《階線性方程》word版

§3 一階線性方程（2）求解線性微分方程（2.3.1）的另一個(gè)重要方法是常數(shù)變易法：將方程（2.3.2）的通解公式 中的常數(shù)“變易”為的一個(gè)待定函數(shù)，然后將這種形式的解代入方程（2.3.1），再去確定.設(shè)方程（2.3.1）有形如 （2.3.9）的解，其中為待定函數(shù)，把（2.3.9）式代入方程（2.3.1），得，即 （2.3.10）方程（2.3.10）是一個(gè)以為未知函數(shù)的可分離變量的方程，故可求出，其中為任意常數(shù)，代入（2.3.9），即得方程（2.3.1）的通解為。利用常數(shù)變易法求得的結(jié)果和前面用積分因子法求得的結(jié)果是一樣的。常數(shù)變易法不但適用于一階線性方程（2.3.1），而且也適用于高階線性方程和線性方程組.我們將在以后的學(xué)習(xí)中再次用到它.例6 求解微分方程 。解 這是一階線性非齊次微分方程，對應(yīng)的齊次方程的通解為 ， 令原方程的通解為 ，代入原方程，得 ，即 ，解之得 ，所以原方程的通解為 +（其中為任意常數(shù)）。例7 求解微分方程。解 這是一階線性非齊次微分方程，先求對應(yīng)的線性齊次方程的通解，得。再利用常數(shù)變易法求非齊次線性方程的通解。為此，在上式中把C看成為的待定函數(shù)，即 ，則 ，代入原方程，并整理后得 ，即 ，積分得 因此，原方程的通解為 ，其中C為任意常數(shù)。例8 求微分方程 的通解。解 先求原方程對應(yīng)的線性齊次方程的通解，對方程 分離變量后得 ，兩端同時(shí)積分，得 。常數(shù)變易，設(shè)原方程的通解為，則代入原方程，得，即 積分得 。所以原方程的通解為。例9 設(shè)微分方程 （2.3.9）其中為常數(shù)，而是以為周期的連續(xù)函數(shù)，試求方程的周期解.解 利用（2.3.6）式，可求得方程的通解為 （2.3.10）現(xiàn)在選擇常數(shù)，使成為周期函數(shù)，即 （2.3.11）成立.要使（2.3.11）對所有成立，只需對某一特定的（例如）成立，即 （2.3.12）事實(shí)上，因?yàn)槭牵?.3.9）的解，且，所以也是（2.3.9）的解.令，則是對應(yīng)齊次方程的解.如果（2.3.12）成立.則滿足初值條件.因此，由性質(zhì)1可見，從而（2.3.11）成立.現(xiàn)將公式（2.3.10）代入（2.3.12），得到，即 （令）,所以 ，把它代回（2.3.10）式，注意到的周期性，就得到 （令）. 習(xí)題1求解下列微分方程：（1）；解 先解對應(yīng)的齊次方程，通解為，即。 常數(shù)變易，設(shè)非齊次方程的解為，代入原方程，得，積分，求得 。因此，原方程的通解為。（2）；解 該方程的對應(yīng)齊次方程為,其通解是常數(shù)變易：設(shè)是原方程的解，代入原方程，化簡，得：，兩邊積分，得：。所以，原方程的通解為 （3）.解 原方程變形為： (*)把看作的函數(shù)，則對應(yīng)的齊次方程為：，其通解是常數(shù)變易：設(shè)是方程(*)的解，代入方程(*)，化簡，得：，兩邊積分得：，所以原方程的通解為：2設(shè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上有界，證明：方程 在區(qū)間上有且只有一個(gè)有界解.試求出這個(gè)解，并進(jìn)而證明：當(dāng)還是以為周期的周期函數(shù)時(shí)，這個(gè)解也是一個(gè)以為周期的周期函數(shù).證明 方程的通解為 現(xiàn)取（由假設(shè)知，此積分收斂），則 則由在區(qū)間上有界知，此解顯然有界.當(dāng)是以為周期的周期函數(shù)時(shí)，對中確定的解，當(dāng)時(shí)，有.令，則 .故也是一個(gè)以為周期的周期函數(shù).設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的一切解，均有證明 設(shè)是方程任一解，滿足，該解的表達(dá)式為 取極限 =