2020版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第5節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學案 理（含解析）北師大版

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1、第五節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) [考綱傳真]　1.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算.2.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景.3.理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點，會畫底數(shù)為2,3,10，，的指數(shù)函數(shù)的圖像.4.體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型． 1．有理指數(shù)冪 (1)分數(shù)指數(shù)冪 ①正分數(shù)指數(shù)冪：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②負分數(shù)指數(shù)冪：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義． (2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) ①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝

2、ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 2．指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì) 圖像 a＞1 0＜a＜1 定義域 R 值域 (0，＋∞) 性質(zhì) 過定點(0,1) 當x＞0時，y＞1； 當x＜0時，0＜y＜1 當x＞0時，0＜y＜1； 當x＜0時，y＞1 在R上是增函數(shù) 在R上是減函數(shù) [常用結(jié)論] 1．指數(shù)函數(shù)圖像的畫法 畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖像，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0,1)，. 2．指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較 如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，

3、(4)y＝dx的圖像，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關系為c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖像越高，底數(shù)越大． 3．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖像和性質(zhì)跟a的取值有關，要特別注意應分a＞1與0＜a＜1來研究． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)＝()n＝a. (　　) (2)(－1)＝(－1)＝. (　　) (3)函數(shù)y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)． (　　) (4)若am＜an(a＞0且a≠1)，則m＜n. (　　) [答案

4、]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函數(shù)y＝ax－1＋2(a＞0，且a≠1)的圖像恒過點的坐標為(　　) A．(2,2)　　　　　　　 B．(2,4) C．(1,2) D．(1,3) D　[令x－1＝0得x＝1，此時y＝1＋2＝3，故選D.] 3．設a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關系是(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a C　[y＝0.6x在R上是減函數(shù)，又0.6＜1.5， ∴0.60.6＞0.61.5， 又y＝x0.6為R上的增函數(shù)， ∴1.50.6＞0.60.6，

5、∴1.50.6＞0.60.6＞0.61.5. 即c＞a＞b.] 4．(教材改編)函數(shù)f(x)＝21－x的大致圖像為(　　) 　　　　　　　　 A　　　　　　　B 　　　　　　　　 C　　　　　　　D A　[f(x)＝21－x＝x－1，又f(0)＝2，f(1)＝1，故排除B，C，D，故選A.] 5．(教材改編)計算： 4a　[原式＝×ab＝4a1b0＝4a.] 指數(shù)冪的運算 1．化簡(x＜0，y＜0)的正確結(jié)果是(　　) A．2x2y　　　　　　　 B．2xy C．4x2y D．－2x2y D　[∵x＜0，y＜0，∴

6、＝－2x2y，選D.] 2．計算0＋2－2×－－(0.01)＝________. 　[原式＝1＋×－ ＝1＋×－ ＝.] 3.ab－2(－3ab－1)÷(4ab－3)·＝________. －　[原式＝÷2ab·ab ＝－ab·ab＝－.] [規(guī)律方法]　指數(shù)冪運算的一般原則 (1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運算. (2)先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù). (3)底數(shù)是負數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù). (4)若是根式，應化為分數(shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答. 指數(shù)函數(shù)的圖像及應用

7、 【例1】　(1)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖像如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)＞1，b＜0 B．a(chǎn)＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 (2)若曲線y＝|2x－1|與直線y＝b有兩個公共點，則b的取值范圍為________． (1)D　(2)(0,1)　[由f(x)＝ax－b的圖像可以觀察出，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上遞減，所以0＜a＜1，函數(shù)f(x)＝ax－b的圖像是在y＝ax的基礎上向左平移得到的，所以b＜0.] (2)曲線y＝|2x－1|與直線y＝b的圖像如圖所示，由圖像可得，如果曲線y＝|2x－1|與直線y＝

8、b有兩個公共點， 則b的取值范圍是(0,1)． [規(guī)律方法]　(1)與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)圖像的研究，往往利用相應指數(shù)函數(shù)的圖像，通過平移、對稱、翻折變換得到其圖像. (2)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解. (1)函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖像大致是(　　) 　　 　 A　　　　B　 　　C　　　 　D (2)已知實數(shù)a，b滿足等式2 018a＝2 019b，下列五個關系式： ①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b. 其中不可能成立的關系式有(　　) A．1個 B．2個

9、C．3個 D．4個 (1)A　(2)B　[(1)易知f(x)是偶函數(shù)，且f(0)＝0，從而排除選項B，C，D，故選A. (2)作出y＝2 018x及y＝2 019x的圖像如圖所示，由圖可知a＞b＞0，a＝b＝0或a＜b＜0時，有2 018a＝2 019b，故③④不可能成立，故選B.] 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用 【例2】　(1)下列各式比較大小正確的是(　　) A．1.72.5＞1.73 B．0.6－1＞0.62 C．0.8－0.1＞1.250.2 D．1.70.3＜0.93.1 (2)(2019·承德模擬)若函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋3的值域是，則f(x)的遞增區(qū)間

10、是________． (3)已知函數(shù)f(x)＝x，若f(a)＝2，則f(－a)＝________. (1)B　(2)(－∞，－1]　(3)2　[(1)A中，因為函數(shù)y＝1.7x在R上是增函數(shù)，2.5＜3，所以1.72.5＜1.73. B中，因為y＝0.6x在R上是減函數(shù)，－1＜2， 所以0.6－1＞0.62. C中，因為0.8－1＝1.25， 所以問題轉(zhuǎn)化為比較1.250.1與1.250.2的大?。? 因為y＝1.25x在R上是增函數(shù)，0.1＜0.2， 所以1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2. D中，因為1.70.3＞1,0＜0.93.1＜1，所以

11、1.70.3＞0.93.1. (2)令g(x)＝ax2＋2x＋3，由于f(x)的值域為，所以g(x)的值域為[2，＋∞)． 因此解得a＝1. ∴g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝x2＋2x＋3， 由于g(x)在(－∞，－1]上是減函數(shù)，故f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，－1]． (3)令g(x)＝＋，則g(－x)＝＋ ＝＋＝＋＝－1＋ ＝－＋＝－g(x)，即g(x)為奇函數(shù)， ∴f(x)＝xg(x)為偶函數(shù)， 又f(a)＝2，∴f(－a)＝f(a)＝2.] [規(guī)律方法]　(1)比較指數(shù)式的大小的方法是：①能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大??；②不能化成同底數(shù)的，

12、一般引入“1”等中間量比較大小. (2)求解與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關性質(zhì)，其次要明確復合函數(shù)的構成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷. 易錯警示：在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時，當?shù)讛?shù)a與“1”的大小關系不確定時，要分類討論. (1)如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a＞0，且a≠1)在區(qū)間[－1,1]上的最大值是14，那么a的值為(　　) A. B．1 C．3 D.或3 (2)當x∈(－∞，－1]時，不等式(m2－m)4x－2x＜0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________． (1)

13、D　(2)(－1,2)　[(1)令ax＝t，則y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 當a＞1時，因為x∈[－1,1]，所以t∈，又函數(shù)y＝(t＋1)2－2在上遞增， 所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3. 當0＜a＜1時，因為x∈[－1,1]，所以t∈， 又函數(shù)y＝(t＋1)2－2在上遞增， 則ymax＝2－2＝14，解得a＝. 綜上知a＝3或a＝. (2)∵(m2－m)4x－2x＜0在(－∞，－1]上恒成立， ∴m2－m＜x在(－∞，－1]上恒成立． 由于f(x)＝x在(－∞，－1]上是減函數(shù)，且f(x)min＝－1＝2. 故由m2－m＜2得－1＜m＜2.] - 7 -