2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.2 瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教B版選修2-2

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1、1.1.2瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.理解瞬時(shí)速度及瞬時(shí)變化率的定義.2.會用瞬時(shí)速度及瞬時(shí)變化率定義求物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度及瞬時(shí)變化率.3.理解并掌握導(dǎo)數(shù)的概念,掌握求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法.4.理解并掌握開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的概念,會求一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1瞬時(shí)速度我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度設(shè)物體運(yùn)動路程與時(shí)間的關(guān)系是ss(t),物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v就是運(yùn)動物體在t0到t0t這段時(shí)間內(nèi)的平均變化率,當(dāng)t0時(shí)的極限,即v .2瞬時(shí)變化率一般地,函數(shù)yf(x)在x0處的瞬時(shí)變化率是 .3導(dǎo)數(shù)的概念一般地,函數(shù)yf(x)在x0處的瞬時(shí)變化率是 ,我們稱它為函數(shù)yf(x)在xx0處

2、的導(dǎo)數(shù),記為f(x0),即f(x0) .4導(dǎo)函數(shù)如果f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)x都是可導(dǎo)的,則稱f(x)在區(qū)間(a,b)可導(dǎo)這樣,對開區(qū)間(a,b)內(nèi)每個值x,都對應(yīng)一個確定的導(dǎo)數(shù)f(x),于是在區(qū)間(a,b)內(nèi),f(x)構(gòu)成一個新的函數(shù),把這個函數(shù)稱為函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)記為f(x)或y(或yx)導(dǎo)函數(shù)通常簡稱為導(dǎo)數(shù)探究點(diǎn)一瞬時(shí)速度思考1在高臺跳水運(yùn)動中,運(yùn)動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時(shí)間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)4.9t26.5t10.在某些時(shí)間段內(nèi)如何粗略地描述其運(yùn)動狀態(tài)?平均速度能否精確反映它的運(yùn)動狀態(tài)?答用0t0.5和1t2的平均速度來粗略地描述其運(yùn)

3、動狀態(tài)在0t0.5這段時(shí)間里,4.05(m/s);在1t2這段時(shí)間里,8.2(m/s)平均速度不能精確反映其運(yùn)動狀態(tài),如高臺跳水運(yùn)動員相對于水面的高度h與起跳時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系h(t)4.9t26.5t10,易知h()h(0),0,而運(yùn)動員依然是運(yùn)動狀態(tài)思考2如何描述物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動狀態(tài)?答可以使用瞬時(shí)速度精確描述物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動狀態(tài)如求t2時(shí)的瞬時(shí)速度,可考察在t2附近的一個間隔t,當(dāng)t趨近于0時(shí),看平均速度的變化趨勢,用式子 表示,這就是物體在t2時(shí)的瞬時(shí)速度例1火箭豎直向上發(fā)射熄火時(shí)向上速度達(dá)到100 m/s.試問熄火后多長時(shí)間火箭向上速度為0?解火箭的運(yùn)動方程為h(t)100tg

4、t2,火箭向上位移是初速度引起的位移(100t)與重力引起的位移的合成在t附近的平均變化率為100gtgt.當(dāng)t0時(shí),上式趨近于100gt.可見t時(shí)刻的瞬時(shí)速度h(t)100gt.令h(t)100gt0,解得t10.2(s)所以火箭熄火后約10.2 s向上速度變?yōu)?.反思與感悟瞬時(shí)速度是平均速度在t0時(shí)的極限值要求瞬時(shí)速度,可以先求平均速度思考3火箭向上速度變?yōu)?,意味著什么?你能求出此火箭熄火后上升的最大高度嗎?答火箭向上速度變?yōu)?,意味著火箭處于上升階段的最高點(diǎn)處,即火箭達(dá)到了最大高度,由例1知火箭熄火后上升的時(shí)間為t,所以火箭熄火后上升的最大高度h100g2510.2(m)跟蹤訓(xùn)練1質(zhì)點(diǎn)

5、M按規(guī)律s(t)at21做直線運(yùn)動(位移單位:m,時(shí)間單位:s)若質(zhì)點(diǎn)M在t2時(shí)的瞬時(shí)速度為8 m/s,求常數(shù)a的值解ss(2t)s(2)a(2t)21a2214ata(t)2,4aat.在t2時(shí),瞬時(shí)速度為 4a,即4a8,a2.探究點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的定義思考1從平均速度當(dāng)t0時(shí)是瞬時(shí)速度,推廣到一般的函數(shù)方面,我們可以得到什么結(jié)論?答對函數(shù)yf(x)來說,f(x)在點(diǎn)xx0附近改變x時(shí),平均變化率為.當(dāng)x0時(shí),如果平均變化率趨于一個常數(shù)l,則l稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率思考2導(dǎo)數(shù)和瞬時(shí)變化率是什么關(guān)系?導(dǎo)數(shù)有什么作用?答函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在這點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率,導(dǎo)數(shù)可以反映函數(shù)在一

6、點(diǎn)處變化的快慢程度思考3導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系?答若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),對(a,b)內(nèi)每個值x,都對應(yīng)一個確定的導(dǎo)數(shù)f(x),f(x)就叫函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xx0處的導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)yf(x)在xx0處的函數(shù)值例2利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)x23x在x2處的導(dǎo)數(shù)解由導(dǎo)數(shù)的定義知,函數(shù)在x2處的導(dǎo)數(shù)f(2),而f(2x)f(2)(2x)23(2x)(2232)(x)2x,于是f(2)(x1)1.反思與感悟求一個函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下:(1)求函數(shù)值的變化量yf(x0x)f(x0);(2)求平均變化率;(3)取極限,得導(dǎo)數(shù)f(x0)

7、 .跟蹤訓(xùn)練2利用導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)yx2axb在x0處的導(dǎo)數(shù);(2)y在x2處的導(dǎo)數(shù)解(1)yf(0x)f(0)(0x)2a(0x)b02a0b(x)2a(x),xa,y|x0 (xa)a.(2)y2,.f(2) .探究點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例3一正方形鐵板在0時(shí),邊長為10 cm,加熱后鐵板會膨脹當(dāng)溫度為t時(shí),邊長變?yōu)?0(1at) cm,a為常數(shù),試求鐵板面積對溫度的膨脹率解設(shè)溫度的增量為t,則鐵板面積S的增量為S1021a(tt)2102(1at)2200(aa2t)t100a2(t)2,因此200(aa2t)100a2t.令t0,得S200(aa2t)所以鐵板對溫度的膨脹

8、率為200(aa2t)反思與感悟函數(shù)的平均變化率和瞬時(shí)變化率的關(guān)系:平均變化率,當(dāng)x趨于0時(shí),它所趨于的一個常數(shù)就是函數(shù)在x0處的瞬時(shí)變化率,即求函數(shù)的瞬時(shí)變化率是利用平均變化率“逐漸逼近”的方法求解另外,它們都是用來刻畫函數(shù)變化快慢的,它們的絕對值越大,函數(shù)變化得越快跟蹤訓(xùn)練3將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱如果在第x h時(shí),原油的溫度(單位:)為yf(x)x27x15(0x8)計(jì)算第2 h和第6 h時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率,并說明它們的意義解在第2 h和第6 h時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率就是f(2)和f(6)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,x3,所以,f(2) (x3)3

9、.同理可得,f(6)5.在第2 h和第6 h時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為3與5.它說明在第2 h附近,原油溫度大約以3 /h的速率下降;在第6 h附近,原油溫度大約以5 /h的速率上升1一物體的運(yùn)動方程是sat2(a為常數(shù)),則該物體在tt0時(shí)的瞬時(shí)速度是()Aat0 Bat0 C.at0 D2at0答案A解析atat0,li at0.2函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),則 ()A與x0、h都有關(guān)B僅與x0有關(guān),而與h無關(guān)C僅與h有關(guān),而與x0無關(guān)D與x0、h均無關(guān)答案B3已知f(x)x210,則f(x)在x處的瞬時(shí)變化率是()A3 B3 C2 D2答案B解析x3,li 3.4已知函數(shù)f(x),則f(1)_.答案解析f(1) .呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1瞬時(shí)速度是平均速度當(dāng)t0時(shí)的極限值;瞬時(shí)變化率是平均變化率當(dāng)x0時(shí)的極限值2利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的步驟:(1)求函數(shù)的增量yf(x0x)f(x0);(2)求平均變化率;(3)取極限得導(dǎo)數(shù)f(x0) .6

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