《2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 不等式選講學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 不等式選講學(xué)案 理（22頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、不等式選講第一節(jié)絕對(duì)值不等式1絕對(duì)值三角不等式定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號(hào)成立2絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值不等式|x|a的解法：不等式a0a0a0|x|a(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.1設(shè)a，b為滿足ab|ab|B|ab|ab|C|ab|a|b| D|ab|a|b|解析：選Bab|ab|.2若不等式|kx4|2的解集為，則實(shí)數(shù)k_.解析：由|kx4|22kx6.不等式
2、的解集為，k2.答案：23函數(shù)y|x4|x4|的最小值為_解析：因?yàn)閨x4|x4|(x4)(x4)|8，所以所求函數(shù)的最小值為8.答案：84不等式|x1|x2|1的解集是_解析：令f(x)|x1|x2|當(dāng)1x2時(shí)，由2x11，解得1x1恒成立所以不等式的解集為.答案：考什么怎么考絕對(duì)值不等式的解法是每年高考的重點(diǎn)，既單獨(dú)考查，也與函數(shù)的圖象、含參問題等的綜合考查，難度較小，屬于低檔題.1(2016全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)|x1|2x3|.(1)畫出yf(x)的圖象；(2)求不等式|f(x)|1的解集解：(1)由題意得f(x)故yf(x)的圖象如圖所示(2)由f(x)的函數(shù)表達(dá)式及圖象可知，當(dāng)f
3、(x)1時(shí)，可得x1或x3；當(dāng)f(x)1時(shí)，可得x或x5.故f(x)1的解集為x|1x3，f(x)1的解集為.2解下列不等式(1)|2x1|2|x1|0；(2)|x3|2x1|2|x1|，兩邊平方得4x24x14(x22x1)，解得x，所以原不等式的解集為.法二：原不等式等價(jià)于或或解得x，所以原不等式的解集為.(2)當(dāng)x3時(shí)，原不等式化為(x3)(12x)1，解得x10，x3.當(dāng)3x時(shí)，原不等式化為(x3)(12x)1，解得x，3x時(shí)，原不等式化為(x3)(12x)2，x2.綜上可知，原不等式的解集為.怎樣快解準(zhǔn)解絕對(duì)值不等式的常見3解法(1)零點(diǎn)分段討論法含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式
4、，可用零點(diǎn)分段討論法脫去絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)，一般步驟如下：令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根；將這些根按從小到大排序，它們把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間；在所分的各區(qū)間上，根據(jù)絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，求所得的各不等式在相應(yīng)區(qū)間上的解集；這些解集的并集就是原不等式的解集(2)利用絕對(duì)值的幾何意義由于|xa|xb|與|xa|xb|分別表示數(shù)軸上與x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到與a，b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和與距離之差，因此對(duì)形如|xa|xb|0)或|xa|xb|c(c0)的不等式，利用絕對(duì)值的幾何意義求解更直觀(3)數(shù)形結(jié)合法在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的
5、圖象，利用函數(shù)圖象求解易錯(cuò)提醒用零點(diǎn)分段法和幾何意義求解絕對(duì)值不等式時(shí)，去絕對(duì)值符號(hào)的關(guān)鍵點(diǎn)是找零點(diǎn)，將數(shù)軸分成若干段，然后從左到右逐段討論典題領(lǐng)悟1若對(duì)于實(shí)數(shù)x，y有|1x|2，|y1|1，求|2x3y1|的最大值解：因?yàn)閨2x3y1|2(x1)3(y1)|2|x1|3|y1|7，所以|2x3y1|的最大值為7.2若a2，xR，求證：|x1a|xa|3.證明：因?yàn)閨x1a|xa|(x1a)(xa)|2a1|，又a2，故|2a1|3，所以|x1a|xa|3成立解題師說證明絕對(duì)值不等式的3種主要方法(1)利用絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一般不等式再證明(2)利用三角不等式|a|b|ab|a
6、|b|進(jìn)行證明(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明沖關(guān)演練已知x，yR，且|xy|，|xy|，求證：|x5y|1.證明：|x5y|3(xy)2(xy)|.由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321.即|x5y|1成立絕對(duì)值不等式的綜合應(yīng)用是每年高考的熱點(diǎn)，主要涉及絕對(duì)值不等式的解法、恒成立問題，難度適中，屬于中檔題.典題領(lǐng)悟(2017全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范圍解：(1)f(x)當(dāng)x1時(shí)，f(x)1無解；當(dāng)1x2時(shí)，由f(x)
7、1，得2x11，解得1x2；當(dāng)x2時(shí)，由f(x)1，解得x2.所以f(x)1的解集為x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，|x1|x2|x2x.故m的取值范圍為.解題師說設(shè)函數(shù)f(x)中含有絕對(duì)值，則(1)f(x)a有解f(x)maxa.(2)f(x)a恒成立f(x)mina.(3)f(x)a恰在(c，b)上成立c，b是方程f(x)a的解沖關(guān)演練1(2017全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,
8、1，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，不等式f(x)g(x)等價(jià)于x2x|x1|x1|40.當(dāng)x1時(shí)，式化為x23x40，無解；當(dāng)1x1時(shí)，式化為x2x20，從而1x1；當(dāng)x1時(shí)，式化為x2x40，從而1x.所以f(x)g(x)的解集為.(2)當(dāng)x1,1時(shí)，g(x)2.所以f(x)g(x)的解集包含1,1，等價(jià)于當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必為f(1)與f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范圍為1,12已知函數(shù)f(x)|2xa|a.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)|2x1|.當(dāng)xR時(shí)，f(x)g(x)3，求a的取
9、值范圍解：(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26，得1x3.因此f(x)6的解集為x|1x3(2)當(dāng)xR時(shí)，f(x)g(x)|2xa|a|12x|3，即.又min，所以，解得a2.所以a的取值范圍是2，)1已知函數(shù)f(x)|x4|xa|(aR)的最小值為a.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)解不等式f(x)5.解：(1)f(x)|x4|xa|a4|a，從而解得a2.(2)由(1)知，f(x)|x4|x2|故當(dāng)x2時(shí)，由2x65，得x2，當(dāng)24時(shí)，由2x65，得4x，故不等式f(x)5的解集為.2(2018石家莊質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)|x3|xm|(xR)(1)當(dāng)m1時(shí)，求不等式f
10、(x)6的解集；(2)若不等式f(x)5的解集不是空集，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)當(dāng)m1時(shí)，f(x)6等價(jià)于或或解得x2或x4，所以不等式f(x)6的解集為x|x2或x4(2)|x3|xm|(x3)(xm)|m3|，f(x)min|3m|，|m3|5，解得8m2，實(shí)數(shù)m的取值范圍為8,23(2018鄭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)|2x1|，g(x)|x|a.(1)當(dāng)a0時(shí)，解不等式f(x)g(x)；(2)若存在xR，使f(x)g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a0時(shí)，由f(x)g(x)，得|2x1|x|，兩邊平方整理得3x24x10，解得x1或x，故原不等式的解集為(，1.(2)由f(
11、x)g(x)，得a|2x1|x|，令h(x)|2x1|x|，則h(x)故h(x)minh，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.4已知函數(shù)f(x)|4xa|a24a(aR)(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式2f(x)4的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)|x1|，若對(duì)任意的xR，f(x)4g(x)6恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)|4xa|a24a，當(dāng)a1時(shí)，f(x)|4x1|3.因?yàn)?f(x)4，所以1|4x1|7，即解得x0或x2，因此2f(x)4的解集為.(2)因?yàn)閒(x)4g(x)|4xa|a24a4|x1|4xa44x|a24aa24a|4a|，所以a24a|4a|6，當(dāng)a4時(shí)，a24aa46，得4a5
12、，當(dāng)a4時(shí)，a24a4a6，得a0，b0，函數(shù)f(x)|xa|2xb|的最小值為1.(1)證明：2ab2；(2)若a2btab恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值解：(1)證明：因?yàn)閍0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)1化為|x1|2|x1|10.當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x40，無解；當(dāng)1x0，解得x0，解得1x1的解集為.(2)由題設(shè)可得f(x)所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B(2a1,0)，C(a，a1)，所以ABC的面積為(a1)2.由題設(shè)得(a1)26，故a2.所以a
13、的取值范圍為(2，)8已知函數(shù)f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)0)，若|xa|f(x)(a0)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)不等式f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4.當(dāng)x時(shí)，不等式化為3x2x14，解得x；當(dāng)x1時(shí)，不等式化為3x2x14，解得x1時(shí)，不等式化為3x2x14，無解綜上所述，原不等式的解集為.(2)(mn)114，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)等號(hào)成立令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|x時(shí)，g(x)maxa，要使不等式恒成立，只需g(x)maxa4，解得00，b0時(shí)，aabb(ab).證明：，當(dāng)ab時(shí)，1，當(dāng)ab0時(shí)，1，0，1，當(dāng)ba0時(shí)，01，1，aabb(ab
14、).典題領(lǐng)悟(2017全國(guó)卷)已知a0，b0，a3b32.證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.證明：(1)(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，(ab)38，因此ab2.解題師說1綜合法證明不等式的方法(1)綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵；(2)在用綜合法證明不等式時(shí)，不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件2綜
15、合法證明時(shí)常用的不等式(1)a20.(2)|a|0.(3)a2b22ab，它的變形形式有a2b22|ab|；a2b22ab；(ab)24ab；a2b2(ab)2；2.(4)，它的變形形式有a2(a0)；2(ab0)；2(ab0)(5)(a2b2)(c2d2)(acbd)2.沖關(guān)演練1已知a0，b0，ab1，求證：(1)8；(2)9.證明：(1)ab1，a0，b0，22244 48，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，8.(2)1，由(1)知8.9.2已知函數(shù)f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿足abcm，求證：3.解：(1)當(dāng)x1時(shí)，f(x)2(x1)
16、(x2)3x(3，)；當(dāng)1x2時(shí)，f(x)2(x1)(x2)x43,6)；當(dāng)x2時(shí)，f(x)2(x1)(x2)3x6，)綜上，f(x)的最小值m3.(2)證明：因?yàn)閍，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿足abc3，所以(abc)22(abc)，當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)，取“”，所以abc，即3.典題領(lǐng)悟已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M；(2)設(shè)a，bM，證明：f(ab)f(a)f(b)解：(1)由題意，|x1|0，b0,2cab，求證：cac.證明：要證cac，即證ac，即證|ac|，即證(ac)2c2ab，即證a22ac0，所以只要證a2cb，即證ab0，b0，且.(1)求
17、a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并說明理由解：(1)由，得ab2，且當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立故a3b324，且當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立所以a3b3的最小值為4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，從而不存在a，b，使得2a3b6.3設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd，求證：(1)若abcd，則；(2)是|ab|cd，得()2()2.因此.(2)必要性：若|ab|cd|，則(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)，得.充分性：若，則()2()2，即ab2cd2.因?yàn)閍bcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab
18、|cd|的充要條件4已知定義在R上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足pqra，求證：p2q2r23.解：(1)因?yàn)閨x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)1x2時(shí)，等號(hào)成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)證明：由(1)知pqr3，又因?yàn)閜，q，r是正實(shí)數(shù)，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23.5已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)解不等式f(2x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|1，a0，求證：f.解：(1)f(2x)f(x4)|2x1|x3|當(dāng)x3時(shí)，由3x28，解得
19、x；當(dāng)3x時(shí)，x48無解；當(dāng)x時(shí)，由3x28，解得x2.所以不等式f(2x)f(x4)8的解集為.(2)證明：f等價(jià)于f(ab)|a|f，即|ab1|ab|.因?yàn)閨a|1，|b|1，所以|ab1|2|ab|2(a2b22ab1)(a22abb2)(a21)(b21)0，所以|ab1|ab|.故所證不等式成立6(2018武昌調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)|x2|2x3，記f(x)1的解集為M.(1)求M；(2)當(dāng)xM時(shí)，證明：xf(x)2x2f(x)0.解：(1)由已知，得f(x)當(dāng)x2時(shí)，由f(x)x11，解得x0，此時(shí)x0；當(dāng)x2時(shí)，由f(x)3x51，解得x，顯然不成立故f(x)1的解集為Mx|x0
20、(2)證明：當(dāng)xM時(shí)，f(x)x1，于是xf(x)2x2f(x)x(x1)2x2(x1)x2x2.令g(x)2，則函數(shù)g(x)在(，0上是增函數(shù)，g(x)g(0)0.故xf(x)2x2f(x)0.7已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且ab2，求證：1.證明：a0，b0，ab2，1.ab22，ab1.0.1.8設(shè)函數(shù)f(x)x|x2|x3|m，若xR，4f(x)恒成立(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求證：log(m1)(m2)log(m2)(m3)解：(1)xR，4f(x)恒成立，mx|x2|x3|4恒成立令g(x)x|x2|x3|4函數(shù)g(x)在(，3上是增函數(shù)，在(3，)上是減函數(shù)，g(x)maxg(3)2，mg(x)max2，即m200，m0，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0，)(2)證明：由m0，知m3m2m11，即lg(m3)lg(m2)lg(m1)lg 10.要證log(m1)(m2)log(m2)(m3)只需證，即證lg(m1)lg(m3)lg2(m2)，又lg(m1)lg(m3) 2log(m2)(m3)成立22
2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 不等式選講學(xué)案 理
