2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.3 復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)案 蘇教版選修1-2

3.3 復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解復(fù)數(shù)的幾何意義，會(huì)用復(fù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù).2.了解復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算的幾何意義.3.掌握用向量的模來(lái)表示復(fù)數(shù)的模的方法知識(shí)點(diǎn)一復(fù)數(shù)的幾何意義思考1復(fù)數(shù)zabi(a，bR)與有序數(shù)對(duì)(a，b)有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？思考2有序?qū)崝?shù)對(duì)與直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？思考3復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間能一一對(duì)應(yīng)嗎？思考4復(fù)數(shù)zabi、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)、向量三者有何關(guān)系？1復(fù)平面建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做_，x軸叫做_，y軸叫做_2復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)zabi(a，bR)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)向量.知識(shí)點(diǎn)二復(fù)數(shù)的模及意義1定義：向量的模叫做復(fù)數(shù)zabi的模，記為|z|.2公式：|z|.3幾何意義：復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的距離知識(shí)點(diǎn)三復(fù)數(shù)加減法的幾何意義思考1復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對(duì)應(yīng)，你能從向量加法的幾何意義出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎？思考2怎樣作出與復(fù)數(shù)z1z2對(duì)應(yīng)的向量？思考3類(lèi)比絕對(duì)值|xx0|的幾何意義，說(shuō)明|zz0|(z，z0C)的幾何意義1.如圖所示，設(shè)向量，分別與復(fù)數(shù)z1abi，z2cdi對(duì)應(yīng)，且和不共線，以，為鄰邊畫(huà)平行四邊形OZ1ZZ2.則向量與復(fù)數(shù)_相對(duì)應(yīng)；向量與復(fù)數(shù)_相對(duì)應(yīng)2|z1z2|，即兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的模就是復(fù)平面內(nèi)與這兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離類(lèi)型一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)例1在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z(m2m2)(m23m2)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在直線yx上，分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍反思與感悟按照復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)所成的集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，每一個(gè)復(fù)數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，只要在復(fù)平面內(nèi)找出這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)所表示的點(diǎn)，就可根據(jù)點(diǎn)的位置判斷復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的取值跟蹤訓(xùn)練1設(shè)復(fù)數(shù)z(mR)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z.(1)若點(diǎn)Z在虛軸上，求m的值；(2)若點(diǎn)Z位于第一象限，求m的取值范圍類(lèi)型二復(fù)數(shù)的模及其幾何意義例2已知復(fù)數(shù)z1i，z2i.(1)求|z1|及|z2|的值并比較大?。?2)設(shè)zC，滿(mǎn)足|z2|z|z1|的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？反思與感悟(1)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的模即向量的模，復(fù)數(shù)的模可以比較大小(2)復(fù)數(shù)的模的意義是表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，這可以類(lèi)比實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，也可類(lèi)比以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的模來(lái)加深理解跟蹤訓(xùn)練2(1)已知0<a<2，復(fù)數(shù)z的實(shí)部為a，虛部是1，求|z|的取值范圍；(2)若|z|的取值范圍是(1)中所求，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形類(lèi)型三復(fù)數(shù)加減法的幾何意義例3在復(fù)平面內(nèi)，A，B，C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z11i，z25i，z333i，以AB、AC為鄰邊作一個(gè)平行四邊形ABDC，求點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z4及AD的長(zhǎng)反思與感悟(1)根據(jù)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義可以把復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，同樣滿(mǎn)足三角形和平行四邊形法則(2)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義為應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決復(fù)數(shù)問(wèn)題提供了可靠跟蹤訓(xùn)練3已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.1設(shè)z(2i)2(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的模為_(kāi)2復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)，則z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第_象限3復(fù)數(shù)43i與25i分別表示向量與，則向量表示的復(fù)數(shù)是_4在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z(m3)2i的點(diǎn)在直線yx上，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)1復(fù)數(shù)的幾何意義這種對(duì)應(yīng)關(guān)系架起了復(fù)數(shù)與解析幾何之間的橋梁，使得復(fù)數(shù)問(wèn)題可以用幾何方法解決復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，關(guān)鍵是抓住復(fù)數(shù)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)2復(fù)數(shù)的模(1)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的模|z|；(2)從幾何意義上理解，表示點(diǎn)Z和原點(diǎn)間的距離，類(lèi)比向量的?？蛇M(jìn)一步引申：|z1z2|表示點(diǎn)Z1和點(diǎn)Z2之間的距離答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1一一對(duì)應(yīng)思考2一一對(duì)應(yīng)思考3能一一對(duì)應(yīng)思考4復(fù)數(shù)zabi可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)來(lái)表示，也可以用向量來(lái)表示，三者的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的1復(fù)平面實(shí)軸虛軸知識(shí)點(diǎn)三思考1如圖，設(shè)，分別與復(fù)數(shù)abi，cdi對(duì)應(yīng)，則有(a，b)，(c，d)，由向量加法的幾何意義(ac，bd)，所以與復(fù)數(shù)(ac)(bd)i對(duì)應(yīng)，復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行思考2z1z2可以看作z1(z2)因?yàn)閺?fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行，所以可以按照平行四邊形法則或三角形法則作出與z1z2對(duì)應(yīng)的向量(如圖)圖中對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2，則對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1z2.思考3|zz0|(z，z0C)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z到點(diǎn)Z0的距離1z1z2z1z2題型探究例1解復(fù)數(shù)z(m2m2)(m23m2)i的實(shí)部為m2m2，虛部為m23m2.(1)由題意得m2m20.解得m2或m1.(2)由題意得1<m<1.(3)由已知得m2m2m23m2，故m2.跟蹤訓(xùn)練1解zi，(1)點(diǎn)Z在虛軸上，0，則m2.(2)點(diǎn)Z位于第一象限，則m2>0且12m>0，解得2<m<.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2，)例2解(1)由復(fù)數(shù)模的定義：|z1|i|2，|z2|i|1.|z1|>|z2|.(2)設(shè)zxyi(x，yR)，則1|z|2.1x2y24.因?yàn)閤2y21表示圓x2y21及其外部所有點(diǎn)組成的集合，x2y24表示圓x2y24及其內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Z(x，y)的集合是以O(shè)為圓心，以1和2為半徑的圓所夾的圓環(huán)，如圖所示跟蹤訓(xùn)練2解(1)由題意得zai，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義可得|z|.因?yàn)?<a<2，所以1<a21<5.故1<|z|<.(2)由(1)知1<|z|<，易得滿(mǎn)足條件1<|z|<的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心、分別以1和為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界，如圖：例3解由復(fù)數(shù)加減法幾何意義：對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z3z1，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2z1，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z4z1，根據(jù)向量的平行四邊形法則，得.z4z1(z2z1)(z3z1)，z4z2z3z1(5i)(33i)(1i)73i，AD的長(zhǎng)為|z4z1|(73i)(1i)|62i|2.跟蹤訓(xùn)練3解方法一設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21，(ac)2(bd)21.由得2ac2bd1，|z1z2|.方法二設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，z1、z2、z1z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C.|z1|z2|z1z2|1，OAB是邊長(zhǎng)為1的正三角形，四邊形OACB是一個(gè)內(nèi)角為60°，邊長(zhǎng)為1的菱形，且|z1z2|是菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線OC的長(zhǎng)，|z1z2|OC|.達(dá)標(biāo)檢測(cè)15解析z(2i)234i，所以|z|34i|5.2二解析z1i1，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,1)在第二象限368i解析因?yàn)閺?fù)數(shù)43i與25i分別表示向量與，所以(4,3)，(2，5)，又(2，5)(4,3)(6，8)，所以向量表示的復(fù)數(shù)是68i.49解析z(m3)2i表示的點(diǎn)在直線yx上，m32，解得m9.11