《《階線性方程》word版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《階線性方程》word版（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、§3 一階線性方程（2）
求解線性微分方程（2.3.1）的另一個(gè)重要方法是常數(shù)變易法：將方程（2.3.2）的通解公式
中的常數(shù)“變易”為的一個(gè)待定函數(shù)，然后將這種形式的解代入方程（2.3.1），再去確定.
設(shè)方程（2.3.1）有形如
（2.3.9）
的解，其中為待定函數(shù)，把（2.3.9）式代入方程（2.3.1），得
，
即 （2.3.10）
方程（2.3.10）是一個(gè)以為未知函數(shù)的可分離變量的方程
2、，故可求出
，
其中為任意常數(shù)，代入（2.3.9），即得方程（2.3.1）的通解為
。
利用常數(shù)變易法求得的結(jié)果和前面用積分因子法求得的結(jié)果是一樣的。
常數(shù)變易法不但適用于一階線性方程（2.3.1），而且也適用于高階線性方程和線性方程組.我們將在以后的學(xué)習(xí)中再次用到它.
例6 求解微分方程 。
解 這是一階線性非齊次微分方程，對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 ，
令原方程的通解為 ，代入原方程，得
，
即 ，解之得 ，所以原方程的通解為
+（其中為任意常數(shù)）。
例7 求解微分方程。
解 這是一階線性非
3、齊次微分方程，先求對(duì)應(yīng)的線性齊次方程的通解，得。
再利用常數(shù)變易法求非齊次線性方程的通解。為此，在上式中把C看成為的待定函數(shù)，即 ，則
，
代入原方程，并整理后得
，
即 ，
積分得
因此，原方程的通解為
，其中C為任意常數(shù)。
例8 求微分方程 的通解。
解 先求原方程對(duì)應(yīng)的線性齊次方程的通解，對(duì)方程
分離變量后得 ，
兩端同時(shí)積分，得 。
常數(shù)變易，設(shè)原方程的通解為，則
代入原方程，得
，
4、
即
積分得 。
所以原方程的通解為
。
例9 設(shè)微分方程
（2.3.9）
其中為常數(shù)，而是以為周期的連續(xù)函數(shù)，試求方程的周期解.
解 利用（2.3.6）式，可求得方程的通解為
（2.3.10）
現(xiàn)在選擇常數(shù)，使成為周期函數(shù)，即
（2.3.11）
成立.
要使（2.
5、3.11）對(duì)所有成立，只需對(duì)某一特定的（例如）成立，即
（2.3.12）
事實(shí)上，因?yàn)槭牵?.3.9）的解，且，所以也是（2.3.9）的解.令，則是對(duì)應(yīng)齊次方程的解.如果（2.3.12）成立.則滿足初值條件.因此，由性質(zhì)1可見(jiàn)，，從而（2.3.11）成立.
現(xiàn)將公式（2.3.10）代入（2.3.12），得到
，
即
（令）
,
所以 ，
把它代回（2.3.10）式，注意到的周期性，就得到
（令）
.
習(xí)題
1．求解下列微分方
6、程：
（1）；
解 先解對(duì)應(yīng)的齊次方程，通解為，即。
常數(shù)變易，設(shè)非齊次方程的解為，代入原方程，得，積分，求得 。
因此，原方程的通解為。
（2）；
解 該方程的對(duì)應(yīng)齊次方程為,其通解是．
常數(shù)變易：設(shè)是原方程的解，代入原方程，化簡(jiǎn)，得：，兩邊積分，得：。
所以，原方程的通解為 ．
（3）.
解 原方程變形為： (*)
把看作的函數(shù)，則對(duì)應(yīng)的齊次方程為：，其通解是．
常數(shù)變易：設(shè)是方程(*)的解，代入方程(*)，化簡(jiǎn)，得：
，
兩邊積分得：，
所以原方程的通解為：．
2．設(shè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上有界，
7、證明：方程
①
在區(qū)間上有且只有一個(gè)有界解.試求出這個(gè)解，并進(jìn)而證明：當(dāng)還是以為周期的周期函數(shù)時(shí)，這個(gè)解也是一個(gè)以為周期的周期函數(shù).
證明 方程①的通解為
②
現(xiàn)?。ㄓ杉僭O(shè)知，此積分收斂），則
③
則由在區(qū)間上有界知，此解顯然有界.
當(dāng)是以為周期的周期函數(shù)時(shí)，，對(duì)①中確定的解③，當(dāng)時(shí)，有
.
令，則
.
故也是一個(gè)以為周期的周期函數(shù).
設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程
的一切解，均有．
證明 設(shè)是方程任一解，滿足，該解的表達(dá)式為
取極限
=
《階線性方程》word版
