2019屆高考數(shù)學一輪復習 選考部分 不等式選講學案 理

不等式選講第一節(jié)絕對值不等式1絕對值三角不等式定理1：如果a，b是實數(shù)，則|ab|a|b|，當且僅當ab0時，等號成立定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當且僅當(ab)(bc)0時，等號成立2絕對值不等式的解法(1)含絕對值不等式|x|<a與|x|>a的解法：不等式a>0a0a<0|x|<a|x|>a(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c>0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.1設a，b為滿足ab<0的實數(shù)，那么()A|ab|>|ab|B|ab|<|ab|C|ab|a|b| D|ab|<|a|b|解析：選Bab<0，|ab|a|b|>|ab|.2若不等式|kx4|2的解集為，則實數(shù)k_.解析：由|kx4|22kx6.不等式的解集為，k2.答案：23函數(shù)y|x4|x4|的最小值為_解析：因為|x4|x4|(x4)(x4)|8，所以所求函數(shù)的最小值為8.答案：84不等式|x1|x2|1的解集是_解析：令f(x)|x1|x2|當1<x<2時，由2x11，解得1x<2.又當x2時，f(x)3>1恒成立所以不等式的解集為.答案：考什么·怎么考絕對值不等式的解法是每年高考的重點，既單獨考查，也與函數(shù)的圖象、含參問題等的綜合考查，難度較小，屬于低檔題.1(2016·全國卷)已知函數(shù)f(x)|x1|2x3|.(1)畫出yf(x)的圖象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集解：(1)由題意得f(x)故yf(x)的圖象如圖所示(2)由f(x)的函數(shù)表達式及圖象可知，當f(x)1時，可得x1或x3；當f(x)1時，可得x或x5.故f(x)>1的解集為x|1<x<3，f(x)<1的解集為.所以|f(x)|>1的解集為.2解下列不等式(1)|2x1|2|x1|>0；(2)|x3|2x1|<1.解：(1)法一：原不等式可化為|2x1|>2|x1|，兩邊平方得4x24x1>4(x22x1)，解得x>，所以原不等式的解集為.法二：原不等式等價于或或解得x>，所以原不等式的解集為.(2)當x<3時，原不等式化為(x3)(12x)<1，解得x<10，x<3.當3x時，原不等式化為(x3)(12x)<1，解得x<，3x<.當x>時，原不等式化為(x3)(12x)<1，解得x>2，x>2.綜上可知，原不等式的解集為.怎樣快解·準解絕對值不等式的常見3解法(1)零點分段討論法含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分段討論法脫去絕對值符號，將其轉化為與之等價的不含絕對值符號的不等式(組)，一般步驟如下：令每個絕對值符號里的代數(shù)式為零，并求出相應的根；將這些根按從小到大排序，它們把實數(shù)集分為若干個區(qū)間；在所分的各區(qū)間上，根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號，求所得的各不等式在相應區(qū)間上的解集；這些解集的并集就是原不等式的解集(2)利用絕對值的幾何意義由于|xa|xb|與|xa|xb|分別表示數(shù)軸上與x對應的點到與a，b對應的點的距離之和與距離之差，因此對形如|xa|xb|<c(c>0)或|xa|xb|>c(c>0)的不等式，利用絕對值的幾何意義求解更直觀(3)數(shù)形結合法在直角坐標系中作出不等式兩邊所對應的兩個函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解易錯提醒用零點分段法和幾何意義求解絕對值不等式時，去絕對值符號的關鍵點是找零點，將數(shù)軸分成若干段，然后從左到右逐段討論典題領悟1若對于實數(shù)x，y有|1x|2，|y1|1，求|2x3y1|的最大值解：因為|2x3y1|2(x1)3(y1)|2|x1|3|y1|7，所以|2x3y1|的最大值為7.2若a2，xR，求證：|x1a|xa|3.證明：因為|x1a|xa|(x1a)(xa)|2a1|，又a2，故|2a1|3，所以|x1a|xa|3成立解題師說證明絕對值不等式的3種主要方法(1)利用絕對值的定義去掉絕對值符號，轉化為一般不等式再證明(2)利用三角不等式|a|b|a±b|a|b|進行證明(3)轉化為函數(shù)問題，利用數(shù)形結合進行證明沖關演練已知x，yR，且|xy|，|xy|，求證：|x5y|1.證明：|x5y|3(xy)2(xy)|.由絕對值不等式的性質，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|3×2×1.即|x5y|1成立絕對值不等式的綜合應用是每年高考的熱點，主要涉及絕對值不等式的解法、恒成立問題，難度適中，屬于中檔題.典題領悟(2017·全國卷)已知函數(shù)f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范圍解：(1)f(x)當x1時，f(x)1無解；當1x2時，由f(x)1，得2x11，解得1x2；當x2時，由f(x)1，解得x2.所以f(x)1的解集為x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，當且僅當x時，|x1|x2|x2x.故m的取值范圍為.解題師說設函數(shù)f(x)中含有絕對值，則(1)f(x)>a有解f(x)max>a.(2)f(x)>a恒成立f(x)min>a.(3)f(x)>a恰在(c，b)上成立c，b是方程f(x)a的解沖關演練1(2017·全國卷)已知函數(shù)f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)當a1時，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范圍解：(1)當a1時，不等式f(x)g(x)等價于x2x|x1|x1|40.當x1時，式化為x23x40，無解；當1x1時，式化為x2x20，從而1x1；當x1時，式化為x2x40，從而1x.所以f(x)g(x)的解集為.(2)當x1,1時，g(x)2.所以f(x)g(x)的解集包含1,1，等價于當x1,1時，f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必為f(1)與f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范圍為1,12已知函數(shù)f(x)|2xa|a.(1)當a2時，求不等式f(x)6的解集；(2)設函數(shù)g(x)|2x1|.當xR時，f(x)g(x)3，求a的取值范圍解：(1)當a2時，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26，得1x3.因此f(x)6的解集為x|1x3(2)當xR時，f(x)g(x)|2xa|a|12x|3，即.又min，所以，解得a2.所以a的取值范圍是2，)1已知函數(shù)f(x)|x4|xa|(aR)的最小值為a.(1)求實數(shù)a的值；(2)解不等式f(x)5.解：(1)f(x)|x4|xa|a4|a，從而解得a2.(2)由(1)知，f(x)|x4|x2|故當x2時，由2x65，得x2，當2<x4時，顯然不等式成立，當x>4時，由2x65，得4<x，故不等式f(x)5的解集為.2(2018·石家莊質檢)已知函數(shù)f(x)|x3|xm|(xR)(1)當m1時，求不等式f(x)6的解集；(2)若不等式f(x)5的解集不是空集，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)當m1時，f(x)6等價于或或解得x2或x4，所以不等式f(x)6的解集為x|x2或x4(2)|x3|xm|(x3)(xm)|m3|，f(x)min|3m|，|m3|5，解得8m2，實數(shù)m的取值范圍為8,23(2018·鄭州質檢)已知函數(shù)f(x)|2x1|，g(x)|x|a.(1)當a0時，解不等式f(x)g(x)；(2)若存在xR，使f(x)g(x)成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)當a0時，由f(x)g(x)，得|2x1|x|，兩邊平方整理得3x24x10，解得x1或x，故原不等式的解集為(，1.(2)由f(x)g(x)，得a|2x1|x|，令h(x)|2x1|x|，則h(x)故h(x)minh，所以實數(shù)a的取值范圍為.4已知函數(shù)f(x)|4xa|a24a(aR)(1)當a1時，求不等式2f(x)4的解集；(2)設函數(shù)g(x)|x1|，若對任意的xR，f(x)4g(x)6恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)|4xa|a24a，當a1時，f(x)|4x1|3.因為2f(x)4，所以1|4x1|7，即解得x0或x2，因此2f(x)4的解集為.(2)因為f(x)4g(x)|4xa|a24a4|x1|4xa44x|a24aa24a|4a|，所以a24a|4a|6，當a4時，a24aa46，得4a5，當a<4時，a24a4a6，得a<4，所以實數(shù)a的取值范圍是.5設函數(shù)f(x)|x2|x1|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若關于x的不等式f(x)4|12m|有解，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)函數(shù)f(x)可化為f(x)當x2時，f(x)30，不合題意；當2x1時，f(x)2x11，得x0，即0x1；當x1時，f(x)31，即x1.綜上，不等式f(x)1的解集為(0，)(2)關于x的不等式f(x)4|12m|有解等價于(f(x)4)max|12m|，由(1)可知f(x)max3(也可由|f(x)|x2|x1|(x2)(x1)|3，得f(x)max3)，即|12m|7，解得3m4.故實數(shù)m的取值范圍為3,46(2018·東北四市模擬)已知a>0，b>0，函數(shù)f(x)|xa|2xb|的最小值為1.(1)證明：2ab2；(2)若a2btab恒成立，求實數(shù)t的最大值解：(1)證明：因為a<，所以f(x)|xa|2xb|顯然f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，所以f(x)的最小值為fa，所以a1，即2ab2.(2)因為a2btab恒成立，所以t恒成立，(2ab).當且僅當ab時，取得最小值，所以t，即實數(shù)t的最大值為.7已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)當a1時，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解：(1)當a1時，f(x)>1化為|x1|2|x1|1>0.當x1時，不等式化為x4>0，無解；當1<x<1時，不等式化為3x2>0，解得<x<1；當x1時，不等式化為x2>0，解得1x<2.所以f(x)>1的解集為.(2)由題設可得f(x)所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A，B(2a1,0)，C(a，a1)，所以ABC的面積為(a1)2.由題設得(a1)2>6，故a>2.所以a的取值范圍為(2，)8已知函數(shù)f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)<4|x1|；(2)已知mn1(m，n>0)，若|xa|f(x)(a>0)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)不等式f(x)<4|x1|，即|3x2|x1|<4.當x<時，不等式化為3x2x1<4，解得<x<；當x1時，不等式化為3x2x1<4，解得x<；當x>1時，不等式化為3x2x1<4，無解綜上所述，原不等式的解集為.(2)(mn)114，當且僅當mn時等號成立令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|x時，g(x)maxa，要使不等式恒成立，只需g(x)maxa4，解得0<a，所以實數(shù)a的取值范圍是.第二節(jié)不等式的證明1基本不等式定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，當且僅當ab時，等號成立定理2：如果a，b0，那么，當且僅當ab時，等號成立，即兩個正數(shù)的算術平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均定理3：如果a，b，cR，那么，當且僅當abc時，等號成立2比較法(1)作差法的依據(jù)是：ab0ab.(2)作商法：若B0，欲證AB，只需證1.3綜合法與分析法(1)綜合法：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質等，經過一系列的推理、論證而得出命題成立(2)分析法：從要證的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義，公理或已證明的定理，性質等)，從而得出要證的命題成立1設ta2b，sab21，則s與t的大小關系是()AstBstCst Dst解析：選Astb22b1(b1)20，st.2已知a，bR，且ab2，則的最小值為()A1 B2C4 D8解析：選Ba，bR，且ab2，(ab)2224，2，即的最小值為2(當且僅當ab1時，等號成立)3已知a，b，c是正實數(shù)，且abc1，則的最小值為_解析：把abc1代入中得332229，當且僅當abc時，等號成立故的最小值為9.答案：9比較法證明不等式是高考考查的重點，主要涉及作差比較法和作商比較法，難度適中，有時難度也較大.典題領悟(2016·全國卷)已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)證明：當a，bM時，|ab|1ab|.解：(1)f(x)當x時，由f(x)2，得2x2，解得x1；當x時，f(x)2恒成立；當x時，由f(x)2，得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)證明：由(1)知，當a，bM時，1a1，1b1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|1ab|.解題師說1作差比較法(1)作差比較法證明不等式的4步驟(2)作差比較法的應用范圍當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數(shù)式時，一般使用作差比較法2作商比較法(1)作商比較法證明不等式的一般步驟(2)作商比較法的應用范圍當被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時，一般使用作商比較法沖關演練1求證：當xR時，12x42x3x2.證明：法一：(12x4)(2x3x2)2x3(x1)(x1)(x1)(x1)(2x3x1)(x1)(2x32xx1)(x1)2x(x21)(x1)(x1)2(2x22x1)(x1)20，所以12x42x3x2.法二：(12x4)(2x3x2)x42x3x2x42x21(x1)2·x2(x21)20，所以12x42x3x2.2求證：當a>0，b>0時，aabb(ab).證明：，當ab時，1，當a>b>0時，>1，>0，>1，當b>a>0時，0<<1，<0，>1，aabb(ab).典題領悟(2017·全國卷)已知a>0，b>0，a3b32.證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.證明：(1)(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，(ab)38，因此ab2.解題師說1綜合法證明不等式的方法(1)綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系合理進行轉換，恰當選擇已知不等式，這是證明的關鍵；(2)在用綜合法證明不等式時，不等式的性質和基本不等式是最常用的在運用這些性質時，要注意性質成立的前提條件2綜合法證明時常用的不等式(1)a20.(2)|a|0.(3)a2b22ab，它的變形形式有a2b22|ab|；a2b22ab；(ab)24ab；a2b2(ab)2；2.(4)，它的變形形式有a2(a>0)；2(ab>0)；2(ab<0)(5)(a2b2)(c2d2)(acbd)2.沖關演練1已知a0，b0，ab1，求證：(1)8；(2)9.證明：(1)ab1，a0，b0，22244 48，當且僅當ab時，等號成立，8.(2)1，由(1)知8.9.2已知函數(shù)f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均為正實數(shù)，且滿足abcm，求證：3.解：(1)當x1時，f(x)2(x1)(x2)3x(3，)；當1x2時，f(x)2(x1)(x2)x43,6)；當x2時，f(x)2(x1)(x2)3x6，)綜上，f(x)的最小值m3.(2)證明：因為a，b，c均為正實數(shù)，且滿足abc3，所以(abc)22(abc)，當且僅當abc1時，取“”，所以abc，即3.典題領悟已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M；(2)設a，bM，證明：f(ab)f(a)f(b)解：(1)由題意，|x1|<|2x1|1，當x1時，不等式可化為x12x2，解得x1；當1x時，不等式可化為x12x2，此時不等式無解；當x時，不等式可化為x12x，解得x1.綜上，Mx|x1或x1(2)證明：因為f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以要證f(ab)f(a)f(b)，只需證|ab1|ab|，即證|ab1|2|ab|2，即證a2b22ab1a22abb2，即證a2b2a2b210，即證(a21)(b21)0.因為a，bM，所以a21，b21，所以(a21)(b21)0成立，所以原不等式成立解題師說1分析法的應用條件當所證明的不等式不能使用比較法，且和重要不等式(a2b22ab)、基本不等式沒有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結論之間的關系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關鍵是推理的每一步必須可逆2用分析法證“若A則B”這個命題的模式為了證明命題B為真，只需證明命題B1為真，從而有只需證明命題B2為真，從而有只需證明命題A為真，而已知A為真，故B必真沖關演練已知a>0，b>0,2c>ab，求證：c<a<c.證明：要證c<a<c，即證<ac<，即證|ac|<，即證(ac)2<c2ab，即證a22ac<ab.因為a>0，所以只要證a2c<b，即證ab<2c.由已知條件知，上式顯然成立，所以原不等式成立1設a，b，cR，且abc1.(1)求證：2abbcca；(2)求證：2.證明：(1)因為1(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2，所以2abbcca(4ab2bc2cac2).(2)因為，所以abc2a2b2c2.2若a>0，b>0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并說明理由解：(1)由，得ab2，且當ab時等號成立故a3b324，且當ab時等號成立所以a3b3的最小值為4.(2)由(1)知，2a3b24.由于4>6，從而不存在a，b，使得2a3b6.3設a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd，求證：(1)若ab>cd，則>；(2)>是|ab|<|cd|的充要條件證明：(1)因為()2ab2，()2cd2，由題設abcd，ab>cd，得()2>()2.因此>.(2)必要性：若|ab|<|cd|，則(ab)2<(cd)2，即(ab)24ab<(cd)24cd.因為abcd，所以ab>cd.由(1)，得>.充分性：若>，則()2>()2，即ab2>cd2.因為abcd，所以ab>cd.于是(ab)2(ab)24ab<(cd)24cd(cd)2.因此|ab|<|cd|.綜上，>是|ab|cd|的充要條件4已知定義在R上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實數(shù)，且滿足pqra，求證：p2q2r23.解：(1)因為|x1|x2|(x1)(x2)|3，當且僅當1x2時，等號成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)證明：由(1)知pqr3，又因為p，q，r是正實數(shù)，所以(p2q2r2)(121212)(p×1q×1r×1)2(pqr)29，即p2q2r23.5已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)解不等式f(2x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|1，a0，求證：f.解：(1)f(2x)f(x4)|2x1|x3|當x3時，由3x28，解得x；當3x時，x48無解；當x時，由3x28，解得x2.所以不等式f(2x)f(x4)8的解集為.(2)證明：f等價于f(ab)|a|f，即|ab1|ab|.因為|a|1，|b|1，所以|ab1|2|ab|2(a2b22ab1)(a22abb2)(a21)(b21)0，所以|ab1|ab|.故所證不等式成立6(2018·武昌調研)設函數(shù)f(x)|x2|2x3，記f(x)1的解集為M.(1)求M；(2)當xM時，證明：xf(x)2x2f(x)0.解：(1)由已知，得f(x)當x2時，由f(x)x11，解得x0，此時x0；當x>2時，由f(x)3x51，解得x，顯然不成立故f(x)1的解集為Mx|x0(2)證明：當xM時，f(x)x1，于是xf(x)2x2f(x)x(x1)2x2(x1)x2x2.令g(x)2，則函數(shù)g(x)在(，0上是增函數(shù)，g(x)g(0)0.故xf(x)2x2f(x)0.7已知a，b都是正實數(shù)，且ab2，求證：1.證明：a0，b0，ab2，1.ab22，ab1.0.1.8設函數(shù)f(x)x|x2|x3|m，若xR，4f(x)恒成立(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)求證：log(m1)(m2)>log(m2)(m3)解：(1)xR，4f(x)恒成立，mx|x2|x3|4恒成立令g(x)x|x2|x3|4函數(shù)g(x)在(，3上是增函數(shù)，在(3，)上是減函數(shù)，g(x)maxg(3)2，mg(x)max2，即m200，m>0，綜上，實數(shù)m的取值范圍是(0，)(2)證明：由m>0，知m3>m2>m1>1，即lg(m3)>lg(m2)>lg(m1)>lg 10.要證log(m1)(m2)>log(m2)(m3)只需證>，即證lg(m1)·lg(m3)<lg2(m2)，又lg(m1)·lg(m3)< 2<lg2(m2)，log(m1)(m2)>log(m2)(m3)成立22