北師大版高中數(shù)學(xué)選修一《推理與證明》全部教案.doc
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歸納推理教學(xué)目標(biāo):1、通過(guò)對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧,進(jìn)一步體會(huì)合情推理這種基本的分析問題法,認(rèn)識(shí)歸納推理的基本方法與步驟,并把它們用于對(duì)問題的發(fā)現(xiàn)與解決中去。2.歸納推理是從特殊到一般的推理方法,通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多,越具有代表性,那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠,它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。教學(xué)重點(diǎn):了解合情推理的含義,能利用歸納進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。教學(xué)難點(diǎn):用歸納進(jìn)行推理,做出猜想。教學(xué)過(guò)程:一、課堂引入:從一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出另一個(gè)新命題的思維過(guò)程稱為推理。見書上的三個(gè)推理案例,回答幾個(gè)推理各有什么特點(diǎn)?都是由“前提”和“結(jié)論”兩部分組成,但是推理的結(jié)構(gòu)形式上表現(xiàn)出不同的特點(diǎn),據(jù)此可分為合情推理與演繹推理二、新課講解:1、蛇是用肺呼吸的,鱷魚是用肺呼吸的,海龜是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。蛇,鱷魚,海龜,蜥蜴都是爬行動(dòng)物,所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的。2、三角形的內(nèi)角和是,凸四邊形的內(nèi)角和是,凸五邊形的內(nèi)角和是由此我們猜想:凸邊形的內(nèi)角和是3、,由此我們猜想:(均為正實(shí)數(shù))這種由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概栝出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理.(簡(jiǎn)稱:歸納)歸納推理的一般步驟: 對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納 整理; 提出帶有規(guī)律性的結(jié)論,即猜想; 檢驗(yàn)猜想。 實(shí)驗(yàn),觀察概括,推廣猜測(cè)一般性結(jié)論 三、例題講解:例1已知數(shù)列的通項(xiàng)公式,試通過(guò)計(jì)算的值,推測(cè)出的值?!緦W(xué)生討論:】(學(xué)生討論結(jié)果預(yù)測(cè)如下)(1)由此猜想,學(xué)生討論:1)哥德巴赫猜想:任何大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的之和。 2)三根針上有若干個(gè)金屬片的問題。四、鞏固練習(xí):1、已知,經(jīng)計(jì)算: ,推測(cè)當(dāng)時(shí),有_.2、已知:,。觀察上述兩等式的規(guī)律,請(qǐng)你寫出一般性的命題,并證明之。3、觀察(1)(2)。由以上兩式成立,推廣到一般結(jié)論,寫出你的推論。注:歸納推理的幾個(gè)特點(diǎn):1.歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍.2.歸納是依據(jù)若干已知的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測(cè)性.3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上.歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)和對(duì)有限資料分析的基礎(chǔ)上.提出帶有規(guī)律性的結(jié)論.五、教學(xué)小結(jié):1.歸納推理是由部分到整體,從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多,越具有代表性,那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠,它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。2.歸納推理的一般步驟:1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)。2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題(猜想)。第二課時(shí) 類比推理教學(xué)目標(biāo):(一)知識(shí)與能力:通過(guò)對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧,認(rèn)識(shí)類比推理這一種合情推理的基本方法,并把它用于對(duì)問題的發(fā)現(xiàn)中去。(二)過(guò)程與方法:類比推理是從特殊到特殊的推理,是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì),類比的性質(zhì)相似性越多,相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān),從而類比得出的結(jié)論就越可靠。(三)情感態(tài)度與價(jià)值觀:1正確認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用,養(yǎng)成從小開始認(rèn)真觀察事物、分析問題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個(gè)性品質(zhì),善于發(fā)現(xiàn)問題,探求新知識(shí)。2認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在日常生產(chǎn)生活中的重要作用,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué),用數(shù)學(xué),完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)學(xué)意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn):了解合情推理的含義,能利用類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。教學(xué)難點(diǎn):用類比進(jìn)行推理,做出猜想。教具準(zhǔn)備:與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。教學(xué)過(guò)程:一問題情境從一個(gè)傳說(shuō)說(shuō)起:春秋時(shí)代魯國(guó)的公輸班(后人稱魯班,被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師)一次去林中砍樹時(shí)被一株齒形的茅草割破了手,這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.他的思路是這樣的:茅草是齒形的;茅草能割破手. 我需要一種能割斷木頭的工具;它也可以是齒形的.這個(gè)推理過(guò)程是歸納推理嗎? 二數(shù)學(xué)活動(dòng)我們?cè)倏磶讉€(gè)類似的推理實(shí)例。例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì): 猜想不等式的性質(zhì):(1) a=ba+c=b+c; (1) aba+cb+c;(2) a=b ac=bc; (2) ab acbc;(3) a=ba2=b2;等等。 (3) aba2b2;等等。問:這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確?例2、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比.圓的定義:平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.球的定義:到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.圓 球弦截面圓直徑大圓周長(zhǎng)表面積面積體積圓的性質(zhì)球的性質(zhì)圓心與弦(不是直徑)的中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面圓(不是大圓)的圓點(diǎn)的連線垂直于截面圓與圓心距離相等的兩弦相等;與圓心距離不等的兩弦不等,距圓心較近的弦較長(zhǎng)與球心距離相等的兩截面圓相等;與球心距離不等的兩截面圓不等,距球心較近的截面圓較大圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑;經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)球的切面垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑;經(jīng)過(guò)球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切面的直線必經(jīng)過(guò)球心上述兩個(gè)例子均是這種由兩個(gè)(兩類)對(duì)象之間在某些方面的相似或相同,推演出他們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?;或其中一類?duì)象的某些已知特征,推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡(jiǎn)稱類比) 簡(jiǎn)言之,類比推理是由特殊到特殊的推理類比推理的一般步驟: 找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征; 用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征,從而得出一個(gè)猜想; 檢驗(yàn)猜想。即觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論例3.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點(diǎn),P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論:試通過(guò)類比,寫出在空間中的類似結(jié)論.鞏固提高1(2001年上海)已知兩個(gè)圓x2+y2=1:與x2+(y-3)2=1,則由式減去式可得上述兩圓的對(duì)稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個(gè)更一般的命題,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個(gè)特例,推廣的命題為-2類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想直角三角形3個(gè)面兩兩垂直的四面體C903個(gè)邊的長(zhǎng)度a,b,c 2條直角邊a,b和1條斜邊cPDFPDEEDF90 4個(gè)面的面積S1,S2,S3和S 3個(gè)“直角面” S1,S2,S3和1個(gè)“斜面” S1類比推理是從特殊到特殊的推理,是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多,相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān),從而類比得出的結(jié)論就越可靠。2 類比推理的一般步驟:第三課時(shí) 綜合法【教學(xué)目標(biāo)】1理解綜合法的思維過(guò)程及其特點(diǎn);2掌握運(yùn)用綜合法證明數(shù)學(xué)問題的一般步驟,能運(yùn)用綜合法證明簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題。【教學(xué)重點(diǎn)難】理解綜合法的思維過(guò)程和特點(diǎn);運(yùn)用綜合法證(解)題時(shí),找出有效的推理“路線”;綜合法:從已知條件出發(fā),利用定義、公理、定理、某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式及不等式的性質(zhì)經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證等而推導(dǎo)出所要證明的不等式,這個(gè)證明方法叫綜合法。(也叫順推證法或由因?qū)Чǎ├?、已知a, b, c是不全相等的正數(shù),求證:a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc分析:不等式左邊含有“a2+b2”的形式,我們可以運(yùn)用基本不等式:a2+b22ab;還可以這樣思考:不等式左邊出現(xiàn)有三次因式:a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”,右邊有三正數(shù)a,b,c的“積”,我們可以運(yùn)用重要不等式:a3+b3+c33abc. 證:b2 + c2 2bc , a 0 , a(b2 + c2) 2abc 同理:b(c2 + a2) 2abc , c(a2 + b2) 2abc a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc 當(dāng)且僅當(dāng)b=c,c=a,a=b時(shí)取等號(hào),而a, b, c是不全相等的正數(shù) 三式不同時(shí)取等號(hào),三式相加得 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc本例證法可稱為三合一法,當(dāng)要證的不等式關(guān)于字母具有對(duì)稱形式時(shí),我們??砂哑淇闯墒怯扇舾蓚€(gè)結(jié)構(gòu)相同但所含字母較少的不等式相加或相乘而得,我們只要先把減了元的較簡(jiǎn)單的不等式證出,即可完成原不等式的證明。例2、a , b, cR, 求證:123證:1、法一:, , 兩式相乘即得。 法二:左邊 3 + 2 + 2 + 2 = 92、 兩式相乘即得3、由上題:,即:例3、已知a,b,c都是正數(shù),且a,b,c成等比數(shù)列,求證:證明:左右=2(ab+bcac),a,b,c成等比數(shù)列,又a,b,c都是正數(shù),所以,說(shuō)明:此題在證明過(guò)程中運(yùn)用了比較法、基本不等式、等比中項(xiàng)性質(zhì),體現(xiàn)了綜合法證明不等式的特點(diǎn)例4、制造一個(gè)容積為V(定值)的圓柱形容器,試分別就容器有蓋及無(wú)蓋兩種情況,求:怎樣選取底半徑與高的比,使用料最???分析:根據(jù)1題中不等式左右的結(jié)構(gòu)特征,考慮運(yùn)用“基本不等式”來(lái)證明.對(duì)于2題,抓住容積為定值,建立面積目標(biāo)函數(shù),求解最值,是本題的思路.解:設(shè)容器底半徑為r,高為h,則V=r2h,h=.(1)當(dāng)容器有蓋時(shí),所需用料的面積:S=2r2+2rh=2r2+=2r2+3當(dāng)且僅當(dāng)2r2=,即r=,h=2r,取“=”號(hào).故時(shí)用料最省.(2)當(dāng)容器無(wú)蓋時(shí),所需用料面積:S=r2+2rh=r2+=r2+3當(dāng)且僅當(dāng)r2=,r=,h=r.即r=h時(shí)用料最省.作業(yè)補(bǔ)充題:1、設(shè)a0,b0,c0且a+b+c=1,求證:8abc(1-a)(1-b)(1-c).2、設(shè)a,b,c為一個(gè)不等邊三角形的三邊,求證:abc(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b).3、已知a, bR+,求證:第四課時(shí) 分析法【教學(xué)目標(biāo)】結(jié)合已學(xué)過(guò)的實(shí)例,了解直接證明的方法分析法,了解分析法的思考過(guò)程與特點(diǎn)。【教學(xué)重點(diǎn)難】理解分析法的思維過(guò)程和特點(diǎn);運(yùn)用分析法證(解)題時(shí),規(guī)范書寫證明過(guò)程.分析法:當(dāng)用綜合法不易發(fā)現(xiàn)解題途徑時(shí),我們可以從求證的不等式出發(fā),逐步分析尋求使這個(gè)不等式成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí),從而得出要證的不等式成立,這種執(zhí)果所因的思考和證明方法叫做分析法。使用分析法證明時(shí),要注意表述的規(guī)范性,當(dāng)問題比較復(fù)雜時(shí),通常把分析法和綜合法結(jié)合使用,以分析法尋求證明的思路,而用綜合法進(jìn)行表述,完成證明過(guò)程。例1、求證:證:分析法: 綜合表述: 21 25 只需證明: 展開得: 即: 即: 21 0,y 0,證明不等式:證一:(分析法)所證不等式即: 即: 即: 只需證: 成立 證二:(綜合法) x 0,y 0, 例3、已知:a + b + c = 0,求證:ab + bc + ca 0證一:(綜合法)a + b + c = 0 (a + b + c)2 = 0 展開得: ab + bc + ca 0證二:(分析法)要證ab + bc + ca 0 a + b + c = 0 故只需證 ab + bc + ca (a + b + c)2 即證: 即: (顯然)原式成立證三:a + b + c = 0 - c = a + b ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab - (a + b)2 = -a2 -b2 -ab = 例4、已知,求證:,并求等號(hào)成立的條件。分析:不等式右邊是常數(shù),能否用平均值定理?應(yīng)當(dāng)可以。(找條件一正、二定、三相等) 如何把左邊變形為和的形式?多項(xiàng)式的除法或配湊!左=(看到了希望?。?= (已知) 當(dāng)時(shí),由解出當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。例5、a0,b0,且a +b =1,求證:2.證明: 2 (a +)+(b +)+24 1 ab +1 ab +1aba0,b0,且a +b =1,ab()2=成立,故 2.作業(yè)補(bǔ)充題1.求證:.2、若a,b0,2ca+b,求證: (1)c2ab ;(2)c -a c +3、求證:a,b,cR+,求證: 4、設(shè)a, b, c是的ABC三邊,S是三角形的面積,求證:5、已知0 q 0,且x + y 2,則和中至少有一個(gè)小于2。反設(shè)2,2 x, y 0,可得x + y 2 與x + y 2矛盾,原式成立例2、已知a + b + c 0,ab + bc + ca 0,abc 0,求證:a, b, c 0 證:(1)設(shè)a 0, bc 0, 則b + c = -a 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾, 必有a 0 同理可證:b 0, c 0例3、設(shè)0 a, b, c , (1 - b)c , (1 - c)a ,則三式相乘: (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a, b, c B,我們可以適當(dāng)?shù)恼乙粋€(gè)中間量C作為媒介,證明AC且CB,從而得到AB.我們把這種把B放大到C(或把A縮小到C)的方法稱為放縮法.放縮是一種重要的變形手段,但是放縮的對(duì)象以及放縮的尺度不易掌握,技巧性較強(qiáng),這關(guān)系到證明的成敗,往往需要根據(jù)具體的題目經(jīng)過(guò)多次的探索和試驗(yàn)才能成功,因此必須多練. 比較常用的方法時(shí)把分母或分子適當(dāng)放大或縮?。p去或加上一個(gè)正數(shù))使不等式簡(jiǎn)化易證。例4、若a, b, c, dR+,求證:證:記m = a, b, c, dR+ 1 m 2 時(shí),求證: 證:n 2 , n 2時(shí), 例6、求證: 證:思考:若把不等式的右邊改成或,你可以證明嗎?例7、 求證:證:|a+b|a|+|b|a|+|b|-|a+b|0,作業(yè)補(bǔ)充題1、設(shè)0 a, b, c 0, y 0, ,求證:a b5、證明:6、 證明:lg9lg11 b c, 則W第五課時(shí) 數(shù)學(xué)歸納法【教學(xué)目標(biāo)】1 使學(xué)生了解歸納法, 理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)質(zhì)2 掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟;會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡(jiǎn)單的與自然數(shù)有關(guān)的命題3 培養(yǎng)學(xué)生觀察, 分析, 論證的能力, 進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力,讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程, 體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想4 努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境,使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率5 通過(guò)對(duì)例題的探究,體會(huì)研究數(shù)學(xué)問題的一種方法(先猜想后證明), 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識(shí)和科學(xué)精神【教學(xué)重點(diǎn)】歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的分析【教學(xué)難點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解【教學(xué)方法】類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法【教學(xué)手段】多媒體輔助課堂教學(xué)【教學(xué)程序】第一階段:輸入階段創(chuàng)造學(xué)習(xí)情境,提供學(xué)習(xí)內(nèi)容1 創(chuàng)設(shè)問題情境,啟動(dòng)學(xué)生思維 (1) 不完全歸納法引例:明朝劉元卿編的應(yīng)諧錄中有一個(gè)笑話:財(cái)主的兒子學(xué)寫字這則笑話中財(cái)主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫”的結(jié)論,用的就是“歸納法”,不過(guò),這個(gè)歸納推出的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的(2) 完全歸納法對(duì)比引例:有一位師傅想考考他的兩個(gè)徒弟,看誰(shuí)更聰明一些他給每人一筐花生去剝皮,看看每一?;ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳?,看誰(shuí)先給出答案大徒弟費(fèi)了很大勁將花生全部剝完了;二徒弟只揀了幾個(gè)飽滿的,幾個(gè)干癟的,幾個(gè)熟好的,幾個(gè)沒熟的,幾個(gè)三仁的,幾個(gè)一仁、兩仁的,總共不過(guò)一把花生顯然,二徒弟先給出答案,他比大徒弟聰明在生活和生產(chǎn)實(shí)際中,歸納法也有廣泛應(yīng)用例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測(cè),水文預(yù)報(bào),用的就是歸納法這些歸納法卻不能用完全歸納法2 回顧數(shù)學(xué)舊知,追溯歸納意識(shí)(從生活走向數(shù)學(xué),與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí),進(jìn)一步體會(huì)歸納意識(shí),同時(shí)讓學(xué)生感受到我們以前的學(xué)習(xí)中其實(shí)早已接觸過(guò)歸納)(1) 不完全歸納法實(shí)例: 給出等差數(shù)列前四項(xiàng), 寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式(2) 完全歸納法實(shí)例: 證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況3 借助數(shù)學(xué)史料, 促使學(xué)生思辨(在生活引例與學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上,再引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué)史料,能夠讓學(xué)生多方位多角度體會(huì)歸納法,感受使用歸納法的普遍性同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨:在數(shù)學(xué)中運(yùn)用不完全歸納法常常會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論,不管是我們還是數(shù)學(xué)大家都可能如此那么,有沒有更好的歸納法呢?)問題1 已知(nN),(1)分別求;(2)由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論?這個(gè)結(jié)論正確嗎? (培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識(shí)和數(shù)學(xué)概括能力概括能力是思維能力的核心魯賓斯坦指出:思維都是在概括中完成的心理學(xué)認(rèn)為“遷移就是概括”,這里知識(shí)、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移,我找的突破口就是學(xué)生的概括過(guò)程)問題2 費(fèi)馬(Fermat)是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,他曾認(rèn)為,當(dāng)nN時(shí),一定都是質(zhì)數(shù),這是他對(duì)n0,1,2,3,4作了驗(yàn)證后得到的后來(lái),18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉(Euler)卻證明了4 294 967 2976 700 417641,從而否定了費(fèi)馬的推測(cè)沒想到當(dāng)n5這一結(jié)論便不成立問題3 , 當(dāng)nN時(shí),是否都為質(zhì)數(shù)?驗(yàn)證: f(0)41,f(1)43,f(2)47,f(3)53,f(4)61,f(5)71,f(6)83,f(7)97,f(8)113,f(9)131,f(10)151,f(39)1 601但是f(40)1 681,是合數(shù)第二階段:新舊知識(shí)相互作用階段新舊知識(shí)作用,搭建新知結(jié)構(gòu)4 搜索生活實(shí)例,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣(在第一階段的基礎(chǔ)上,由生活實(shí)例出發(fā),與學(xué)生一起解析歸納原理, 揭示遞推過(guò)程孔子說(shuō):“知之者不如好之者,好之者不如樂之者”興趣這種個(gè)性心理傾向一般總是伴隨著良好的情感體驗(yàn))實(shí)例:播放多米諾骨牌錄像關(guān)鍵:(1) 第一張牌被推倒; (2) 假如某一張牌倒下, 則它的后一張牌必定倒下 于是, 我們可以下結(jié)論: 多米諾骨牌會(huì)全部倒下 搜索:再舉幾則生活事例:推倒自行車, 早操排隊(duì)對(duì)齊等5 類比數(shù)學(xué)問題, 激起思維浪花類比多米諾骨牌過(guò)程, 證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式:(1) 當(dāng)n1時(shí)等式成立; (2) 假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立, 即, 則=, 即nk1時(shí)等式也成立 于是, 我們可以下結(jié)論: 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)任何n都成立(布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為,“有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”強(qiáng)調(diào)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程這里通過(guò)類比多米諾骨牌過(guò)程,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的雛形,是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí))6 引導(dǎo)學(xué)生概括, 形成科學(xué)方法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下:(1) 證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)結(jié)論正確;(2) 假設(shè)當(dāng)nk (k,k) 時(shí)結(jié)論正確, 證明當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也正確完成這兩個(gè)步驟后, 就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)n都正確這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法第三階段:操作階段鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu),充實(shí)認(rèn)知過(guò)程7 蘊(yùn)含猜想證明, 培養(yǎng)研究意識(shí)(本例要求學(xué)生先猜想后證明,既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法,也能教給學(xué)生做數(shù)學(xué)的方法,培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究數(shù)學(xué)問題的意識(shí)和能力)例題 在數(shù)列中, 1, (n), 先計(jì)算,的值,再推測(cè)通項(xiàng)的公式, 最后證明你的結(jié)論8 基礎(chǔ)反饋練習(xí), 鞏固方法應(yīng)用(課本例題與等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明差不多,套用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟不難解答,因此我把它作為練習(xí),這樣既考慮到學(xué)生的能力水平,也不沖淡本節(jié)課的重點(diǎn)練習(xí)第3題恰好是等比數(shù)列通項(xiàng)公式的證明,與前者是一個(gè)對(duì)比與補(bǔ)充通過(guò)這兩個(gè)練習(xí)能看到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證題步驟的掌握情況)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明:135(2n1)(2)首項(xiàng)是,公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是9 師生共同小結(jié), 完成概括提升(1) 本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法;(2) 歸納法是一種由特殊到一般的推理方法,它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種,完全歸納法只局限于有限個(gè)元素,而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性,數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法;(3) 數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法,其基本思想是遞推(遞歸)思想,使用要點(diǎn)可概括為:兩個(gè)步驟一結(jié)論,遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉;(4) 本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有:遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想10 布置課后作業(yè), 鞏固延伸鋪墊 在數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步中,證明nk1時(shí)命題成立, 必須要用到nk時(shí)命題成立這個(gè)假設(shè)這里留一個(gè)辨析題給學(xué)生課后討論思考:用數(shù)學(xué)歸納法證明: (n)時(shí), 其中第二步采用下面的證法:設(shè)nk時(shí)等式成立, 即, 則當(dāng)nk1時(shí), 你認(rèn)為上面的證明正確嗎?為什么?教后反思:1數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法它的操作步驟簡(jiǎn)單、明確,教學(xué)重點(diǎn)不應(yīng)該是方法的應(yīng)用我認(rèn)為不能把教學(xué)過(guò)程當(dāng)作方法的灌輸,技能的操練為此,我設(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的教學(xué),把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對(duì)歸納法的分析、認(rèn)識(shí)當(dāng)中,把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來(lái)這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景,從一開始就注意它的功能,為使用它打下良好的基礎(chǔ),而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué),這不僅是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充,也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)2在教學(xué)方法上,這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法目的是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)教學(xué)過(guò)程的參與為了使這種參與有一定的智能度,教師應(yīng)做好發(fā)動(dòng)、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的,本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問題,讓學(xué)生投入到思維活動(dòng)中來(lái),把本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容置于問題之中,在逐漸展開中,引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識(shí)、方法予以解決,并獲得知識(shí)體系的更新與拓展3運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,兩個(gè)步驟缺一不可理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想,尤其要注意其中第二步,證明nk1命題成立時(shí)必須要用到nk時(shí)命題成立這個(gè)條件這些內(nèi)容都將放在下一課時(shí)完成,這種理解不僅使我們能夠正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì),也為證明過(guò)程中第二步的設(shè)計(jì)指明了思維方向17.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問題本站不予受理。
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