2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第5節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學(xué)案 理（含解析）北師大版

第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)考綱傳真1.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算.2.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景.3.理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過(guò)的特殊點(diǎn)，會(huì)畫(huà)底數(shù)為2,3,10，的指數(shù)函數(shù)的圖像.4.體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型1有理指數(shù)冪(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a(a0，m，nN*，且n1)；負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)ar·asars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)2指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)圖像a10a1定義域R值域(0，)性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(0,1)當(dāng)x0時(shí)，y1；當(dāng)x0時(shí)，0y1當(dāng)x0時(shí)，0y1；當(dāng)x0時(shí)，y1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)常用結(jié)論1指數(shù)函數(shù)圖像的畫(huà)法畫(huà)指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)的圖像，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0,1)，.2指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的圖像，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為cd1ab0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的圖像越高，底數(shù)越大3指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的圖像和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a1與0a1來(lái)研究基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)()na.()(2)(1)(1).()(3)函數(shù)yax21(a1)的值域是(0，)()(4)若aman(a0且a1)，則mn.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2函數(shù)yax12(a0，且a1)的圖像恒過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)為()A(2,2)B(2,4)C(1,2) D(1,3)D令x10得x1，此時(shí)y123，故選D.3設(shè)a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是()Aabc BacbCbac DbcaCy0.6x在R上是減函數(shù)，又0.61.5，0.60.60.61.5，又yx0.6為R上的增函數(shù)，1.50.60.60.6，1.50.60.60.60.61.5.即cab.4(教材改編)函數(shù)f(x)21x的大致圖像為() AB CDAf(x)21xx1，又f(0)2，f(1)1，故排除B，C，D，故選A.5(教材改編)計(jì)算：4a原式×ab4a1b04a.指數(shù)冪的運(yùn)算1化簡(jiǎn)(x0，y0)的正確結(jié)果是()A2x2yB2xyC4x2y D2x2yDx0，y0，2x2y，選D.2計(jì)算022×(0.01)_.原式1×1×.3.ab2(3ab1)÷(4ab3)·_.原式÷2ab·abab·ab.規(guī)律方法指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算.(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù).(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答.指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用【例1】(1)函數(shù)f(x)axb的圖像如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D0a1，b0(2)若曲線y|2x1|與直線yb有兩個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍為_(kāi)(1)D(2)(0,1)由f(x)axb的圖像可以觀察出，函數(shù)f(x)axb在定義域上遞減，所以0a1，函數(shù)f(x)axb的圖像是在yax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b0.(2)曲線y|2x1|與直線yb的圖像如圖所示，由圖像可得，如果曲線y|2x1|與直線yb有兩個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是(0,1)規(guī)律方法(1)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖像的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖像，通過(guò)平移、對(duì)稱、翻折變換得到其圖像.(2)一些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解. (1)函數(shù)f(x)1e|x|的圖像大致是() AB C D(2)已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式2 018a2 019b，下列五個(gè)關(guān)系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的關(guān)系式有()A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)(1)A(2)B(1)易知f(x)是偶函數(shù)，且f(0)0，從而排除選項(xiàng)B，C，D，故選A.(2)作出y2 018x及y2 019x的圖像如圖所示，由圖可知ab0，ab0或ab0時(shí)，有2 018a2 019b，故不可能成立，故選B.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【例2】(1)下列各式比較大小正確的是()A1.72.51.73 B0.610.62C0.80.11.250.2 D1.70.30.93.1(2)(2019·承德模擬)若函數(shù)f(x)ax22x3的值域是，則f(x)的遞增區(qū)間是_(3)已知函數(shù)f(x)x，若f(a)2，則f(a)_.(1)B(2)(，1(3)2(1)A中，因?yàn)楹瘮?shù)y1.7x在R上是增函數(shù)，2.53，所以1.72.51.73.B中，因?yàn)閥0.6x在R上是減函數(shù)，12，所以0.610.62.C中，因?yàn)?.811.25，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較1.250.1與1.250.2的大小因?yàn)閥1.25x在R上是增函數(shù)，0.10.2，所以1.250.11.250.2，即0.80.11.250.2.D中，因?yàn)?.70.31,00.93.11，所以1.70.30.93.1.(2)令g(x)ax22x3，由于f(x)的值域?yàn)椋詆(x)的值域?yàn)?，)因此解得a1.g(x)x22x3，f(x)x22x3，由于g(x)在(，1上是減函數(shù)，故f(x)的遞增區(qū)間為(，1(3)令g(x)，則g(x)1g(x)，即g(x)為奇函數(shù)，f(x)xg(x)為偶函數(shù)，又f(a)2，f(a)f(a)2.規(guī)律方法(1)比較指數(shù)式的大小的方法是：能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大?。徊荒芑赏讛?shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.易錯(cuò)警示：在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，當(dāng)?shù)讛?shù)a與“1”的大小關(guān)系不確定時(shí)，要分類討論. (1)如果函數(shù)ya2x2ax1(a0，且a1)在區(qū)間1,1上的最大值是14，那么a的值為()A. B1C3 D.或3(2)當(dāng)x(，1時(shí)，不等式(m2m)4x2x0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_(1)D(2)(1,2)(1)令axt，則yt22t1(t1)22.當(dāng)a1時(shí)，因?yàn)閤1,1，所以t，又函數(shù)y(t1)22在上遞增，所以ymax(a1)2214，解得a3.當(dāng)0a1時(shí)，因?yàn)閤1,1，所以t，又函數(shù)y(t1)22在上遞增，則ymax2214，解得a.綜上知a3或a.(2)(m2m)4x2x0在(，1上恒成立，m2mx在(，1上恒成立由于f(x)x在(，1上是減函數(shù)，且f(x)min12.故由m2m2得1m2.- 7 -