2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和教學(xué)案 文（含解析）北師大版

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1、第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項和 [考綱傳真]　1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系． 1．等比數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))． (2)等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．即G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝a

2、b. 2．等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式 (1)通項公式：an＝a1qn－1. (2)前n項和公式： Sn＝ 3．等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝a. (3)若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比數(shù)列． (4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk. (5)當(dāng)q≠－1時，數(shù)列Sm，S2m

3、－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列． 1．“G2＝ab”是“a，G，b成等比數(shù)列”的必要不充分條件． 2．若q≠0，q≠1，則Sn＝k－kqn(k≠0)是數(shù)列{an}成等比數(shù)列的充要條件，此時k＝. [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列． (　　) (2)G為a，b的等比中項?G2＝ab． (　　) (3)若{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列． (　　) (4)數(shù)列{an}的通項公式是an＝an，則其前n項和為Sn

4、＝． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)等比數(shù)列{an}中，a3＝12，a4＝18，則a6等于(　　) A．27　　 B．36　　　　C．　　　　D．54 C　[公比q＝＝＝，則a6＝a4q2＝18×＝.] 3．(教材改編)在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為__________． 27,81　[設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3. ∴插入的兩個數(shù)分別為9×3＝27,27×3＝81.] 4．在單調(diào)遞減的等比數(shù)列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，則a1＝_____

5、___. 4　[由題意知 消去a1得＋q＝， 解得q＝或q＝2. 又0＜q＜1，故q＝，此時a1＝4.] 5．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和．若Sn＝126，則n＝__________. 6　[∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． 又∵Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.] 等比數(shù)列基本量的運算 1．(2019·太原模擬)已知公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，S3＝3a3，則S5＝(　　) A．1　　 B．5　　　　C．　　　　D． D　[由S

6、3＝3a3得a1＋a2＝2a3， ∴1＋q＝2q2，解得q＝－或q＝1(舍)． ∴S5＝＝×＝，故選D．] 2．(2017·江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn.已知S3＝，S6＝，則a8＝________. 32　[設(shè){an}的首項為a1，公比為q，則 解得所以a8＝×27＝25＝32.] 3．(2018·全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通項公式； (2)記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63，求m. [解]　(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q

7、＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解． 若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 綜上，m＝6. [規(guī)律方法]　解決等比數(shù)列有關(guān)問題的兩種常用思想 方程的思想 等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解. 分類討論的思想 等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，{an}的前n項和Sn＝(1－

8、qn)(q＜1)或Sn＝(qn－1)(q＞1). 等比數(shù)列的判定與證明 【例1】　(2018·全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由； (3)求{an}的通項公式． [解]　(1)由條件可得an＋1＝an. 將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4. 將n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12. 從而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列． 由條件可得＝，即bn＋1＝2bn，又

9、b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1. [規(guī)律方法]　等比數(shù)列的判定方法 (1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列． (2)等比中項法：若數(shù)列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列． (3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列． (4)前n項和公式法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝kqn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列． 說明：前兩種方法是證明等比

10、數(shù)列的常用方法，后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定． (2016·全國卷Ⅲ)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式； (2)若S5＝，求λ. [解]　(1)證明：由題意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，故a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝. 因此{(lán)an}是首項為，公比為的等比數(shù)列， 于是an＝. (2)由(1)得Sn＝1－. 由S5＝得1－＝，即＝. 解得λ＝－1.

11、 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 ?考法1　等比數(shù)列項的性質(zhì) 【例2】　(1)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________. (2)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＞0，q＞1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，則S5＝________. (1)50　(2)31　[(1)因為a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5. 所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20 ＝ln(a1a2…a20) ＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]

12、 ＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11) ＝10ln e5＝50ln e＝50. (2)由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3a5＝a2a6＝64，于是由且an＞0，q＞1，得a3＝4，a5＝16，所以解得所以S5＝＝31.] ?考法2　等比數(shù)列前n項和的性質(zhì) 【例3】　(1)等比數(shù)列{an}中，前n項和為48，前2n項和為60，則其前3n項和為________． (2)數(shù)列{an}是一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項之和是偶數(shù)項之和的4倍，前三項之積為64，則此數(shù)列的通項公式an＝________. (1)63　(2)12×　[(1)法一：設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn. 因為S

13、2n≠2Sn，所以q≠1，由前n項和公式得 ②÷①，得1＋qn＝，所以qn＝.③ 將③代入①，得＝64. 所以S3n＝＝64×＝63. 法二：設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn， 因為{an}為等比數(shù)列， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數(shù)列， 所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 即S3n＝＋S2n＝＋60＝63. 法三：設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn， 因為S2n＝Sn＋qnSn，所以qn＝＝， 所以S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋×48＝63. (2)設(shè)此數(shù)列{an}的公比為q， 由題意，知S奇＋S偶＝4S偶，所以S奇＝3S偶，所以q

14、＝＝. 又a1a2a3＝64，即a1(a1q)(a1q2)＝aq3＝64， 所以a1q＝4.又q＝，所以a1＝12， 所以an＝a1qn－1＝12×.] [規(guī)律方法]　應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)解題時的兩個關(guān)鍵點 (1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度． (2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形．此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運用． (1)已知等比數(shù)列{an}的公比q＞0，且a5·a7＝4a，a2＝1，則a1＝(　　) A． B． C．

15、 D．2 (2)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，則S12等于(　　) A．40 B．60 C．32 D．50 (1)B　(2)B　[(1)a5·a7＝a＝4a， ∴a6＝2a4，則＝q2＝2. ∴q＝，從而a1＝＝，故選B． (2)S12＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)＋(a10＋a11＋a12)＝4＋8＋16＋32＝60.] 等差、等比數(shù)列的綜合問題 【例4】　(1)已知等比數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，且a3，a5，a4成等差數(shù)列，則的值是(　　) A．

16、B． C． D． A　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a3，a5，a4成等差數(shù)列可得a5＝a3＋a4，即a3q2＝a3＋a3q，故q2－q－1＝0，解得q＝或q＝(舍去)，由＝＝＝＝＝＝，故選A．] (2)(2018·北京高考)設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2. ①求{an}的通項公式； ②求ea1＋ea2＋…＋ean. [解]?、僭O(shè){an}的公差為d. 因為a2＋a3＝5ln 2， 所以2a1＋3d＝5ln 2. 又a1＝ln 2，所以d＝ln 2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2. ②因為ea1＝eln 2＝2，＝ean－an

17、－1＝eln 2＝2， 所以數(shù)列{ean}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． 所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×＝2(2n－1)． [規(guī)律方法]　等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題，涉及的知識面很寬，題目的變化也很多，但是萬變不離其宗，只要抓住基本量a1，d(q)充分運用方程、函數(shù)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，合理調(diào)用相關(guān)知識，就不難解決這類問題． 在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a2，a4，a8成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn. [解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則依題意 有 解得d＝1或d＝

18、0(舍去)， ∴an＝1＋(n－1)＝n. (2)由(1)得an＝n， ∴bn＝2n，∴＝2， ∴{bn}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列， ∴Tn＝＝2n＋1－2. 1．(2015·全國卷Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，則a2＝(　　) A．2　　 B．1　　　　C．　　　　D． C　[法一：∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)， ∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8， ∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故選C． 法二：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)， 將a

19、1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0， 解得q＝2， ∴a2＝a1q＝，故選C．] 2．(2014·全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項和Sn＝(　　) A．n(n＋1) B．n(n－1) C． D． A　[由a2，a4，a8成等比數(shù)列，得a＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.∴Sn＝2n＋×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．] 3．(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，則a4＝________. －8　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， ∵a

20、1＋a2＝－1，a1－a3＝－3， ∴a1(1＋q)＝－1，① a1(1－q2)＝－3.② ②÷①，得1－q＝3，∴q＝－2. ∴a1＝1， ∴a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.] 4．(2017·全國卷Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2. (1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通項公式； (2)若T3＝21，求S3. [解]　設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q， 則an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1. 由a2＋b2＝2得d＋q＝3. ① (1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6. ② 聯(lián)立①和②解得(舍去)， 因此{(lán)bn}的通項公式為bn＝2n－1. (2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0. 解得q＝－5或q＝4. 當(dāng)q＝－5時，由①得d＝8，則S3＝21. 當(dāng)q＝4時，由①得d＝－1，則S3＝－6. - 11 -