《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題2 數(shù)列 突破點(diǎn)5 數(shù)列的通項(xiàng)與求和學(xué)案 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題2 數(shù)列 突破點(diǎn)5 數(shù)列的通項(xiàng)與求和學(xué)案 文(8頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
突破點(diǎn)5 數(shù)列的通項(xiàng)與求和
[核心知識提煉]
提煉1 an與Sn的關(guān)系
若an為數(shù)列{an}的通項(xiàng),Sn為其前n項(xiàng)和,則有an=在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí),一定要注意區(qū)分n=1,n≥2兩種情況,求出結(jié)果后,判斷這兩種情況能否整合在一起.
提煉2 求數(shù)列通項(xiàng)常用的方法
(1)定義法:①形如an+1=an+c(c為常數(shù)),直接利用定義判斷其為等差數(shù)列.②形如an+1=kan(k為非零常數(shù))且首項(xiàng)不為零,直接利用定義判斷其為等比數(shù)列.
(2)疊加法:形如an+1=an+f(n),利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1),求其通項(xiàng)公式.
(3)疊乘法:形如
2、=f(n)≠0,利用an=a1···…·,求其通項(xiàng)公式.
(4)待定系數(shù)法:形如an+1=pan+q(其中p,q均為常數(shù),pq(p-1)≠0),先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-t=p(an-t),其中t=,再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.
(5)構(gòu)造法:形如an+1=pan+qn(其中p,q均為常數(shù),pq(p-1)≠0),先在原遞推公式兩邊同除以qn+1,得=·+,構(gòu)造新數(shù)列{bn},得bn+1=·bn+,接下來用待定系數(shù)法求解.
提煉3 數(shù)列求和
數(shù)列求和的關(guān)鍵是分析其通項(xiàng),數(shù)列的基本求和方法有公式法、裂(拆)項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組法、倒序相加法和并項(xiàng)法等,而裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減
3、法是常用的兩種方法.
[高考真題回訪]
回訪1 an與an+1的關(guān)系
1.(2014·全國卷Ⅱ)數(shù)列{an}滿足an+1=,a8=2,則a1=________.
[∵an+1=,
∴an+1===
==1-=1-=1-(1-an-2)=an-2,
∴周期T=(n+1)-(n-2)=3.
∴a8=a3×2+2=a2=2.
而a2=,∴a1=.]
回訪2 數(shù)列求和
2.(2012·全國卷)數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則{an}的前60項(xiàng)和為( )
A.3 690 B.3 660
C.1 845 D.1 830
D [∵an+1+(
4、-1)nan=2n-1,
∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,
a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,…,
a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=119-a1,
∴a1+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a57+a58+a59+a60)=10+26+42+…+234
==1 830.]
3.(2013·全國卷Ⅰ改編)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S3=0,S5=-5.則
(1){an}的通項(xiàng)公式為
5、__________;
(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為__________.
(1)an=2-n (2) [(1)設(shè){an}的公差為d,則Sn=na1+d.
由已知可得解得
故{an}的通項(xiàng)公式為an=2-n.
(2)由(1)知=
=,
從而數(shù)列的前n項(xiàng)和為
=.]
4.(2014·全國卷Ⅰ改編)已知{an}是遞增的等差數(shù)列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根,則
(1){an}的通項(xiàng)公式為__________;
(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為__________.
(1)an=n+1 (2)2- [(1)方程x2-5x+6=0的兩根為2,3,由題意得a2=2,a4=3.
設(shè)數(shù)列
6、{an}的公差為d,則a4-a2=2d,故d=,
從而a1=.
所以{an}的通項(xiàng)公式為an=n+1.
(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn,
由(1)知=,則
Sn=++…++,
Sn=++…++.
兩式相減得
Sn=+-
=+-.
所以Sn=2-.]
熱點(diǎn)題型1 數(shù)列中an與Sn的關(guān)系
數(shù)列中的an與Sn的關(guān)系
題型分析:以數(shù)列中an與Sn間的遞推關(guān)系為載體,考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,以及推理論證的能力.
【例1】(1)(2017·鄭州模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,則a1=________,S5=________.
7、
1 121 [由解得a1=1,a2=3,
當(dāng)n≥2時(shí),由已知可得:
an+1=2Sn+1,①
an=2Sn-1+1,②
①-②得an+1-an=2an,∴an+1=3an.又a2=3a1,
∴{an}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列.
∴Sn=(3n-1),∴S5=121.]
(2)數(shù)列{an}中,a1=1,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且滿足=1(n≥2).求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
[解] 由已知,當(dāng)n≥2時(shí),=1,
所以=1, 2分
即=1,
所以-=. 4分
又S1=a1=1,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列, 6分
所以=1+(n-1)=,
8、即Sn=. 8分
所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-=-. 10分
因此an= 12分
[方法指津]
給出Sn與an的遞推關(guān)系,求an,常用思路:一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系,再求其通項(xiàng)公式;二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系,先求出Sn與n之間的關(guān)系,再求an.
提醒:在利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求通項(xiàng)公式時(shí),務(wù)必驗(yàn)證n=1時(shí)的情形.
[變式訓(xùn)練1] (1)已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2an-2n ,則Sn=__________.
(2)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,且2Sn+2=3an(n∈N*),則an=
9、__________.
(1)n·2n(n∈N*) (2)2×3n-1(n∈N*) [(1)由Sn=2an-2n得當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=2;當(dāng)n≥2時(shí),Sn=2(Sn-Sn-1)-2n,即-=1,所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,則=n,Sn=n·2n(n≥2),當(dāng)n=1時(shí),也符合上式,所以Sn=n·2n(n∈N*).
(2)因?yàn)?Sn+2=3an,①
所以2Sn+1+2=3an+1,②
由②-①,得2Sn+1-2Sn=3an+1-3an,所以2an+1=3an+1-3an,即=3.
當(dāng)n=1時(shí),2+2S1=3a1,所以a1=2,所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列
10、,
所以an=2×3n-1(n∈N*).]
熱點(diǎn)題型2 裂項(xiàng)相消法求和
題型分析:裂項(xiàng)相消法是指把數(shù)列中的各項(xiàng)分別裂開后,某些項(xiàng)可以相互抵消從而求和的方法,主要適用于或(其中{an}為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和.
【例2】 已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,它的前n項(xiàng)和為Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比數(shù)列,
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,求證:≤Tn<.
[解] (1)由已知及等差數(shù)列的性質(zhì)得S5=5a3,∴a3=14, 1分
又a2,a7,a22成等比數(shù)列,所以a=a2·a22. 2分
所以(a1+6d)2=(a1+d)(
11、a1+21d)且d≠0,
解得a1=d,∴a1=6,d=4. 4分
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=4n+2,n∈N*. 6分
(2)證明:由(1)得Sn==2n2+4n,==,8分
∴Tn=
=-. 10分
又Tn≥T1=- =,
所以≤Tn<. 12分
[方法指津]
裂項(xiàng)相消法的基本思想就是把通項(xiàng)an分拆成an=bn+k-bn(k≥1,k∈N*)的形式,常見的裂項(xiàng)方式有:
(1)=;
(2)=;
(3)=(-).
提醒:在裂項(xiàng)變形時(shí),務(wù)必注意裂項(xiàng)前的系數(shù).
[變式訓(xùn)練2] (名師押題)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=9,a2a3=8.
(
12、1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
[解] (1)由題設(shè)知a1·a4=a2·a3=8, 2分
又a1+a4=9,可得或(舍去) 4分
由a4=a1q3得公比q=2,故an=a1qn-1=2n-1. 6分
(2)Sn==2n-1. 8分
又bn===-, 10分
所以Tn=b1+b2+…+bn=++…+=-=1-. 12分
熱點(diǎn)題型3 錯(cuò)位相減法求和
題型分析:限于數(shù)列解答題的位置較為靠前,加上錯(cuò)位相減法的運(yùn)算量相對較大,故在近5年中僅有1年對該命題點(diǎn)作了考查,但其仍是命題的熱點(diǎn)之一,務(wù)必加強(qiáng)訓(xùn)
13、練.
【例3】 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的公比為q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng)d>1時(shí),記cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
[解] (1)由題意有
即 2分
解得或 4分
故或 6分
(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,于是Tn=1+++++…+,①
Tn=+++++…+.?、?8分
①-②可得
Tn=2+++…+-=3-, 10分
故Tn=6-. 12分
[方法指津]
運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意:一是判斷模型,即判斷
14、數(shù)列{an},{bn}中一個(gè)為等差數(shù)列,一個(gè)為等比數(shù)列;二是錯(cuò)開位置,一般先乘公比,再把前n項(xiàng)和退后一個(gè)位置來書寫,這樣避免兩式相減時(shí)看錯(cuò)列;三是相減,相減時(shí)一定要注意式中最后一項(xiàng)的符號,考生常在此步出錯(cuò),一定要細(xì)心.
提醒:為保證結(jié)果正確,可對得到的和取n=1,2進(jìn)行驗(yàn)證.
[變式訓(xùn)練3] 已知在公比大于1的等比數(shù)列{an}中,a2,a4是函數(shù)f(x)=(x-2)(x-8)的兩個(gè)零點(diǎn).
(1)求數(shù)列{an }的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn.
[解] (1)因?yàn)閍2,a4是函數(shù)f(x)=(x-2)(x-8)的兩個(gè)零點(diǎn),且等比數(shù)列{an}的公比q大于1,所以a2=2,a4=8, 2分
所以q=2,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1(n∈N*). 6分
(2)由(1)知2nan=n×2n ,所以Sn=1×2+2×22+…+n×2n,① 7分
2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,② 8分
由①-②,得-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1,11分
所以Sn=2+(n-1)×2n+1(n∈N*). 12分
8