2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.3 復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)案 蘇教版選修1-2

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1、3.3 復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解復(fù)數(shù)的幾何意義,會(huì)用復(fù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù).2.了解復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算的幾何意義.3.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法知識(shí)點(diǎn)一復(fù)數(shù)的幾何意義思考1復(fù)數(shù)zabi(a,bR)與有序數(shù)對(duì)(a,b)有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系?思考2有序?qū)崝?shù)對(duì)與直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系?思考3復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間能一一對(duì)應(yīng)嗎?思考4復(fù)數(shù)zabi、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)、向量三者有何關(guān)系?1復(fù)平面建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做_,x軸叫做_,y軸叫做_2復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)zabi(a,bR)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)向量.知識(shí)點(diǎn)二復(fù)數(shù)的模及意義1定義:向量的模叫做復(fù)數(shù)

2、zabi的模,記為|z|.2公式:|z|.3幾何意義:復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的距離知識(shí)點(diǎn)三復(fù)數(shù)加減法的幾何意義思考1復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對(duì)應(yīng),你能從向量加法的幾何意義出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎?思考2怎樣作出與復(fù)數(shù)z1z2對(duì)應(yīng)的向量?思考3類比絕對(duì)值|xx0|的幾何意義,說明|zz0|(z,z0C)的幾何意義1.如圖所示,設(shè)向量,分別與復(fù)數(shù)z1abi,z2cdi對(duì)應(yīng),且和不共線,以,為鄰邊畫平行四邊形OZ1ZZ2.則向量與復(fù)數(shù)_相對(duì)應(yīng);向量與復(fù)數(shù)_相對(duì)應(yīng)2|z1z2|,即兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的模就是復(fù)平面內(nèi)與這兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離類型一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)例1在復(fù)平面內(nèi),若復(fù)數(shù)z(m2m

3、2)(m23m2)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1)在虛軸上;(2)在第二象限;(3)在直線yx上,分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍反思與感悟按照復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)所成的集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,每一個(gè)復(fù)數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì),只要在復(fù)平面內(nèi)找出這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)所表示的點(diǎn),就可根據(jù)點(diǎn)的位置判斷復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的取值跟蹤訓(xùn)練1設(shè)復(fù)數(shù)z(mR)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z.(1)若點(diǎn)Z在虛軸上,求m的值;(2)若點(diǎn)Z位于第一象限,求m的取值范圍類型二復(fù)數(shù)的模及其幾何意義例2已知復(fù)數(shù)z1i,z2i.(1)求|z1|及|z2|的值并比較大小;(2)設(shè)zC,滿足|z2|z|z1|的點(diǎn)Z的集合是什么圖形?反思與感悟(1)復(fù)數(shù)zabi(a,b

4、R)的模即向量的模,復(fù)數(shù)的??梢员容^大小(2)復(fù)數(shù)的模的意義是表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,這可以類比實(shí)數(shù)的絕對(duì)值,也可類比以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的模來加深理解跟蹤訓(xùn)練2(1)已知0a2,復(fù)數(shù)z的實(shí)部為a,虛部是1,求|z|的取值范圍;(2)若|z|的取值范圍是(1)中所求,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形類型三復(fù)數(shù)加減法的幾何意義例3在復(fù)平面內(nèi),A,B,C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z11i,z25i,z333i,以AB、AC為鄰邊作一個(gè)平行四邊形ABDC,求點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z4及AD的長(zhǎng)反思與感悟(1)根據(jù)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義可以把復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算,同樣滿足三角形和平行四邊形法則(2)復(fù)數(shù)

5、加減運(yùn)算的幾何意義為應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決復(fù)數(shù)問題提供了可靠跟蹤訓(xùn)練3已知|z1|z2|z1z2|1,求|z1z2|.1設(shè)z(2i)2(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的模為_2復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi),則z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第_象限3復(fù)數(shù)43i與25i分別表示向量與,則向量表示的復(fù)數(shù)是_4在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z(m3)2i的點(diǎn)在直線yx上,則實(shí)數(shù)m的值為_1復(fù)數(shù)的幾何意義這種對(duì)應(yīng)關(guān)系架起了復(fù)數(shù)與解析幾何之間的橋梁,使得復(fù)數(shù)問題可以用幾何方法解決復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用,關(guān)鍵是抓住復(fù)數(shù)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)2復(fù)數(shù)的模(1)復(fù)數(shù)zabi(a,bR)的模|z|;(2)從幾何意義上理解,表示點(diǎn)Z和原點(diǎn)間的距離,類比向量的??蛇M(jìn)一步引申:

6、|z1z2|表示點(diǎn)Z1和點(diǎn)Z2之間的距離答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1一一對(duì)應(yīng)思考2一一對(duì)應(yīng)思考3能一一對(duì)應(yīng)思考4復(fù)數(shù)zabi可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)來表示,也可以用向量來表示,三者的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的1復(fù)平面實(shí)軸虛軸知識(shí)點(diǎn)三思考1如圖,設(shè),分別與復(fù)數(shù)abi,cdi對(duì)應(yīng),則有(a,b),(c,d),由向量加法的幾何意義(ac,bd),所以與復(fù)數(shù)(ac)(bd)i對(duì)應(yīng),復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進(jìn)行思考2z1z2可以看作z1(z2)因?yàn)閺?fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進(jìn)行,所以可以按照平行四邊形法則或三角形法則作出與z1z2對(duì)應(yīng)的向量(如圖)圖中對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2,則對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1z

7、2.思考3|zz0|(z,z0C)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z到點(diǎn)Z0的距離1z1z2z1z2題型探究例1解復(fù)數(shù)z(m2m2)(m23m2)i的實(shí)部為m2m2,虛部為m23m2.(1)由題意得m2m20.解得m2或m1.(2)由題意得1m0且12m0,解得2m|z2|.(2)設(shè)zxyi(x,yR),則1|z|2.1x2y24.因?yàn)閤2y21表示圓x2y21及其外部所有點(diǎn)組成的集合,x2y24表示圓x2y24及其內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合滿足條件的點(diǎn)Z(x,y)的集合是以O(shè)為圓心,以1和2為半徑的圓所夾的圓環(huán),如圖所示跟蹤訓(xùn)練2解(1)由題意得zai,根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義可得|z|.因?yàn)?a2,所以1a21

8、5.故1|z|.(2)由(1)知1|z|,易得滿足條件1|z|的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心、分別以1和為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán),但不包括圓環(huán)的邊界,如圖:例3解由復(fù)數(shù)加減法幾何意義:對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z3z1,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2z1,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z4z1,根據(jù)向量的平行四邊形法則,得.z4z1(z2z1)(z3z1),z4z2z3z1(5i)(33i)(1i)73i,AD的長(zhǎng)為|z4z1|(73i)(1i)|62i|2.跟蹤訓(xùn)練3解方法一設(shè)z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),|z1|z2|z1z2|1,a2b2c2d21,(ac)2(bd)21.由得2ac2bd1,|z1z2|.方法二設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),z1、z2、z1z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C.|z1|z2|z1z2|1,OAB是邊長(zhǎng)為1的正三角形,四邊形OACB是一個(gè)內(nèi)角為60,邊長(zhǎng)為1的菱形,且|z1z2|是菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線OC的長(zhǎng),|z1z2|OC|.達(dá)標(biāo)檢測(cè)15解析z(2i)234i,所以|z|34i|5.2二解析z1i1,復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,1)在第二象限368i解析因?yàn)閺?fù)數(shù)43i與25i分別表示向量與,所以(4,3),(2,5),又(2,5)(4,3)(6,8),所以向量表示的復(fù)數(shù)是68i.49解析z(m3)2i表示的點(diǎn)在直線yx上,m32,解得m9.11

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