上海市17區(qū)縣2021屆高三數(shù)學一模分類匯編 專題四 數(shù)列 文

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1、 專題四 數(shù)列 匯編2013年3月 （楊浦區(qū)2013屆高三一模 文科）16．若無窮等比數(shù)列的前項和為，首項為，公比為，且， ()，則復數(shù)在復平面上對應(yīng)的點位于 ………（ ） 第一象限． 　第二象限．　 第三象限． 第四象限． 16．； （閔行區(qū)2013屆高三一模 文科）18．數(shù)列滿足，，若數(shù)列的前項和為，則的值為 [答] ( ) （A） （B） （C）

2、 （D） （文）數(shù)列滿足，，若數(shù)列的前項和為，則的值為 [答] ( ) （A） （B） （C） （D） 18．D． （虹口區(qū)2013屆高三一模）18、數(shù)列滿足，其中，設(shè)，則等于( )． 18、C； （奉賢區(qū)2013屆高三一模）17、（理）已知是等差數(shù)列的前n項和，且，有下列四個命題，假命題的是（ ） A．公差；

3、 B．在所有中，最大； C．滿足的的個數(shù)有11個； D．； 17． 理C （奉賢區(qū)2013屆高三一模）17、（文）已知是等差數(shù)列的前n項和，且，，則下列結(jié)論錯誤的是 （ ） A．和均為的最大值. B．； C．公差； D．； 文D （金山區(qū)2013屆高三一模）10．A、B、C三所學校共有高三學生1500人，且A、B、C三所學校的高三學生人數(shù)成等差數(shù)列，在一次聯(lián)考后，準備用分層抽樣的方法從所有高三學生中抽取容量為120的樣本，進行成績分析，則應(yīng)從B

4、校學生中抽取_________人． 10．40 （浦東新區(qū)2013屆高三一模 文科）17．若，，，的方差為，則，，，的方差為（ ） （普陀區(qū)2013屆高三一模 文科）6. 若等差數(shù)列的前項和為，，，則數(shù)列的通項公式 為 . 6.（） （楊浦區(qū)2013屆高三一模 文科）8. 設(shè)數(shù)列()是等差數(shù)列.若和是方程的兩根，則數(shù)列的前 項的和______________．8. 2013； （浦東新區(qū)2013屆高三一模 文科）14．共有種排列，其中滿足“對所有 都

5、有”的不同排列有 54 種. （奉賢區(qū)2013屆高三一模）14、（理）設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，，則 ．14．理 （楊浦區(qū)2013屆高三一模 文科）18. 已知數(shù)列是各項均為正數(shù)且公比不等于的等比數(shù)列（）. 對于函數(shù)，若數(shù)列為等差數(shù)列，則稱函數(shù)為“保比差數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：①， ②， ③， ④，則為“保比差數(shù)列函數(shù)”的所有序號為 ………（ ） ①②． ③④． ①②④． ②③④ ． 18. ． （嘉定區(qū)2013屆高三一模 文科）4．一組數(shù)據(jù)，，，，的平均

6、數(shù)是，則這組數(shù)據(jù)的方差是_________． 4． （浦東新區(qū)2013屆高三一模 文科）7．等差數(shù)列中，，則該數(shù)列的前項的和 . （黃浦區(qū)2013屆高三一模 文科）4．若數(shù)列的通項公式為，則 ．4．； （靜安區(qū)2013屆高三一模 文科）11． （文）數(shù)列的前項和為（），對任意正整數(shù)，數(shù)列的項都滿足等式，則= . 11．（文）； （閔行區(qū)2013屆高三一模 文科）14． （文）如下圖，對大于或等于2的正整數(shù)的次冪進行如下方式的“分裂”(其中)：例如的“分裂”中最小的數(shù)是，最大的數(shù)是；若的“分裂”中最小的數(shù)是，則

7、 . 14．文． （嘉定區(qū)2013屆高三一模 文科）5．在等差數(shù)列中，，從第項開始為正數(shù)， 則公差的取值范圍是__________________．5． （靜安區(qū)2013屆高三一模 文科）2．等比數(shù)列（）中，若，，則 . 2．64； （靜安區(qū)2013屆高三一模 文科）16．（文）等差數(shù)列中，已知，且，則數(shù)列前項和（）中最小的是（ ） (A) 或 (B) (C) (D) （文）同理15 16．（文）C； （嘉定區(qū)2013屆高三一模 文科）1

8、4．在數(shù)列中，若存在一個確定的正整數(shù)，對任意滿足，則稱是周期數(shù)列，叫做它的周期．已知數(shù)列滿足，（），，當數(shù)列的周期為時，則的前項的和________． 14． （靜安區(qū)2013屆高三一模 文科）3． （文）求和：= .（）（文） （金山區(qū)2013屆高三一模）14．若實數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，點P(–1, 0)在動直線l：ax+by+c=0上的射影為M，點N(0, 3)，則線段MN長度的最小值是 ． 14． （虹口區(qū)2013屆高三一模）9、在等比數(shù)列中，已知，，則 ． 9、； （青浦區(qū)2013屆高三一模）8．若三個互不相等的實數(shù)

9、成等差數(shù)列，適當交換這三個數(shù)的位置后變成一個等比數(shù)列，則此等比數(shù)列的公比為 （寫出一個即可）．． （奉賢區(qū)2013屆高三一模）6、設(shè)無窮等比數(shù)列的前n項和為Sn，首項是，若Sn＝，，則公比的取值范圍是 ． 6． （崇明縣2013屆高三一模）13、數(shù)列滿足，則的前60項和等于　　　　　　　　　　　　　　　. 13、1830 （虹口區(qū)2013屆高三一模）12、等差數(shù)列的前項和為，若，，則 ．12、10； （長寧區(qū)2013屆高三一模）7、從數(shù)列中可以找出無限項構(gòu)成一個新的等比數(shù)列，使得該新數(shù)列的各項和為，

10、則此數(shù)列的通項公式為 7、 （寶山區(qū)2013屆期末）11.若數(shù)列的通項公式是，則 =_______. （崇明縣2013屆高三一模）9、數(shù)列的通項公式是， 前項和為，則　　　　　　　　　. 9、 （長寧區(qū)2013屆高三一模）3、已知口袋里裝有同樣大小、同樣質(zhì)量的個小球，其中個白球、個黑球，則從口袋中任意摸出個球恰好是白黑的概率為 . （結(jié)果精確到） 3、 （寶山區(qū)2013屆期末）15.現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法的種數(shù)為……（ C） （A） （B）

11、 （C） （D） （青浦區(qū)2013屆高三一模）20．(本題滿分14分) 本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分. 已知數(shù)列滿足． （1）設(shè)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式； （2）求數(shù)列的前項和． 解：（1），……2分 為等差數(shù)列．又，．……………………………………………4分 ．………………………………………………………………………6分 （2）設(shè)，則 3． ．…………………10分 ． ． …………………………14分 （金山區(qū)2013屆高三一模）23．（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題

12、6分，第3小題8分） 已知數(shù)列{an}滿足，(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，為數(shù)列{an}的前項和． (1) 若，求的值； (2) 求數(shù)列{an}的通項公式； (3) 當時，數(shù)列{an}中是否存在三項構(gòu)成等差數(shù)列，若存在，請求出此三項；若不存在，請說明理由． 23．解：(1) 令，得到，令，得到?！?分 由，計算得．……………………………………………………4分 (2) 由題意，可得： ，所以有 ，又，……………………5分 得到：，故數(shù)列從第二項起是等比數(shù)列。……………7分 又因為，所以n≥2時，……………………………8分 所以數(shù)

13、列{an}的通項…………………………………10分 (3) 因為 所以……………………………………11分 假設(shè)數(shù)列{an}中存在三項am、ak、ap成等差數(shù)列， ①不防設(shè)m>k>p≥2，因為當n≥2時，數(shù)列{an}單調(diào)遞增，所以2ak=am+ap 即：2′()′4k–2 = ′4m–2 + ′4p–2，化簡得：2′4k - p = 4m–p+1 即22k–2p+1=22m–2p+1，若此式成立，必有：2m–2p=0且2k–2p+1=1， 故有：m=p=k，和題設(shè)矛盾………………………………………………………………14分 ②假設(shè)存在成等差數(shù)列的三項中包含a1時， 不妨設(shè)m=1，

14、k>p≥2且ak>ap，所以2ap = a1+ak ， 2′()′4p–2 = – + ()′4k–2，所以2′4p–2= –2+4k–2，即22p–4 = 22k–5 – 1 因為k > p ≥ 2，所以當且僅當k=3且p=2時成立………………………………………16分 因此，數(shù)列{an}中存在a1、a2、a3或a3、a2、a1成等差數(shù)列……………………………18分 （浦東新區(qū)2013屆高三一模 文科）22．（本小題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分） 定義數(shù)列，如果存在常數(shù)，使對任意正整數(shù)，總有成立，那么我們稱數(shù)列為“擺動數(shù)列”． （1）設(shè)，，，判斷

15、、是否為“擺動數(shù)列”，并說明理由； （2）設(shè)數(shù)列為“擺動數(shù)列”，，求證：對任意正整數(shù)，總有成立； （3）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，試問：數(shù)列是否為“擺動數(shù)列”，若是，求出的取值范圍；若不是，說明理由. 解：（1）假設(shè)數(shù)列是“擺動數(shù)列”，即存在常數(shù)，總有對任意成立， 不妨取時，則，取時，則，顯然常數(shù)不存在， 所以數(shù)列不是“擺動數(shù)列”；…………………………………………2分 而數(shù)列是“擺動數(shù)列”，. 由，于是對任意成立， 所以數(shù)列是“擺動數(shù)列”.…4分 （2）由數(shù)列為“擺動數(shù)列”，， 即存在常數(shù)，使對任意正整數(shù)，總有成立. 即有成立.則，…………………6分 所以，……………………

16、………………7分 同理，………………8分 所以.………………………………………………………………9分 因此對任意的，都有成立.………………………………10分 （3）當時，， 當時，，綜上，…………12分 即存在，使對任意正整數(shù)，總有成立， 所以數(shù)列是“擺動數(shù)列”；………………………………………………14分 當為奇數(shù)時遞減，所以，只要即可， 當為偶數(shù)時遞增，，只要即可.………………15分 綜上.所以數(shù)列是“擺動數(shù)列”，的取值范圍是.………16分 （長寧區(qū)2013屆高三一模）23．（本題滿分18分） （理） 已知函數(shù)時，的值域為，當時，的值域為，依次類推，一般地

17、，當時，的值域為，其中k、m為常數(shù)，且 （1）若k=1，求數(shù)列的通項公式； （2）若m=2，問是否存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足若存在，求k的值； 若不存在，請說明理由； （3）若，設(shè)數(shù)列的前n項和分別為Sn，Tn， 求 （文）設(shè)，等差數(shù)列中，，記=，令，數(shù)列的前n項和為. （1）求的通項公式和； （2）求證：； （3）是否存在正整數(shù)，且，使得成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，說明理由. 23、（理）解：（1）因為 所以其值域為 …………2分 于是 …………4分 又 …………6分 （2）因為 所以……8分 法一：假設(shè)存在常數(shù)， 使得數(shù)列，…………10分

18、得符合?！?2分 法二：假設(shè)存在常數(shù)k＞0，使得數(shù)列滿足當k=1不符合。……7分 當，…………9分 則當 …………12分 （3）因為所以的值域為 …………13分 于是 則 …………14分 因此是以為公比的等比數(shù)列， 又則有 …………16分 進而有 …………18分 （文）解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由, .解得，=3 ， ……………2分 ∴ ……………4分 ∵， ∴Sn==. ……………6分 （

19、2） ∴ ……………8分 ∴ ……………10分 （3）由(2)知， ∴，，∵成等比數(shù)列. ∴ ……………12分 即 當時，7，=1，不合題意；當時，，=16，符合題意； 當時，，無正整數(shù)解；當時，，無正整數(shù)解； 當時，，無正整數(shù)解；當時，，無正整數(shù)解； ……………15分 當時， ，則，而， 所以，此時不存在正整數(shù)m,n,且1

20、存在正整數(shù)m=2,n=16,且1

21、1）求數(shù)列的通項公式； （2）求和； （3）設(shè)有項的數(shù)列是連續(xù)的正整數(shù)數(shù)列，并且滿足： ． 問數(shù)列最多有幾項？并求這些項的和． 22、（16分）解：（1）由得，相減得，即． 又，得，數(shù)列是以1為首項2為公比的等比數(shù)列，． ………………………………………………5分 （2）由（1）知． ………………………………………………10分 （3）由已知得． 又是連續(xù)的正整數(shù)數(shù)列，．上式化為．…… 又，消得． ，由于，，時，的最大值為9. 此時數(shù)列的所有項的和為……………………16分 （崇明縣2013屆高三一模）21、（本題14分，第(1)小題6分，第(2)小題8分）

22、 已知數(shù)列，記, , , ，并且對于任意，恒有成立． （1）若，且對任意，三個數(shù)組成等差數(shù)列，求數(shù)列的 通項公式； （2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意，三個數(shù) 組成公比為的等比數(shù)列． 21、解：（1） ，所以為等差數(shù)列。 （2）（必要性）若數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，則，，所以A(n)、B(n)、C(n)組成公比為q的等比數(shù)列。 （充分性）：若對于任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列， 則， 于是得即 由有即，從而. 因為，所以，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列。 綜上，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列的充要條件是對任

23、意的，都有A(n)、B(n)、C(n)組成公比為q的等比數(shù)列。 （寶山區(qū)2013屆期末）23.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分． 已知定義域為R的二次函數(shù)的最小值為0，且有，直線被的圖像截得的弦長為，數(shù)列滿足， （1）求函數(shù)的解析式； （2）求數(shù)列的通項公式； （3）設(shè)，求數(shù)列的最值及相應(yīng)的 23 解：（1）設(shè)，則直線與圖像的兩個交點為（1，0）， …………………………………………………2分 ， ………………4分 （2） ………………………………………5分 ………………………………6

24、分 數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列……………………………8分 ………………………………………10分 （3） 令， 則…………12分 ，的值分別為……，經(jīng)比較距最近， ∴當時，有最小值是，……………………………………15分 當時，有最大值是0 …………………………………………18分 （奉賢區(qū)2013屆高三一模）22、（文）等比數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足 （1）求的通項公式；（5分） （2）數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和．求；（5分） （3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有 的值；若不存在，請說明理由．（6分） 22、解：（

25、1）解：，所以公比 2分 計算出 3分 4分 5分 （2） 6分 于是 8分 = 10分 （3）假設(shè)否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，則 ，

26、 12分 可得， 由分子為正，解得， 由，得，此時， 當且僅當，時，成等比數(shù)列。 16分 說明：只有結(jié)論，，時，成等比數(shù)列。若學生沒有說明理由，則只能得 13分 （黃浦區(qū)2013屆高三一模 文科）20．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分． 在△ABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c，且A, B, C成等差數(shù)列． （1）若，且，求

27、的值； （2）若，求的取值范圍． 20．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分． 解：（1）A、B、C成等差數(shù)列，∴ 又，∴， …………………………2分 由得，，∴ ① ………………………4分 又由余弦定理得 ∴，∴　 ② ………………………6分 由①、②得， ……………………………………8分 （2）

28、 ……………………………………11分 由（1）得，∴， 由且，可得故， 所以， 即的取值范圍為．　　　　　　　　　　　 …………………………14分 （嘉定區(qū)2013屆高三一模 文科）22．（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分． 設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，．數(shù)列的前項和為，滿足． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）寫出一個正整數(shù)，使得是數(shù)列的項； （3）設(shè)數(shù)列的通項公式為，問：是否存在正整數(shù)和（），使得，，成等差數(shù)列？若存在，請求出所有符合條件的有序整數(shù)對；若不存在，請說明理由． 22．（本題滿分16分，

29、第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分） （1）設(shè)數(shù)列的首項為，公差為，由已知，有 ，……（2分） 解得，，…………（3分） 所以的通項公式為（）．…………（4分） （2）當時，，所以．……（1分） 由，得，兩式相減，得， 故，……（2分） 所以，是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以．……（3分） ，…………（4分） 要使是中的項，只要即可，可?。?分） （只要寫出一個的值就給分，寫出，，也給分） （3）由（1）知，，…………（1分） 要使，，成等差數(shù)列，必須，即 ，…………（2分） 化簡得．…………（3分） 因為與都是正整數(shù)，所以只能取，，．…………（4

30、分） 當時，；當時，；當時，．…………（5分） 綜上可知，存在符合條件的正整數(shù)和，所有符合條件的有序整數(shù)對為： ，，．…………（6分） （靜安區(qū)2013屆高三一模 文科）（文）（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分． 已知數(shù)列的遞推公式為 （1）令，求證：數(shù)列為等比數(shù)列； （2）求數(shù)列的前 n項和. （2）①當MN在矩形區(qū)域滑動時，，所以有； 8分 ②當MN在三角形區(qū)域滑動時，S=. 因而，當（米）時，S得到最大值，最大值S=（平方米）. ∵ ， ∴ S有最大值，最大值為平方米. 12分 （文）解：（1）， 又，所以（），

31、所以，數(shù)列是以1為首項3為公比的等比數(shù)列． 6分 （2）， 8分 所以數(shù)列的前 n項和=． 14分 （閔行區(qū)2013屆高三一模 文科）23.（文）（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分． 設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，已知 (1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項公式； (2)是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在請說明理由； (3)證明：對任意，都有． 解： 23. [解] （文）(1)∵，∴當時，． 兩式相減得， ∴ ……………………

32、……2分 ∵，∴，又，∴ ∴是以為首項，為公差的等差數(shù)列．……………………2分 ∴ …………………………1分 (2) 由(1)知， …………………………2分 假設(shè)正整數(shù)滿足條件， 則 ∴， 解得； …………………………3分 (3) …………………………2分 于是 …………………………2分

33、 …………………………3分 ∴ …………………………1分 （松江區(qū)2013屆高三一模 文科）23．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分 已知遞增的等差數(shù)列的首項，且、、成等比數(shù)列． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)數(shù)列對任意，都有成立，求的值． （3）在數(shù)列中，，且滿足，求下表中前行所有數(shù)的和. …… …… …… 23．解：（1）∵是遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為 …………

34、…………1分 、、成等比數(shù)列，∴ ……………………2分 由 及得 ……………………………3分 ∴ ……………………………4分 （2）∵， 對都成立 當時，得 ……………………………5分 當時，由①，及② ①－②得，得 …………………7分 ∴ …………………8分 ∴ ……………10

35、分 (3)∵ ∴ 又∵ ∴ ………………………………13分 ∵ ………………………………14分 ∴第行各數(shù)之和 …………16分 ∴表中前行所有數(shù)的和 ……………………………18分 （楊浦區(qū)2013屆高三一模 文科）23．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分. 設(shè)數(shù)列滿足且（）,前項和為．已知點, ,都在直線上(其中常數(shù)且,， ),又． （1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列； （2）若，求實

36、數(shù)，的值； （3）如果存在、，使得點和點都在直線上．問 是否存在正整數(shù)，當時，恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，請說明理由． 23．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分. （1）因為點都在直線上， 所以，得， ………2分 其中． ………3分 因為常數(shù)，且，所以為非零常數(shù)． 所以數(shù)列是等比數(shù)列．

37、 ………4分 （2）由，得， ………7分 所以，得． ………8分 由在直線上，得， ………9分 令得． ………10分 （3）由知恒成立等價于． 因為存在、，使得點和點都在直線上． 由與做差得：． ………12分 易證是等差數(shù)列，設(shè)其公

38、差為，則有，因為， 所以，又由， 而 得得 即：數(shù)列是首項為正，公差為負的等差數(shù)列，所以一定存在一個最小自然數(shù)， ………16分 使，, 即 解得 因為，所以， 即存在自然數(shù)，其最小值為，使得當 時，恒成立． ………18分 （其它解法可參考給分） （閘北區(qū)2013屆高三一模 文科）18． （文）（本題滿分18分，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分） 若數(shù)列滿足：對于，都有（常數(shù)），則稱數(shù)列是公差為的準等差數(shù)列．如：若 則是公差為的準等差數(shù)列． （1）求上述準等差數(shù)列的第項、第項以及前項的和； （2）設(shè)數(shù)列

39、滿足：，對于，都有．求證：為準等差數(shù)列，并求其通項公式； （3）設(shè)（2）中的數(shù)列的前項和為，若，求的取值范圍． 18．（文）解：（1）， （2分） （4分） （2） ① ② ②-①得． 所以，為公差為2的準等差數(shù)列． （2分） 當為奇數(shù)時，； （2分） 當為偶數(shù)時，， （2分） （3）解一：在中，有32各奇數(shù)項，31各偶數(shù)項， 所以， （4分） ，． （2分） 解二：當為偶數(shù)時，，，… … 將上面各式相加，得． （4分） ，． （2分） 24