩陣使得矩陣束與矩陣束嚴(yán)格相抵。定理4.3 設(shè)矩陣對(duì)正則,即存在某些純量使得存在,令則有 證明:因?yàn)槲覀冇幸虼?,。用分別左乘和右乘該式,得故。定理2.3證畢。 定理4.4 下列敘述是等價(jià)的,a) 矩陣對(duì)正則;b) 如果,而且則對(duì)所有,都有;c) 如果,而且則對(duì)所有,都有;d) 對(duì)所有的,矩陣列滿秩。e) 對(duì)所有的,矩陣行滿秩。證明:我們首先證明a)與b)的等價(jià)性。如果a)不成立,則存在非零的使得對(duì)所有的數(shù)都有我們可以將表示為關(guān)于的階數(shù)最小的多項(xiàng)式其中。將式(2.2)代入方程組并比較充要條件為,存在單位矩陣和冪零矩陣使得矩陣束與矩陣束關(guān)于的同次項(xiàng)系數(shù)得我們注意到,而且,故b)不成立,即由b)可以得到a)。反之,如果b)不成立,設(shè)為第一個(gè)使得()非零的集合,并設(shè)為集中的非零元素。由的定義,存在唯一確定的使得類似地,存在唯一確定的使得(2.3)成立,故a)不成立。也就是說,由a)可推出b).綜上所述,a)與b)等價(jià)。由于等價(jià)于,因而可由a)與b)的等價(jià)性得到a)與c)的等價(jià)性。a)與d)和a)與e)的等價(jià)性同理可證。

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