2018年高考數學二輪復習 第1部分 重點強化專題 專題2 數列 突破點5 數列的通項與求和學案 文

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1、 突破點5　數列的通項與求和 [核心知識提煉] 提煉1 an與Sn的關系 若an為數列{an}的通項，Sn為其前n項和，則有an＝在使用這個關系式時，一定要注意區(qū)分n＝1，n≥2兩種情況，求出結果后，判斷這兩種情況能否整合在一起. 提煉2 求數列通項常用的方法 (1)定義法：①形如an＋1＝an＋c(c為常數)，直接利用定義判斷其為等差數列．②形如an＋1＝kan(k為非零常數)且首項不為零，直接利用定義判斷其為等比數列． (2)疊加法：形如an＋1＝an＋f(n)，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)，求其通項公式． (3)疊乘法：形如

2、＝f(n)≠0，利用an＝a1···…·，求其通項公式． (4)待定系數法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均為常數，pq(p－1)≠0)，先用待定系數法把原遞推公式轉化為an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再轉化為等比數列求解． (5)構造法：形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均為常數，pq(p－1)≠0)，先在原遞推公式兩邊同除以qn＋1，得＝·＋，構造新數列{bn}，得bn＋1＝·bn＋，接下來用待定系數法求解. 提煉3 數列求和 數列求和的關鍵是分析其通項，數列的基本求和方法有公式法、裂(拆)項相消法、錯位相減法、分組法、倒序相加法和并項法等，而裂項相消法、錯位相減

3、法是常用的兩種方法． [高考真題回訪] 回訪1　an與an＋1的關系 1．(2014·全國卷Ⅱ)數列{an}滿足an＋1＝，a8＝2，則a1＝________. 　[∵an＋1＝， ∴an＋1＝＝＝ ＝＝1－＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2， ∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3. ∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2. 而a2＝，∴a1＝.] 回訪2　數列求和 2．(2012·全國卷)數列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項和為(　　) A．3 690　 B．3 660　 C．1 845　 D．1 830 D　[∵an＋1＋(

4、－1)nan＝2n－1， ∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1， a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…， a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1， ∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝＝1 830.] 3．(2013·全國卷Ⅰ改編)已知等差數列{an}的前n項和Sn滿足S3＝0，S5＝－5.則 (1){an}的通項公式為

5、__________； (2)數列的前n項和為__________． (1)an＝2－n　(2)　[(1)設{an}的公差為d，則Sn＝na1＋d. 由已知可得解得 故{an}的通項公式為an＝2－n. (2)由(1)知＝ ＝， 從而數列的前n項和為 ＝.] 4．(2014·全國卷Ⅰ改編)已知{an}是遞增的等差數列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根，則 (1){an}的通項公式為__________； (2)數列的前n項和為__________． (1)an＝n＋1　(2)2－　[(1)方程x2－5x＋6＝0的兩根為2,3，由題意得a2＝2，a4＝3. 設數列

6、{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝， 從而a1＝. 所以{an}的通項公式為an＝n＋1. (2)設的前n項和為Sn， 由(1)知＝，則 Sn＝＋＋…＋＋， Sn＝＋＋…＋＋. 兩式相減得 Sn＝＋－ ＝＋－. 所以Sn＝2－.] 熱點題型1　數列中an與Sn的關系 數列中的an與Sn的關系 題型分析：以數列中an與Sn間的遞推關系為載體，考查數列通項公式的求法，以及推理論證的能力． 【例1】(1)(2017·鄭州模擬)設數列{an}的前n項和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________.

7、 1　121　[由解得a1＝1，a2＝3， 當n≥2時，由已知可得： an＋1＝2Sn＋1，① an＝2Sn－1＋1，② ①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an.又a2＝3a1， ∴{an}是首項為1，公比為3的等比數列． ∴Sn＝(3n－1)，∴S5＝121.] (2)數列{an}中，a1＝1，Sn為數列{an}的前n項和，且滿足＝1(n≥2)．求數列{an}的通項公式． [解]　由已知，當n≥2時，＝1， 所以＝1， 2分 即＝1， 所以－＝． 4分 又S1＝a1＝1， 所以數列是首項為1，公差為的等差數列， 6分 所以＝1＋(n－1)＝，

8、即Sn＝． 8分 所以當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝－． 10分 因此an＝ 12分 [方法指津] 給出Sn與an的遞推關系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為an的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an. 提醒：在利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通項公式時，務必驗證n＝1時的情形． [變式訓練1] (1)已知數列{an}前n項和為Sn，若Sn＝2an－2n ，則Sn＝__________. (2)已知數列{an}的各項均為正數，其前n項和為Sn，且2Sn＋2＝3an(n∈N*)，則an＝

9、__________. (1)n·2n(n∈N*)　(2)2×3n－1(n∈N*)　[(1)由Sn＝2an－2n得當n＝1時，S1＝a1＝2；當n≥2時，Sn＝2(Sn－Sn－1)－2n，即－＝1，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，則＝n，Sn＝n·2n(n≥2)，當n＝1時，也符合上式，所以Sn＝n·2n(n∈N*)． (2)因為2Sn＋2＝3an，① 所以2Sn＋1＋2＝3an＋1，② 由②－①，得2Sn＋1－2Sn＝3an＋1－3an，所以2an＋1＝3an＋1－3an，即＝3. 當n＝1時，2＋2S1＝3a1，所以a1＝2，所以數列{an}是首項為2，公比為3的等比數列

10、， 所以an＝2×3n－1(n∈N*)．] 熱點題型2　裂項相消法求和 題型分析：裂項相消法是指把數列中的各項分別裂開后，某些項可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于或(其中{an}為等差數列)等形式的數列求和． 【例2】　已知等差數列{an}的公差d≠0，它的前n項和為Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比數列， (1)求數列{an}的通項公式； (2)若數列的前n項和為Tn，求證：≤Tn<. [解] (1)由已知及等差數列的性質得S5＝5a3，∴a3＝14， 1分 又a2，a7，a22成等比數列，所以a＝a2·a22． 2分 所以(a1＋6d)2＝(a1＋d)(

11、a1＋21d)且d≠0， 解得a1＝d，∴a1＝6，d＝4． 4分 故數列{an}的通項公式為an＝4n＋2，n∈N*． 6分 (2)證明：由(1)得Sn＝＝2n2＋4n，＝＝，8分 ∴Tn＝ ＝－． 10分 又Tn≥T1＝－ ＝， 所以≤Tn<． 12分 [方法指津] 裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，常見的裂項方式有： (1)＝； (2)＝； (3)＝(－)． 提醒：在裂項變形時，務必注意裂項前的系數． [變式訓練2]　(名師押題)已知數列{an}是遞增的等比數列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8. (

12、1)求數列{an}的通項公式； (2)設Sn為數列{an}的前n項和，bn＝，求數列{bn}的前n項和Tn. [解] (1)由題設知a1·a4＝a2·a3＝8， 2分 又a1＋a4＝9，可得或(舍去) 4分 由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1． 6分 (2)Sn＝＝2n－1． 8分 又bn＝＝＝－， 10分 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－． 12分 熱點題型3　錯位相減法求和 題型分析：限于數列解答題的位置較為靠前，加上錯位相減法的運算量相對較大，故在近5年中僅有1年對該命題點作了考查，但其仍是命題的熱點之一，務必加強訓

13、練． 【例3】　設等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn，等比數列{bn}的公比為q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1)求數列{an}，{bn}的通項公式； (2)當d＞1時，記cn＝，求數列{cn}的前n項和Tn. [解] (1)由題意有 即 2分 解得或 4分 故或 6分 (2)由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，① Tn＝＋＋＋＋＋…＋.?、?8分 ①－②可得 Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－， 10分 故Tn＝6－． 12分 [方法指津] 運用錯位相減法求和應注意：一是判斷模型，即判斷

14、數列{an}，{bn}中一個為等差數列，一個為等比數列；二是錯開位置，一般先乘公比，再把前n項和退后一個位置來書寫，這樣避免兩式相減時看錯列；三是相減，相減時一定要注意式中最后一項的符號，考生常在此步出錯，一定要細心． 提醒：為保證結果正確，可對得到的和取n＝1,2進行驗證． [變式訓練3]　已知在公比大于1的等比數列{an}中，a2，a4是函數f(x)＝(x－2)(x－8)的兩個零點． (1)求數列{an }的通項公式； (2)求數列{2nan}的前n項和Sn. [解] (1)因為a2，a4是函數f(x)＝(x－2)(x－8)的兩個零點，且等比數列{an}的公比q大于1，所以a2＝2，a4＝8， 2分 所以q＝2，所以數列{an}的通項公式為an＝2n－1(n∈N*)． 6分 (2)由(1)知2nan＝n×2n ，所以Sn＝1×2＋2×22＋…＋n×2n，① 7分 2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，② 8分 由①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1，11分 所以Sn＝2＋(n－1)×2n＋1(n∈N*)． 12分 8