2017-2018版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應(yīng)用 1.1.2 瞬時速度與導數(shù)學案 新人教B版選修2-2

1.1.2瞬時速度與導數(shù)明目標、知重點1.理解瞬時速度及瞬時變化率的定義.2.會用瞬時速度及瞬時變化率定義求物體在某一時刻的瞬時速度及瞬時變化率.3.理解并掌握導數(shù)的概念，掌握求函數(shù)在一點處的導數(shù)的方法.4.理解并掌握開區(qū)間內(nèi)的導數(shù)的概念，會求一個函數(shù)的導數(shù)1瞬時速度我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度設(shè)物體運動路程與時間的關(guān)系是ss(t)，物體在t0時刻的瞬時速度v就是運動物體在t0到t0t這段時間內(nèi)的平均變化率，當t0時的極限，即v .2瞬時變化率一般地，函數(shù)yf(x)在x0處的瞬時變化率是 .3導數(shù)的概念一般地，函數(shù)yf(x)在x0處的瞬時變化率是 ，我們稱它為函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)，記為f(x0)，即f(x0) .4導函數(shù)如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點x都是可導的，則稱f(x)在區(qū)間(a，b)可導這樣，對開區(qū)間(a，b)內(nèi)每個值x，都對應(yīng)一個確定的導數(shù)f(x)，于是在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f(x)構(gòu)成一個新的函數(shù)，把這個函數(shù)稱為函數(shù)yf(x)的導函數(shù)記為f(x)或y(或yx)導函數(shù)通常簡稱為導數(shù)探究點一瞬時速度思考1在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)4.9t26.5t10.在某些時間段內(nèi)如何粗略地描述其運動狀態(tài)？平均速度能否精確反映它的運動狀態(tài)？答用0t0.5和1t2的平均速度來粗略地描述其運動狀態(tài)在0t0.5這段時間里，4.05(m/s)；在1t2這段時間里，8.2(m/s)平均速度不能精確反映其運動狀態(tài)，如高臺跳水運動員相對于水面的高度h與起跳時間t的函數(shù)關(guān)系h(t)4.9t26.5t10，易知h()h(0)，0，而運動員依然是運動狀態(tài)思考2如何描述物體在某一時刻的運動狀態(tài)？答可以使用瞬時速度精確描述物體在某一時刻的運動狀態(tài)如求t2時的瞬時速度，可考察在t2附近的一個間隔t，當t趨近于0時，看平均速度的變化趨勢，用式子 表示，這就是物體在t2時的瞬時速度例1火箭豎直向上發(fā)射熄火時向上速度達到100 m/s.試問熄火后多長時間火箭向上速度為0?解火箭的運動方程為h(t)100tgt2，火箭向上位移是初速度引起的位移(100t)與重力引起的位移的合成在t附近的平均變化率為100gtgt.當t0時，上式趨近于100gt.可見t時刻的瞬時速度h(t)100gt.令h(t)100gt0，解得t10.2(s)所以火箭熄火后約10.2 s向上速度變?yōu)?.反思與感悟瞬時速度是平均速度在t0時的極限值要求瞬時速度，可以先求平均速度思考3火箭向上速度變?yōu)?，意味著什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度嗎？答火箭向上速度變?yōu)?，意味著火箭處于上升階段的最高點處，即火箭達到了最大高度，由例1知火箭熄火后上升的時間為t，所以火箭熄火后上升的最大高度h100×g×2510.2(m)跟蹤訓練1質(zhì)點M按規(guī)律s(t)at21做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)若質(zhì)點M在t2時的瞬時速度為8 m/s，求常數(shù)a的值解ss(2t)s(2)a(2t)21a·2214ata(t)2，4aat.在t2時，瞬時速度為 4a，即4a8，a2.探究點二導數(shù)的定義思考1從平均速度當t0時是瞬時速度，推廣到一般的函數(shù)方面，我們可以得到什么結(jié)論？答對函數(shù)yf(x)來說，f(x)在點xx0附近改變x時，平均變化率為.當x0時，如果平均變化率趨于一個常數(shù)l，則l稱為函數(shù)f(x)在點x0的瞬時變化率思考2導數(shù)和瞬時變化率是什么關(guān)系？導數(shù)有什么作用？答函數(shù)在某點處的導數(shù)就是函數(shù)在這點處的瞬時變化率，導數(shù)可以反映函數(shù)在一點處變化的快慢程度思考3導函數(shù)和函數(shù)在一點處的導數(shù)有什么關(guān)系？答若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，對(a，b)內(nèi)每個值x，都對應(yīng)一個確定的導數(shù)f(x)，f(x)就叫函數(shù)yf(x)的導函數(shù)函數(shù)f(x)在點xx0處的導數(shù)是導函數(shù)yf(x)在xx0處的函數(shù)值例2利用導數(shù)的定義求函數(shù)f(x)x23x在x2處的導數(shù)解由導數(shù)的定義知，函數(shù)在x2處的導數(shù)f(2)，而f(2x)f(2)(2x)23(2x)(223×2)(x)2x，于是f(2)(x1)1.反思與感悟求一個函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)的步驟如下：(1)求函數(shù)值的變化量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均變化率；(3)取極限，得導數(shù)f(x0) .跟蹤訓練2利用導數(shù)的定義求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)yx2axb在x0處的導數(shù)；(2)y在x2處的導數(shù)解(1)yf(0x)f(0)(0x)2a(0x)b02a·0b(x)2a(x)，xa，y|x0 (xa)a.(2)y2，.f(2) .探究點三導數(shù)的實際應(yīng)用例3一正方形鐵板在0時，邊長為10 cm，加熱后鐵板會膨脹當溫度為t時，邊長變?yōu)?0(1at) cm，a為常數(shù)，試求鐵板面積對溫度的膨脹率解設(shè)溫度的增量為t，則鐵板面積S的增量為S1021a(tt)2102(1at)2200(aa2t)t100a2(t)2，因此200(aa2t)100a2t.令t0，得S200(aa2t)所以鐵板對溫度的膨脹率為200(aa2t)反思與感悟函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率的關(guān)系：平均變化率，當x趨于0時，它所趨于的一個常數(shù)就是函數(shù)在x0處的瞬時變化率，即求函數(shù)的瞬時變化率是利用平均變化率“逐漸逼近”的方法求解另外，它們都是用來刻畫函數(shù)變化快慢的，它們的絕對值越大，函數(shù)變化得越快跟蹤訓練3將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱如果在第x h時，原油的溫度(單位：)為yf(x)x27x15(0x8)計算第2 h和第6 h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義解在第2 h和第6 h時，原油溫度的瞬時變化率就是f(2)和f(6)根據(jù)導數(shù)的定義，x3，所以，f(2) (x3)3.同理可得，f(6)5.在第2 h和第6 h時，原油溫度的瞬時變化率分別為3與5.它說明在第2 h附近，原油溫度大約以3 /h的速率下降；在第6 h附近，原油溫度大約以5 /h的速率上升1一物體的運動方程是sat2(a為常數(shù))，則該物體在tt0時的瞬時速度是()Aat0 Bat0 C.at0 D2at0答案A解析atat0，li at0.2函數(shù)f(x)在x0處可導，則 ()A與x0、h都有關(guān)B僅與x0有關(guān)，而與h無關(guān)C僅與h有關(guān)，而與x0無關(guān)D與x0、h均無關(guān)答案B3已知f(x)x210，則f(x)在x處的瞬時變化率是()A3 B3 C2 D2答案B解析x3，li 3.4已知函數(shù)f(x)，則f(1)_.答案解析f(1) .呈重點、現(xiàn)規(guī)律1瞬時速度是平均速度當t0時的極限值；瞬時變化率是平均變化率當x0時的極限值2利用導數(shù)定義求導數(shù)的步驟：(1)求函數(shù)的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均變化率；(3)取極限得導數(shù)f(x0) .6