2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和考綱傳真1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系1等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為q(nN*，q為非零常數(shù))(2)等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)即G是a與b的等比中項(xiàng)a，G，b成等比數(shù)列G2ab.2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)通項(xiàng)公式：ana1qn1.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn3等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam·qnm(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，則am·anap·aqa.(3)若數(shù)列an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an，a，an·bn，(0)仍然是等比數(shù)列(4)在等比數(shù)列an中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，ank，an2k，an3k，為等比數(shù)列，公比為qk.(5)當(dāng)q1時(shí)，數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，成等比數(shù)列1“G2ab”是“a，G，b成等比數(shù)列”的必要不充分條件2若q0，q1，則Snkkqn(k0)是數(shù)列an成等比數(shù)列的充要條件，此時(shí)k.基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)滿足an1qan(nN*，q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列()(2)G為a，b的等比中項(xiàng)G2ab()(3)若an為等比數(shù)列，bna2n1a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列()(4)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是anan，則其前n項(xiàng)和為Sn()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2(教材改編)等比數(shù)列an中，a312，a418，則a6等于()A27 B36CD54C公比q，則a6a4q218×.3(教材改編)在9與243中間插入兩個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)為_(kāi)27,81設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，2439×q3，q327，q3.插入的兩個(gè)數(shù)分別為9×327,27×381.4在單調(diào)遞減的等比數(shù)列an中，若a31，a2a4，則a1_.4由題意知消去a1得q，解得q或q2.又0q1，故q，此時(shí)a14.5在數(shù)列an中，a12，an12an，Sn為an的前n項(xiàng)和若Sn126，則n_.6a12，an12an，數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列又Sn126，126，解得n6.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算1(2019·太原模擬)已知公比q1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a11，S33a3，則S5()A1 B5CDD由S33a3得a1a22a3，1q2q2，解得q或q1(舍)S5×，故選D2(2017·江蘇高考)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3，S6，則a8_.32設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則解得所以a8×272532.3(2018·全國(guó)卷)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)記Sn為an的前n項(xiàng)和若Sm63，求m.解(1)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，則Sn.由Sm63得(2)m188，此方程沒(méi)有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.規(guī)律方法解決等比數(shù)列有關(guān)問(wèn)題的兩種常用思想方程的思想等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問(wèn)題可迎刃而解.分類討論的思想等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論，當(dāng)q1時(shí)，an的前n項(xiàng)和Snna1；當(dāng)q1時(shí)，an的前n項(xiàng)和Sn(1qn)(q1)或Sn(qn1)(q1).等比數(shù)列的判定與證明【例1】(2018·全國(guó)卷)已知數(shù)列an滿足a11，nan12(n1)an.設(shè)bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；(3)求an的通項(xiàng)公式解(1)由條件可得an1an.將n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24.將n2代入得，a33a2，所以，a312.從而b11，b22，b34.(2)bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列由條件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列(3)由(2)可得2n1，所以ann·2n1.規(guī)律方法等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：若q(q為非零常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列(2)等比中項(xiàng)法：若數(shù)列an中，an0，且aan·an2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫(xiě)成anc·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snkqnk(k為常數(shù)且k0，q0,1)，則an是等比數(shù)列說(shuō)明：前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定 (2016·全國(guó)卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若S5，求.解(1)證明：由題意得a1S11a1，故1，a1，故a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是an.(2)由(1)得Sn1.由S5得1，即.解得1.等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用考法1等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)【例2】(1)若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_.(2)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an0，q1，a3a520，a2a664，則S5_.(1)50(2)31(1)因?yàn)閍10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)·(a2a19)··(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3a5a2a664，于是由且an0，q1，得a34，a516，所以解得所以S531.考法2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)【例3】(1)等比數(shù)列an中，前n項(xiàng)和為48，前2n項(xiàng)和為60，則其前3n項(xiàng)和為_(kāi)(2)數(shù)列an是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和是偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，前三項(xiàng)之積為64，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an_.(1)63(2)12×(1)法一：設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.因?yàn)镾2n2Sn，所以q1，由前n項(xiàng)和公式得÷，得1qn，所以qn.將代入，得64.所以S3n64×63.法二：設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，因?yàn)閍n為等比數(shù)列，所以Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比數(shù)列，所以(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，即S3nS2n6063.法三：設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，因?yàn)镾2nSnqnSn，所以qn，所以S3nS2nq2nSn60×4863.(2)設(shè)此數(shù)列an的公比為q，由題意，知S奇S偶4S偶，所以S奇3S偶，所以q.又a1a2a364，即a1(a1q)(a1q2)aq364，所以a1q4.又q，所以a112，所以ana1qn112×.規(guī)律方法應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)解題時(shí)的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若mnpq，則am·anap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用 (1)已知等比數(shù)列an的公比q0，且a5·a74a，a21，則a1()A B C D2(2)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1a2a34，a4a5a68，則S12等于()A40 B60 C32 D50(1)B(2)B(1)a5·a7a4a，a62a4，則q22.q，從而a1，故選B(2)S12(a1a2a3)(a4a5a6)(a7a8a9)(a10a11a12)48163260.等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題【例4】(1)已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，且a3，a5，a4成等差數(shù)列，則的值是()ABCDA設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a3，a5，a4成等差數(shù)列可得a5a3a4，即a3q2a3a3q，故q2q10，解得q或q(舍去)，由，故選A(2)(2018·北京高考)設(shè)an是等差數(shù)列，且a1ln 2，a2a35ln 2.求an的通項(xiàng)公式；求ea1ea2ean.解設(shè)an的公差為d.因?yàn)閍2a35ln 2，所以2a13d5ln 2.又a1ln 2，所以dln 2.所以ana1(n1)dnln 2.因?yàn)閑a1eln 22，eanan1eln 22，所以數(shù)列ean是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列所以ea1ea2ean2×2(2n1)規(guī)律方法等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，涉及的知識(shí)面很寬，題目的變化也很多，但是萬(wàn)變不離其宗，只要抓住基本量a1，d(q)充分運(yùn)用方程、函數(shù)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，合理調(diào)用相關(guān)知識(shí)，就不難解決這類問(wèn)題 在公差不為零的等差數(shù)列an中，a11，a2，a4，a8成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn2an，Tnb1b2bn，求Tn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則依題意有解得d1或d0(舍去)，an1(n1)n.(2)由(1)得ann，bn2n，2，bn是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，Tn2n12.1(2015·全國(guó)卷)已知等比數(shù)列an滿足a1，a3a54(a41)，則a2()A2 B1CDC法一：a3a5a，a3a54(a41)，a4(a41)，a4a440，a42.又q38，q2，a2a1q×2，故選C法二：a3a54(a41)，a1q2·a1q44(a1q31)，將a1代入上式并整理，得q616q3640，解得q2，a2a1q，故選C2(2014·全國(guó)卷)等差數(shù)列an的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則an的前n項(xiàng)和Sn()An(n1)Bn(n1)CDA由a2，a4，a8成等比數(shù)列，得aa2a8，即(a16)2(a12)(a114)，a12.Sn2n×22nn2nn(n1)3(2017·全國(guó)卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a21，a1a33，則a4_.8設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，a1a21，a1a33，a1(1q)1，a1(1q2)3.÷，得1q3，q2.a11，a4a1q31×(2)38.4(2017·全國(guó)卷)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通項(xiàng)公式；(2)若T321，求S3.解設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則an1(n1)d，bnqn1.由a2b22得dq3.(1)由a3b35得2dq26.聯(lián)立和解得(舍去)，因此bn的通項(xiàng)公式為bn2n1.(2)由b11，T321得q2q200.解得q5或q4.當(dāng)q5時(shí)，由得d8，則S321.當(dāng)q4時(shí)，由得d1，則S36.- 11 -