2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步疑難規(guī)律方法學(xué)案 新人教B版必修2

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1、 第一章 立體幾何初步 1　學(xué)習(xí)空間幾何體要“三會(huì)” 一、會(huì)辨別 例1　下列說(shuō)法：①一個(gè)幾何體有五個(gè)面，則該幾何體可能是球、棱錐、棱臺(tái)、棱柱；②若一個(gè)幾何體有兩個(gè)面平行，且其余各面均為梯形，則它一定是棱臺(tái)；③直角三角形繞其任意一條邊旋轉(zhuǎn)一周都可以圍成圓錐．其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為________． 分析　可根據(jù)柱體、錐體、臺(tái)體和球體的概念進(jìn)行判斷． 解析　一個(gè)幾何體有五個(gè)面，可能是四棱錐、三棱臺(tái)，也可能是三棱柱，但不可能是球，所以①錯(cuò)；由于棱臺(tái)的側(cè)棱是原棱錐側(cè)棱的一部分，所以棱臺(tái)的各側(cè)棱的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，而②中的幾何體其側(cè)棱延長(zhǎng)線并不一定會(huì)交于一點(diǎn)，所以②錯(cuò)；③中如繞直角邊旋

2、轉(zhuǎn)可以形成圓錐，但繞斜邊旋轉(zhuǎn)形成的是由兩個(gè)圓錐組成的組合體，所以③錯(cuò)．故填0. 答案　0 評(píng)注　要準(zhǔn)確辨別各種幾何體，可從軸、側(cè)面、底面、母線、平行于底面的截面等方面入手，當(dāng)然掌握定義是大前提． 二、會(huì)折展 例2　紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北．現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開，外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標(biāo)“Δ”的面的方位是________． 分析　將平面展開圖按要求折疊成正方體，根據(jù)方位判斷即可． 解析　將平面展開圖折疊成正方體，如圖所示，標(biāo)“Δ”的面的方位應(yīng)為北．故填北． 答案　北 評(píng)注　將空間幾何體展開成平面圖形，或

3、將展開圖折疊成空間幾何體，在后面的計(jì)算或證明中經(jīng)常用到，應(yīng)引起重視．解決這類問題的關(guān)鍵是充分發(fā)揮空間想象能力或親自動(dòng)手制作模型進(jìn)行實(shí)踐． 三、會(huì)割補(bǔ) 例3　如圖所示是一個(gè)三棱臺(tái)ABC－A1B1C1.試用一個(gè)平面把這個(gè)三棱臺(tái)分成一個(gè)三棱柱和一個(gè)多面體，并用字母表示． 分析　三棱柱要求兩個(gè)底面為平行且全等的三角形，其余三個(gè)面為四邊形，且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都相互平行． 解　作A1D∥BB1，C1E∥BB1，連接DE，則三棱柱為A1B1C1－DBE，多面體為ADECC1A1(如圖所示)． 評(píng)注　正確理解各類幾何體的概念是將幾何體進(jìn)行割補(bǔ)的前提，在后面的空間幾何體的體積或面積計(jì)算中

4、經(jīng)常要通過(guò)線、面，將不規(guī)則的幾何體通過(guò)割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體，從而可以利用公式求解． 2　三視圖易錯(cuò)點(diǎn)剖析 一、棱錐的視圖易出錯(cuò) 我們?cè)诋嬚忮F、正四棱錐時(shí)要注意從不同角度得到的三視圖．實(shí)際上，在上述幾何體的三視圖中，左視圖最容易出錯(cuò)，在畫這些常見錐體的三視圖時(shí)，可做出幾何體的高線，有了高線的襯托，自然就可以得到正確的三視圖． 如圖，對(duì)于正三棱錐P－ABC來(lái)說(shuō)，它的主視圖中，從前面向后面看，點(diǎn)B到了點(diǎn)D的位置，點(diǎn)P到了點(diǎn)P′的位置，故主視圖為等腰三角形P′AC(包含高線P′D)，從左側(cè)向右側(cè)看，點(diǎn)A到了點(diǎn)D的位置，故左視圖為三角形PBD，從上面向下面看，俯視

5、圖中，點(diǎn)P到了點(diǎn)O的位置，故俯視圖為等邊三角形ABC(外加三條線段OA、OB、OC)． 如圖，對(duì)于正四棱錐P－ABCD來(lái)說(shuō)，它的主視圖和左視圖分別為等腰三角形PEF和等腰三角形PGH，俯視圖為正方形ABCD(包含兩條對(duì)角線AC和BD)．對(duì)于此三視圖，左視圖和主視圖易出錯(cuò)，但有了高線PO的襯托，便可降低出錯(cuò)率． 二、畫三視圖時(shí)，沒有把不可見的輪廓線用虛線表示而出錯(cuò) 作幾何體的三視圖的過(guò)程中，可見的邊界輪廓線用實(shí)線表示，不可見的邊界輪廓線用虛線表示．這一點(diǎn)不能忽視，否則易出錯(cuò)． 例1　畫出如圖所示零件的三視圖． 錯(cuò)解　如圖零件可看作是一個(gè)半圓柱、一個(gè)柱體、一個(gè)圓柱的組合，其三

6、視圖如圖所示． 剖析　錯(cuò)誤原因是圖中各視圖都沒有畫出中間的柱體和圓柱的交線，畫圖時(shí)應(yīng)畫出其交線． 正解　 三、不能由三視圖還原正確的直觀圖而出錯(cuò) 當(dāng)已知幾何體的三視圖，而需要我們?nèi)ミ€原成直觀圖時(shí)，要充分關(guān)注圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的投影，重要的垂直關(guān)系等，綜合三個(gè)視圖，想象出直觀圖，然后畫出直觀圖，再通過(guò)已知的三視圖驗(yàn)證直觀圖的正確性． 例2　如圖，通過(guò)三視圖還原物體的直觀圖． 解　通過(guò)三視圖可以畫出直觀圖，如圖所示： 注　其中PC為垂直于底面ABCD的直線． 跟蹤訓(xùn)練　由下面的三視圖還原物體的直觀圖． 解　通過(guò)三視圖可以看出直觀圖如圖所示： 3　直觀圖

7、與原圖形的互化知多少 在高考中常借助于求平面圖或直觀圖的面積來(lái)考查斜二測(cè)畫法中角度和長(zhǎng)度的變化，也實(shí)現(xiàn)了原圖形與直觀圖的互化．關(guān)于兩者的互化，關(guān)鍵是要抓住它們之間的轉(zhuǎn)化規(guī)則——“斜”和“二測(cè)”． “斜”也即是直角坐標(biāo)系到斜45°坐標(biāo)系之間的相互轉(zhuǎn)化，“二測(cè)”也即是兩者在轉(zhuǎn)化時(shí)，要做到“水平長(zhǎng)不變，垂直倍半化”．現(xiàn)通過(guò)例題講述一下兩者之間的具體轉(zhuǎn)化策略． 一、原圖形到直觀圖的轉(zhuǎn)化 例1　已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 分析　先根據(jù)題意，在原圖形中建立平面直角坐標(biāo)系(以AB所在直線為

8、x軸，以AB邊上的高所在直線為y軸)，然后完成由原圖形到直觀圖的轉(zhuǎn)化，然后根據(jù)直觀圖△A′B′C′的邊長(zhǎng)及夾角求解． 解析　根據(jù)題意，建立如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系，再按照斜二測(cè)畫法畫出其直觀圖，如圖②所示． 易知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a.作C′D′⊥A′B′于點(diǎn)D′，則C′D′＝O′C′＝a. S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝a·a＝a2. 答案　D 評(píng)注　通過(guò)斜二測(cè)畫法畫出的平面圖形的直觀圖的面積與實(shí)物圖的面積之比為∶1.在求解中注意面積中的水平方向與垂直方向的選擇與定位． 二、直觀圖到原圖形的轉(zhuǎn)化 例2　用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形，得到一

9、個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方體，則原來(lái)圖形的形狀是(　　) 解析　由直觀圖知，原圖形在y軸上的對(duì)角線長(zhǎng)應(yīng)為2. 答案　A 評(píng)注　當(dāng)由直觀圖向原圖形轉(zhuǎn)化時(shí)，關(guān)鍵是在直觀圖中建立斜45°坐標(biāo)系，有了斜45°坐標(biāo)系，便可按“二測(cè)”的畫圖規(guī)則逆推回去，而在正方形中建立45°坐標(biāo)系是很容易的(正方形的對(duì)角線與任一邊所成的角均為45°)，從而實(shí)現(xiàn)了由直觀圖向原幾何圖形的轉(zhuǎn)化． 例3　如圖所示，四邊形ABCD是一平面圖形水平放置的斜二測(cè)直觀圖，在斜二測(cè)直觀圖中，ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC與y軸平行，若AB＝6，DC＝4，AD＝2，則這個(gè)平面圖形的實(shí)際面積是________．

10、分析　由∠BCx＝45°，先計(jì)算BC的長(zhǎng)度． 解析　由斜二測(cè)直觀圖畫法規(guī)則知該平面圖形是梯形，且AB與CD的長(zhǎng)度不變，仍為6和4，高為4，故平面圖形的實(shí)際面積為×(6＋4)×4＝20. 答案　20 4　柱、錐、臺(tái)的表面積求法精析 由于柱、錐、臺(tái)的表面積是各個(gè)面的面積之和，因此計(jì)算的關(guān)鍵在于對(duì)幾何體各個(gè)面的正確認(rèn)識(shí)以及對(duì)表面積公式的正確運(yùn)用． 一、錐體的表面積 例1　正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為4 cm，它的側(cè)棱與高所成的角為45°，求正三棱錐的表面積． 分析　本題的關(guān)鍵在于求正三棱錐的斜高． 解　如圖所示，過(guò)S點(diǎn)作SO⊥平面ABC于O點(diǎn)，則O為△ABC的中心，連接AO并延長(zhǎng)

11、與BC相交于D點(diǎn)．由正三角形的性質(zhì)得D為BC的中點(diǎn)，連接SD，則SD為正三棱錐的斜高． 在Rt△ASO中，∠ASO＝45°， AO＝×4＝(cm)，∴SO＝AO＝(cm)． 在Rt△SOD中，OD＝×4＝(cm)， 故SD＝＝＝＝(cm)． 根據(jù)正棱錐的側(cè)面積公式： S側(cè)＝×3×4×＝4(cm2)， 又△ABC的面積為4 cm2， 故正三棱錐的表面積為(4＋4) cm2. 評(píng)注　有關(guān)棱錐、棱臺(tái)的表面積問題，常常涉及到側(cè)棱、高、斜高、邊心距和底面外接圓半徑五個(gè)量之間的關(guān)系．解決問題時(shí)，往往把它們轉(zhuǎn)化為平面圖形，即由側(cè)棱、高、底面外接圓半徑所組成的直角三角形或由高、斜高、邊心

12、距所組成的直角三角形，求出所需要的量，從而使問題得以解決． 二、柱體的表面積 例2　如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，其底面是等腰直角三角形，且AB＝BC＝，AC＝A1A＝2. (1)求該幾何體的表面積； (2)若把兩個(gè)這樣的直三棱柱拼成一個(gè)大棱柱，求拼得的棱柱表面積的最小值． 解　(1)該幾何體有5個(gè)面，兩個(gè)底面的面積和為2×××＝2，三個(gè)側(cè)面面積和為2×(＋＋2)＝4(＋1)，故其表面積S＝6＋4. (2)設(shè)兩個(gè)這樣的直三棱柱重合的面的面積為S1，則組合后的直棱柱的表面積為2S－2S1，故當(dāng)且僅當(dāng)重合的面的面積最大時(shí)，拼得的棱柱的表面積最?。? 又側(cè)面AA1C1C的面

13、積最大，此時(shí)拼得的棱柱的表面積最小值為2S－2S四邊形AA1C1C＝4＋8. 評(píng)注　本例中(1)的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識(shí)別幾何體的各個(gè)面的形狀；(2)的關(guān)鍵在于找到影響拼合后的面積變化量，當(dāng)然也可以分類討論，列舉出各種拼合的辦法，一一計(jì)算表面積，再進(jìn)行比較． 三、臺(tái)體的表面積 例3　已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩底面邊長(zhǎng)分別為20 cm和30 cm，且其側(cè)面積等于兩底面面積之和，求棱臺(tái)的高． 分析　求棱臺(tái)的側(cè)面積要注意利用公式及正棱臺(tái)中的特殊直角梯形，轉(zhuǎn)化為平面問題來(lái)求解所需的幾何元素． 解　如圖所示，正三棱臺(tái)ABC－A1B1C1中，O，O1分別為兩底面中心，D，D1分別為BC和B1C1中點(diǎn)，則DD1

14、為棱臺(tái)的斜高． 由A1B1＝20 cm，AB＝30 cm， 則O1D1＝ cm，OD＝5 cm， 由S側(cè)＝S上＋S下，得 (20＋30)×3×DD1＝(202＋302)， ∴DD1＝ cm.∴棱臺(tái)的斜高為 cm. 在直角梯形O1ODD1中， O1O＝＝4(cm)． ∴棱臺(tái)的高為4 cm. 評(píng)注　本題的關(guān)鍵是找到正棱臺(tái)中的特殊直角梯形． 5　空間幾何體體積的求解“三法” 空間幾何體的體積公式在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，但在具體求解過(guò)程中，僅僅記住公式是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要把握?qǐng)D形的內(nèi)在因素，掌握一些常見的求解策略，靈活選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解． 一、直接用公式求

15、解 根據(jù)柱體、錐體、臺(tái)體、球體的體積公式，明確公式中各幾何量的值，把未知的逐個(gè)求出，再代入公式進(jìn)行求解． 例1　已知圓錐的表面積為15π cm2，側(cè)面展開圖的圓心角為60°，求該圓錐的體積． 分析　根據(jù)錐體的體積公式V＝Sh＝πr2h，知應(yīng)分別求出圓錐的底面半徑和高，代入公式計(jì)算． 解　設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l，根據(jù)題意可得 解得 所以h＝＝＝ ＝r＝×＝5. 所以V＝π×2×5＝π(cm3)． 評(píng)注　直接利用幾何體的體積公式求體積時(shí)，需牢固掌握公式，明確各幾何量之間的關(guān)系，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算． 二、分割補(bǔ)形求解 當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無(wú)法運(yùn)用時(shí)

16、，可以采用“分割”或“補(bǔ)形”的方法，化復(fù)雜的幾何體為簡(jiǎn)單的幾何體(柱、錐、臺(tái)、球)，利用各簡(jiǎn)單幾何體的體積和或差求解． 例2　如圖所示，在三棱臺(tái)ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱錐A1－ABC、三棱錐B－A1B1C、三棱錐C－A1B1C1的體積之比． 分析　如圖，三棱錐B－A1B1C可以看作棱臺(tái)減去三棱錐A1－ABC和三棱錐C－A1B1C1后剩余的幾何體，然后相比即可． 解　設(shè)三棱臺(tái)的高為h，S△ABC＝S，則S△A1B1C1＝4S. 所以＝S△ABC·h＝Sh， ＝S△A1B1C1·h＝Sh. 又 ＝Sh， 所以 ＝－－＝Sh－Sh－Sh＝Sh. 所

17、以∶∶＝1∶2∶4. 評(píng)注　三棱柱、三棱臺(tái)可以分割成三個(gè)三棱錐，分割后可由錐體的體積求柱體和臺(tái)體的體積．在立體幾何中，通過(guò)分割或補(bǔ)形，將原幾何體割成或補(bǔ)成較易計(jì)算體積的幾何體，從而求出原幾何體的體積，這是求體積的重要思路與方法． 三、等積轉(zhuǎn)換求解 對(duì)于一個(gè)幾何體，可以從不同的角度去看待它，通過(guò)改變頂點(diǎn)和底面，利用體積不變的原理，求原幾何體的體積． 例3　如圖所示的三棱錐O－ABC為長(zhǎng)方體的一角，其中OA，OB，OC兩兩垂直，三個(gè)側(cè)面OAB，OAC，OBC的面積分別為1.5 cm2，1 cm2,3 cm2，求三棱錐O－ABC的體積． 分析　三棱錐O－ABC的底面和高不易求解，可

18、以轉(zhuǎn)換視角，將三棱錐O－ABC看作C為頂點(diǎn)，△OAB為底面．由三棱錐C－OAB的體積得出三棱錐O－ABC的體積． 解　設(shè)OA，OB，OC的長(zhǎng)分別為x cm，y cm，z cm，則由已知可得解得 于是V三棱錐O－ABC＝V三棱錐C－OAB＝S△OAB×OC ＝××1×3×2＝1(cm3)． 6　“三共”問題的證法精析 一、證明點(diǎn)共線 例1　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于Q.求證：B、Q、D1共線． 證明　∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB， B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB， ∴平面AB

19、C1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C?平面A1D1CB， ∴Q∈平面A1D1CB；而Q∈平面ABC1D1. ∴Q在兩平面的交線BD1上，∴B、Q、D1共線． 評(píng)注　證明點(diǎn)共線的問題，一般可轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，這樣可根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)同在兩平面的交線上． 二、證明線共點(diǎn) 例2　如圖，△ABC與△A1B1C1三條邊對(duì)應(yīng)平行，且兩個(gè)三角形不全等，求證：三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)． 分析　要證三線共點(diǎn)，可證其中兩條直線有交點(diǎn)，且該交點(diǎn)在第三條直線上． 證明　由A1B1∥AB，知A1B1與AB可確定平面α. 同理C1B

20、1，CB和A1C1，AC可分別確定平面β和γ. 又△ABC與△A1B1C1不全等，則A1B1≠AB. 若AA1，BB1的交點(diǎn)為P，則P∈AA1，且P∈BB1. 又β∩γ＝CC1，BB1?β，則P∈β；AA1?γ，則P∈γ. 所以點(diǎn)P在β∩γ的交線上， 即P∈CC1，這樣點(diǎn)P在AA1，BB1，CC1上，即三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)． 評(píng)注　解決此類問題的一般方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證該點(diǎn)也在其他直線上． 三、證明線共面 例3　求證：兩兩相交但不過(guò)同一點(diǎn)的四條直線共面． 分析　四條直線不共點(diǎn)，但有可能三線共點(diǎn)，或沒有三線共點(diǎn)，所以應(yīng)分兩種情況加以證明． 證明　分兩

21、種情況證明： ①有三條直線過(guò)同一點(diǎn)，如圖， 因?yàn)锳?l4，所以過(guò)A，l4可確定平面α. 因?yàn)锽，C，D∈l4，所以B，C，D∈α. 所以AB?α，AC?α，AD?α. 因此四條直線l1，l2，l3，l4共面． ②任意三條直線都不過(guò)同一點(diǎn)，如圖． 因?yàn)閘1∩l2＝A，所以過(guò)l1，l2可以確定平面α. 又因?yàn)镈，E∈l2，B，C∈l1，所以D，E，B，C∈α. 由E∈α，B∈α，可得BE?α，即l3?α. 同理可證，l4?α.因此四條直線l1，l2，l3，l4共面． 評(píng)注　證明線共面問題，一般有兩種方法：一是先由兩條直線確定一個(gè)平面，再證明第三條直線在這個(gè)平面內(nèi)；二是

22、由其中兩條直線確定一個(gè)平面α，另兩條直線確定一個(gè)平面β，再證α，β重合，從而三線共面． 7　平行問題證明的三個(gè)突破口 一、由中點(diǎn)聯(lián)想三角形的中位線，尋找平行關(guān)系 例1　如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，E是CD1的中點(diǎn)，求證：AD1∥平面BDE. 分析　要在平面BDE內(nèi)尋找與AD1平行的直線，由條件E是CD1的中點(diǎn)，易想到利用三角形的中位線來(lái)尋找．由于底面ABCD是平行四邊形，其對(duì)角線的交點(diǎn)就是AC的中點(diǎn)，這樣就找到了中位線，從而問題就解決了． 證明　連接AC，與BD交于點(diǎn)O. 因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形， 所以O(shè)是AC的中點(diǎn)． 連接OE，由于E

23、是CD1的中點(diǎn)， 所以O(shè)E是△AD1C的中位線．所以O(shè)E∥AD1. 又OE?平面BDE，AD1?平面BDE， 所以AD1∥平面BDE. 評(píng)注　運(yùn)用直線與平面平行的判定定理證明線面平行時(shí)，不能忽視限制條件：一條直線在平面內(nèi)，一條直線在平面外，如本題中OE?平面BDE，AD1?平面BDE，否則證明不完善． 二、由平行四邊形尋找平行關(guān)系 例2　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM＝DN，求證：MN∥平面ABB1A1. 分析　要在平面ABB1A1內(nèi)找一條直線與MN平行，可根據(jù)平行關(guān)系作ME∥BC，NF∥AD來(lái)構(gòu)造平行四邊形，從而找到與MN平

24、行的直線． 證明　作ME∥BC交BB1于點(diǎn)E，作NF∥AD交AB于點(diǎn)F，連接EF. 因?yàn)锳D∥BC，所以NF∥ME. 因?yàn)镃M＝DN，BD＝B1C， 所以B1M＝BN. 因?yàn)椋?，＝? 所以ME＝NF. 所以四邊形MEFN為平行四邊形．所以MN∥EF. 又MN?平面ABB1A1，EF?平面ABB1A1， 所以MN∥平面ABB1A1. 評(píng)注　構(gòu)造平行四邊形的關(guān)鍵在于抓住條件特征，合理引入平行線．一定要注意平行四邊形的一條邊在要證的平面內(nèi)，其對(duì)邊為待證直線，如本題中直線EF與MN. 三、由對(duì)應(yīng)線段成比例尋找平行關(guān)系 例3　如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正

25、方形，M，N分別是PA，BD上的點(diǎn)，且＝， 求證：MN∥平面PBC. 分析　條件中給出一個(gè)比例關(guān)系，由此想到運(yùn)用比例線段在平面PBC內(nèi)尋找一條直線與MN平行． 證明　連接AN并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E，連接PE. 在正方形ABCD內(nèi)，BC∥AD， 所以＝. 因?yàn)椋?，所以? 所以MN∥PE. 又PE?平面PBC，MN?平面PBC， 所以MN∥平面PBC. 8　轉(zhuǎn)化中證明空間垂直關(guān)系 空間中的各種垂直關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．在高考中著重考查線線垂直、線面垂直、面面垂直的證明，這就需要利用線面垂直、面面垂直的判定定理及其性質(zhì)，運(yùn)用三者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系． 一、證明線

26、面垂直 證明線面垂直通常有兩種方法：一是利用線面垂直的判定定理，由線線垂直得到線面垂直；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理，由面面垂直得到線面垂直． 例1　如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，垂足為點(diǎn)N.求證：AN⊥平面PBM. 證明　因?yàn)镻A垂直于圓O所在的平面，所以PA⊥BM. 因?yàn)镸是圓周上一點(diǎn)，所以BM⊥AM. 又因?yàn)镻A∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM. 所以BM⊥AN. 又因?yàn)锳N⊥PM，PM∩BM＝M，所以AN⊥平面PBM. 評(píng)注　本題是考查線面垂直很好的載體，它融合了初中所學(xué)的圓的特征，在求解時(shí)要注意線線、線面垂直關(guān)系的

27、轉(zhuǎn)化． 二、證明面面垂直 證明面面垂直一般有兩種方法：一是利用面面垂直的定義，通過(guò)求二面角的平面角為直角而得到，這種方法在證明面面垂直時(shí)應(yīng)用較少；二是利用面面垂直的判定定理由線面垂直得到面面垂直． 例2　如圖，△ABC為等邊三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC，且EC＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)． (1)求證：DE＝DA； (2)求證：平面BDM⊥平面ECA. 證明　(1)如圖，取EC的中點(diǎn)F，連接DF，易知DF∥BC. 因?yàn)镋C⊥BC，所以DF⊥EC. 在Rt△EFD和Rt△DBA中， 因?yàn)镋F＝EC＝BD，F(xiàn)D＝BC＝AB， 所以Rt△EFD≌Rt△DBA.所以D

28、E＝DA. (2)如圖，取CA的中點(diǎn)N，連接MN，BN，則MN∥EC，且MN＝EC. 又EC∥BD，且BD＝EC， 所以MN∥BD，且MN＝BD.所以四邊形BDMN是平行四邊形．所以點(diǎn)N在平面BDM內(nèi)． 因?yàn)镋C⊥平面ABC，所以EC⊥BN. 又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA. 因?yàn)锽N?平面MNBD，所以平面BDM⊥平面ECA. 評(píng)注　在證明面面垂直時(shí)通常轉(zhuǎn)化為證明線面垂直的問題． 三、證明線線垂直 證明線線垂直，往往根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，即如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直． 例3　如圖，已知平面α∩平面β＝CD，EA⊥

29、α，EB⊥β，垂足分別為A，B，求證：CD⊥AB. 證明　因?yàn)镋A⊥α，CD?α，所以CD⊥EA. 又因?yàn)镋B⊥β，CD?β，所以EB⊥CD. 又因?yàn)镋A∩EB＝E，所以CD⊥平面ABE. 因?yàn)锳B?平面ABE，CD?平面ABE， 所以CD⊥AB. 評(píng)注　證明空間中的垂直關(guān)系的問題時(shí)，經(jīng)常要用到化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，主要體現(xiàn)在線線垂直、線面垂直、面面垂直證明的相互轉(zhuǎn)化過(guò)程之中．其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下： 線線垂直線面垂直面面垂直 9　空間中垂直關(guān)系的探索型問題 隨著新課程的普及，創(chuàng)新型問題越來(lái)越受到高考命題者的青睞，并且滲透到各個(gè)章節(jié)之中，下面就直線與空間中垂直關(guān)系的開

30、放探索型問題列舉兩例，供同學(xué)們學(xué)習(xí)． 例1　如圖，設(shè)△ABC內(nèi)接于⊙O，PA垂直于⊙O所在的平面． (1)請(qǐng)指出圖中互相垂直的平面；(要求：列出所有的情形，但不要求證明) (2)若要使互相垂直的平面對(duì)數(shù)在原有的基礎(chǔ)上增加一對(duì)，那么在△ABC中需添加一個(gè)什么條件？(要求：添加你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮所有可能的情形，但必須證明你添加的條件的正確性，答案不唯一) (3)設(shè)D是PC的中點(diǎn)，AC＝AB＝a(a是常數(shù))，試探究在PA上是否存在一點(diǎn)M，使MD＋MB最?。咳舸嬖?，試確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)圖中互相垂直的平面有： 平面PAC⊥平面ABC，平

31、面PAB⊥平面ABC. (2)要使互相垂直的平面對(duì)數(shù)在原有的基礎(chǔ)上增加一對(duì)，在△ABC中需添加：AB⊥BC(或添加∠ABC＝90°，或AC是⊙O的直徑，或AC過(guò)圓心O等．) 證明如下： 因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥PA. 因?yàn)锳B⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB. 又BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB.(其他條件的證明略) (3)將平面PAB繞PA沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與平面PAC在同一平面上，如圖．因?yàn)镻A⊥AC，PA⊥AB， 所以C，A，B三點(diǎn)在同一條直線上． 連接DB交PA于點(diǎn)M，則點(diǎn)M就是所求的點(diǎn)． 過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交PA

32、于點(diǎn)E. 因?yàn)镈是PC的中點(diǎn)，所以E為PA的中點(diǎn)． 因?yàn)椋剑褹C＝AB，所以＝2. 所以AM＝AE＝AP，即點(diǎn)M為AP方向上AP的第一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，MD＋MB最?。? 例2　如圖所示，已知長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，E為線段AD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BD1的中點(diǎn)． (1)求證：EF∥平面ABCD； (2)設(shè)M為線段C1C的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)谋戎禐槎嗌贂r(shí)，DF⊥平面D1MB？并說(shuō)明理由． (1)證明　∵E為線段AD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BD1的中點(diǎn)，∴EF∥AB.∵EF?平面ABCD，AB?平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD. (2)解　當(dāng)＝時(shí)，DF⊥平面D1MB. ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵D1D⊥平面ABC， ∴D1D⊥AC.∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥DF.∵F，M分別是BD1，CC1的中點(diǎn)，∴FM∥AC.∴DF⊥FM. ∵D1D＝AD，∴D1D＝BD.∴矩形D1DBB1為正方形． ∵F為BD1的中點(diǎn)，∴DF⊥BD1. ∵FM∩BD1＝F，且MF?平面D1MB，BD1?平面D1MB， ∴DF⊥平面D1MB. 18